高三數(shù)學(xué)函數(shù)與方程思想-文庫吧資料
2024-11-17 08:50本頁面
【正文】 21 － c＝－ 2 ＋ 2 2 ； 當(dāng) 1 － c 0 時(shí)， f ( c ) ≤ － 2 － 2 ( c － 1 )2c － 1＝－ 2 － 2 2 . 所以 a 的范圍是 a ≥ － 2 ＋ 2 2 或 a ≤ － 2 － 2 2 . 探究提高 ( 1 ) 求字母 ( 或式子 ) 的值的問題往往要根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建以待求字母 ( 式子 ) 為元的方程 ( 組 ) ，然后由方程 ( 組 )求得． ( 2 ) 求參數(shù)的取值范圍是函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等問題中的重要問題．解決這類問題一般有兩種途徑：其一，充分挖掘題設(shè)條件中的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求字母為元的不等式 ( 組 ) 求解；其二，充分應(yīng)用題設(shè)中的等量關(guān)系，將待求參數(shù)表示成其他變量的函數(shù)，然后，應(yīng)用函數(shù)知識(shí)求值域． ( 3 ) 當(dāng)問題中出現(xiàn)兩數(shù)積與這兩數(shù)和時(shí)，是構(gòu)建一元二次方程的明顯信息，構(gòu)造方程后再利用方程知識(shí)可使問題巧妙解決． ( 4 ) 當(dāng)問題中出現(xiàn)多個(gè)變量時(shí)，往往要利用等量關(guān)系去減少變量的個(gè)數(shù)，如最后能把其中一個(gè)變量表示成關(guān)于另一個(gè)變量的表達(dá)式，那么就可用研究函數(shù)的方法將問題解決． 變式訓(xùn)練 1 若 a 、 b 是正數(shù)，且滿足 ab ＝ a ＋ b ＋ 3 ，求 ab 的取值范圍． 解 方法一 ( 看成函數(shù)的值域 ) ∵ ab ＝ a ＋ b ＋ 3 ， ∴ a ≠ 1 ， ∴ b ＝a ＋ 3a － 1，而 b 0 ， ∴a ＋ 3a － 10 ， 即 a 1 或 a － 3 ，又 a 0 ， ∴ a 1 ，故 a － 10 . ∴ ab ＝ a 第 1 講 函數(shù)與方程思想 感 悟高 考 明確考向 ( 2 0 1 0 天津 ) 設(shè)函數(shù) f ( x ) ＝ x －1x，對(duì)任意 x ∈ [1 ，＋ ∞ ) ， f ( mx ) ＋ mf ( x ) 0 恒成立，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 解析 ∵ f ( x ) ＝ x －1x， x ∈ [1 ，＋ ∞ ) ， f ( mx ) ＋ mf ( x ) 0 ， ∴ mx －1mx＋ m ( x －1x) 0 ， ∴ 2 mx －1mx－mx0 ， 即 mx [2 m2x2－ (1 ＋ m2)] 0 . 由 f ( mx ) ＋ mf ( x ) 0 在 x ∈ [1 ，＋ ∞ ) 上恒成立知， mx [2 m2x2－ (1 ＋ m2)] 0 在 x ∈ [1 ，＋ ∞ ) 上恒成立． ∴ m ≠ 0. 當(dāng) m 0 時(shí)，只要 2 m2x2－ (1 ＋ m2) 0 恒成立， 即 x21 ＋ m22 m2 ， ∵ x ∈ [1 ，＋ ∞ ) ， ∴1 ＋ m22 m2 1 ， ∴ m21 ， ∴ m － 1. 當(dāng) m 0 時(shí)，只要 2 m2x2－ (1 ＋ m2) 0 恒成立， 即 x21 ＋ m22 m2 . ∵ x ∈ [1 ，＋ ∞ ) ， ∴ x21 ＋ m22 m2 不恒成立． 綜上，實(shí)數(shù) m 的取值范圍為 ( － ∞ ，－ 1) ． 答案 ( － ∞ ，－ 1) 考題分析 本小題考查了函數(shù)、不等式以及由不等式恒成立，求參數(shù)范圍問題．考查了解決此類問題的基本方法．體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想的應(yīng)用．考查了考生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力． 易錯(cuò)提醒 ( 1 ) 不等式的轉(zhuǎn)換是 易錯(cuò)點(diǎn)． ( 2 ) 在討論新函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，易忽略對(duì) m 的分類討論． ( 3 ) 方法選擇不當(dāng)，難以進(jìn)行下去． 思想方法概述 函數(shù)與方程是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要概念，它們之間有著密切的聯(lián)系．函數(shù)與方 程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想，主要依據(jù)題意，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，或建立相應(yīng)的方程來解決問題，是歷年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)． 1 ． 函數(shù)的思想 用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，集合與對(duì)應(yīng)的思想分析和研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題使問題獲得解決．函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)． 2 ． 方程的思想 在解決問題時(shí)，用事先設(shè)定的未知數(shù)溝通問題中所涉及的各量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，求出未知數(shù)及各量的值，或者用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決． 3 ． 函數(shù)的思想與方程的思想的關(guān)系 在中學(xué)數(shù)學(xué)中，很多函數(shù)的問題需要用方程的知識(shí)和方法來支持，很多方程的問題需要用函數(shù)的知識(shí)和方法去解決．對(duì)于函數(shù) y ＝ f ( x ) ，當(dāng) y ＝ 0 時(shí)，就轉(zhuǎn)化為方程 f ( x ) ＝ 0 ，也可以把函數(shù) y ＝ f ( x ) 看作二元方程 y － f ( x ) ＝ 0 ，函數(shù)與方程可相互轉(zhuǎn)化． 4 ． 函數(shù)與方程的思想在解題中的應(yīng)用 ( 1) 函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，對(duì)函數(shù) y ＝ f ( x ) ，當(dāng) y 0時(shí)，就化為不等式 f ( x ) 0 ，借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式． ( 2) 數(shù)列的通項(xiàng)與前 n 項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問題十分重要． ( 3) 解析幾何中的許多問題，需要通過解二元方程組才能解決．這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論． ( 4) 立體幾何中有關(guān)線段、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決 . 熱點(diǎn)分類突破 題型一 函數(shù)與方程思想在求最值或參數(shù)范圍中的應(yīng)用 例 1 已知 a ， b ， c ∈ R ， a ＋ b ＋ c ＝ 0 ， a ＋ bc － 1 ＝ 0 ， 求 a 的取值范圍． 思維
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