【正文】 39。()1T??Corollary 1. Let have the property from Theorem 1. Then.39。 39。0()T??劉峰 關(guān)于圖的邊控制數(shù) 24 Let be an SEDF of such that . As the trees from are :(){1,}fET???T39。39。()(sfET??Let . The neighborhood subtree of is the subtree of whose edge set is ()eET?[]NTeand whose vertex set is the set of all end vertices of the edges of . If is a pendant []TN []TNeedge of , then is the star whose central vertex is the vertex of having the degree greater []Nethan 1。 we ()2m??39。()1s??m? eTsuch that 。()1sT??.39。()sGm????39。()od2)s??Proof . Let be a SFDF of such that . Let be the number of f 39。()s?39。()snumber [2].Remember another numerical invariant of a graph which concerns domination. A subset of the Dedge set of a graph is called edge dominating in if each edge of either is in , or ()FGGis adjacent to an edge of . The minimum number of edges of an edge dominating set in is D Gcalled the edge domination number of and denoted by. G39。()sG?domination number of is denoted by .G39。()s?? Tedges and given signed edge domination number is proved. At the end similar results are obtained for . 39。()snC?inequality is stated. An existence theorem for a tree with a given number of 39。st?The number is determined for being a star of a path or a caterpillar. Moreover, also39。 Exposition, 1000341X (2022)04058605[5] , , in graphs [M]. New York,1998.[6] , , of domination in graphs [M].New York, 1998.[7] 徐保根. 圖的符號(hào)控制. 華東交通大學(xué)學(xué)報(bào)[J] .10050523（2022）05013503[8] BOHDAN ZELINKA, Liberec. On signed edge domination number of trees[R].Mathematical Bohemia, 127(2022) 4855[9] 吉日木圖. 關(guān)于正則圖的符號(hào)邊控制數(shù)[R] .[10] , , , . A note on the lower bounds of signed domination number of a graph[J].Discrete Math， 195(1999)295298[11] , . 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The closed neighborhood of an edge e in a graph is the set []GNeGconsisting of e and of all edges having a mon end vertex with e. Let be a mapping of the fedge set of into the set . If for each , then is ()EG{1,}??[]()1xNef???()eE?fcalled a signed edge dominating function on . The minimum of the values taken ()xG?over all signed edge dominating function on , is called the signed edge domination number fGof and is denoted by . If instead of the closed neighborhood we use the open G39。最后，我要感激我的父母和其他親人所給予我的關(guān)懷和支持。向百忙之中抽空評閱本論文的老師表示衷心的感謝，并感謝他們的寶貴意見。在課題研究的過程中得到了陳相兵、章志平、尹繼昌、金科同學(xué)給予了我正確的指正和幫助，使得本課題得以順利完成，在此向他們表示感謝。在本科階段的學(xué)習(xí)和論文的撰寫過程中，兩位老師給予了我無私的指導(dǎo)和真誠的幫助。?39。)1sT??⒌任意 有1nkG?階 邊 連 通 正 則 圖；39。39。12 0(mod3)3()) 11 2(od3)3smssmP?????