16714條件概率-文庫(kù)吧資料
2025-07-23 19:19本頁(yè)面
【正文】 典概型方法計(jì)算過(guò) , 這里我們使用乘法公式來(lái)計(jì)算 . 在本例中 , 問(wèn)題本身提供了兩步完成一個(gè)試驗(yàn)的結(jié)構(gòu) , 這恰恰與乘法公式的形式相應(yīng) , 合理地利用問(wèn)題本身的結(jié)構(gòu)來(lái)使用乘法公式往往是使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化的關(guān)鍵 . 22 例 3 一袋中裝 10個(gè)球 , 其中 3個(gè)黑球 , 7個(gè)白球 , 先后兩次從中隨意各取一球 (不放回 ), 求兩次取到的均為黑球的概率 . 解 設(shè) Ai表示事件 第 i次取得黑球 (i=1,2), 則 A1A2表示事件 兩次取到的均為黑球 . 由題設(shè)知 : 1 2 132( ) ( | )10 9P A P A A??于是根據(jù)乘法公式 , 有 1 2 1 2 13 2 1( ) ( ) ( | ) .10 9 15P A A P A P A A? ? ? ?23 注 : 乘法公式 ()和 ()可以推廣到有限個(gè)事件積的概率情形 : 設(shè) A1,A2, …, An為 n個(gè)事件 , 且 P(A1A2… An?1)0, 則 P(A1A2… An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) … P(An|A1A2… An?1) () 24 例 4 設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡 , 第一次落下時(shí)打破的概率為 1/2, 若第一次落下未打破 , 第二次落下打破的概率為 7/10, 若前兩次落下未打破 , 第三次落下打破的概率為 9/10. 試求透鏡落下三次而未打破的概率 . 25 解 以 A i ( i =1,2, 3 ) 表示事件“透鏡第 i 次落下打破”，以 B 表示事件“透鏡落下三次而未打破”，因?yàn)? 2 3B A A A? , 故有 1 2 31 2 1 3 1 2( ) ( )( ) ( | ) ( | )1 7 9 31 1 1 .2 10 10 20 0P B P A A AP A P A A P A A A??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ?26 例 5 已 知 P ( A )=, P ( B )=, P ( A | B ) =, 試 求 P ( B | A ), P ( B | A ? B ), ( | ) .P A B A B 解 由 乘 法 公 式 P ( AB )= P ( A | B ) P ( B )= ? =, 因 此 ( ) 2( | )( ) 3P ABP B APA? ? ? 27 其中 B(A∪ B)=B, 從而 ( ( ) )( | )()()( ) ( ) ( ) 4. 5P B A BP B A BP A BPBP A P B P AB????????( | ) ( | ) 1 ( | )( ) 311( ) 5P A B A B P AB A B P AB A BP ABP A B? ? ?? ? ? ? ?28 四 , 全概率公式 全概率公式是概率論中的一個(gè)基本公式 . 它將計(jì)算一個(gè)復(fù)雜的概率問(wèn)題 , 可化為在不同情況或不同原因下發(fā)生的簡(jiǎn)單事件的概率的求和問(wèn)題 . 29 定理 1 設(shè) A1,A2, … ,An, … 是一個(gè)完備事件組 , 且P(Ai)0, i=1,2, … , 則對(duì)任一事件 B, 有 P(B)=P(A1)P(B|A1)+… +P(An)P(BAn)+… () 證明 ( ) ( ) [ ( ) ][ ( ) ] ( )( ) ( | ) .iiiiiiiiiP B P B S P B AP B A P B AP A P B
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