⒊對任意一個(gè)圈 ，那么它的符號(hào)邊控制數(shù)由以下關(guān)系：C；39。39。()1sT??m；39。最后，也嘗試提出自己的方法對已有的結(jié)果進(jìn)行重新論證，或者提出自己簡單的猜想進(jìn)行論證，最后得到結(jié)果。在研究的過程中，我們了解了圖的一些控制數(shù)的重要前沿理論，進(jìn)一步地學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性?！?9。 **()() () ()39。() ()()svVGvduG?????39。 39。 39。?39。kl?綜上所述，命題結(jié)論成立。39。39。 39。 39。 39。 39。 39。 39。[]()()()*()12eNeEGeEMeEMffffdv?????????當(dāng) 時(shí)，記 ，39。 39。39。39。39。[]()()()12eNeEGeEMeEMffff???????????當(dāng) 時(shí)，記 ，()eMuv39。 39。39。39。39。()eEG?39。39。f下定義函數(shù) ：f 39。2n?劉峰 關(guān)于圖的邊控制數(shù) 16 現(xiàn)在我們來定義 為 ，首先由假設(shè)可知存在 的 為 ，則我們可以如SEDFf 39。M得到的 ， 是最后一次得到的 邊連通 正則圖，同時(shí)可知 .1?因 子 39。39。 ()snk????當(dāng) 為 奇 數(shù)當(dāng) 為 偶 數(shù). *()vVGdv??有下面證明 時(shí)命題也成立。fGSEDF39。39。1 ()efeG??????使得 如圖 210 所示39。對此我們對于圖 定義二值函數(shù) :39。 3()22s nGEM????②、 ， 時(shí)，令 ，根據(jù)引理 知 是一個(gè) ，k當(dāng) 為 偶 數(shù) k當(dāng) =439。[]1 ()3eNeGfM??????? ⑴ ⑵圖 29從而 是一個(gè)圖 的 顯然有 . 命題成立。39。G2正 則 圖 f39。GM??M1?因 子是一個(gè) 。 ()sGnk??????當(dāng) 為 奇 數(shù)當(dāng) 為 偶 數(shù)分比別討論初值成立。 () 122()seEGknknf? ???A故 .39。 39。 ()seGf??G1nk階 邊 連 通 正 則 圖，對于邊 的閉鄰域 ，有 條邊，在這些邊中，我們至少要取e??[][]21k??條邊為 ，而剩余的（最多 條）邊為 ，如圖 28 所示。[]()eN???的定義可知， . 設(shè) 是一個(gè) ，若對39。由SEDFeE??39。 ()22(1snkknG???????當(dāng) 為 奇 數(shù)當(dāng) 為 偶 數(shù)證明：首先證明 ，設(shè) 為一個(gè) 的一個(gè) ，39。(1sT??①、對于任意頂點(diǎn) ，有 ，且 為奇數(shù)；)v?()dvn②、當(dāng) 時(shí)，含有兩條懸掛邊時(shí)，只有一條邊標(biāo) ，另一條邊標(biāo) ；3n 1?1?③、當(dāng) 時(shí)，含有 懸掛邊，且懸掛邊標(biāo)記為 ，非懸掛邊標(biāo)記為 . ?12n???圖 2正則圖的符號(hào)邊控制數(shù)引理 ：(吉 [9])任意一個(gè) 都可以分解為一個(gè) 和一1nkG?階 邊 連 通 正 則 圖 1M?因 子個(gè) .39。s?同時(shí)，我們可以構(gòu)造出一類圖使得定理的等號(hào)成立（如圖 27 所示） 。 39。39。*1[] (0 ())()iieNiifdufe????或 者最后我們得到 個(gè)星圖及其符號(hào)邊控制函數(shù)，由定理 可知1k?所以 .39。 39。**1[]())()1i iiieNfdufe??????**1()0,()iidu??39。 1[]()1 ()\iieNfeTu????符合符號(hào)邊控制函數(shù)的定義；華東交通大學(xué)畢業(yè)論文 13 因?yàn)?，則可知 ，那么， 39。**1[] ()\()()({, }iiiieN eTufduw?????????????符合符號(hào)邊控制函數(shù)的定義；②、若 ，且假設(shè)包含 條這樣的邊，則直接刪除邊 ，我們有()1if???ie39。 () ()\{, }iifeTfuw????????⑴ ⑵圖 27在這里頂點(diǎn)數(shù)增加了 2，正邊數(shù)增加了一條，同時(shí)39。**1[]())()1i iiieNfdufe??????有上邊的不等式可知 ,為此我們構(gòu)造 以及**1(),()1iidu??[]iiG?同時(shí)重新定義符號(hào)邊控制函數(shù) ：1[]iiGu??39。12,ku?若 是樹 的符號(hào)邊控制函數(shù)，對于連接邊 來說需要分兩種情況討論：fTie①、若 ，首先由 定義知 .()ie??f39。一般地，對于任意一個(gè)頂點(diǎn) ，?, ()uVH?稱為頂點(diǎn) 在符號(hào)圖 上的符號(hào)度數(shù)，若有*(,)du()Hg. 在不混淆的情況下我們可以把 簡記為 .()()Hggdu??? *(,)dg*()d、樹的符號(hào)邊控制數(shù)定理 ：對任意一棵樹 ，則有其控制數(shù) .(,)TVE?39。對于一個(gè)(,)GVE?SEDFf(,)Gf符號(hào)圖 ，我們由定義 可知 .f 39。設(shè) 是一個(gè)圖，且 ， 表示從圖 中通過刪除邊 的(,)GVE?()uvEG?[]uv?1GK?uv同時(shí)增加一條新的邊 ，其中 .很明顯有， 且w1{}K?([])({}Vw?，如圖 25 所示 ⑴ 圖表示原圖 ，⑵ 圖表示 。11()()33s?????