【正文】 ?? ??????????? ddeFddeFyxf yxjyxj )s i nc o s(220)s i nc o s(20 0),(),(),( ）（）（ ?????? ? ?? ? ??? （ ) 利用特性 ),(),( ????? ??? FF ，上式可以寫成 , 第三章 CT 圖像解析重建算法 18 ????? ??? ddeFyxf tj ]||),([),( 20 0? ??? （ ） 此處 ?? sincos yxt ?? 。它是通過轉(zhuǎn)換極坐標中傅里葉逆變換和重新確定積分限來實現(xiàn)的。 濾波反投影算法是目前廣泛應用于所有直線透射斷層成像的算法。由于理想的插值方法還在探索中，這阻礙了基于中心切片定理的二維傅立葉逆變換圖像重建法的發(fā)展。理論上，當投影線束無限多時，就能求得 ),( vuF 在頻域上相應線束的無限多條直線的值，從而可以利用傅里葉逆變換得到原圖 ),( yxf 。在 ),(st 系統(tǒng)中沿著常量為 t 的直線進行的投影可表示成： ????? dsstftP ),()(? （ ） 第三章 CT 圖像解析重建算法 16 其傅里葉變換 ???? ?? dtetPS tj ???? ? 2)()( （ ） 將以上兩式合并，可以發(fā)現(xiàn) ? ???? ????? dtedsstfS tj ??? ? 2]),([)( （ ） 借助旋轉(zhuǎn)坐標定義可以得到關于 ),( yx 坐標系統(tǒng)的變換形式 ? ???? ?????? d x dyeyxfS yxj ))s i n ()c o s ((2),()( ????? ? （ ） 等式右邊表示一個空間域的傅 里葉變換， )s in (),c os ( ???? ?? vu 則 ))s in ()c o s ((),()( ???????? ，F(xiàn)FS ?? （ ） 這個等式是直接射線斷層成像的基礎，從而也證明了中心（傅里葉）切片定理。換句話說，的 )(tP?傅里葉變換在數(shù)值上對應于 ),( vuF 沿著圖中所示直線 BB 的值。從而引出了成像系統(tǒng)中著名的中心（傅里葉）切片定理 ]2[ 。很明顯物體與坐標系統(tǒng)間的位置方向是獨立的。 圖 中心切片定理示意圖 通過上圖可知：某斷層（或它對應的圖像） ),( yxf 在視角為 ? 時得到的平行投影（函數(shù)）的一維傅立葉變換，等于 ),( yxf 二維傅立葉變換 ),( 21 ??F 過原點的一個垂直切片，且切片與 軸 1? 相交成 ? 角 ]9[ 。 中心切片定理 中心切片定理的含義是平行投影的一維傅立葉變換等同于原始物體的二維傅立葉變換的一個切片。 傅立葉變換的定義 ???? ???? dedeftf ii? ????????? ])([21)( （ ） 其中 第三章 CT 圖像解析重建算法 14 dtetfF ti?? ?????? )()( （實自變量的復值函數(shù)） （ ） 稱為 )(tf 的 Fourier 變換，記為 )]([ tfF 。 實際上當將 ? 也視作可變參數(shù)時， ),( ?pRf 就是一個二元函數(shù)，此時 Radon變換是空間域 ),( yx 到變換域 ),( ?p 的映射。 圖 定義 Radon 變換的坐標系統(tǒng) 上述線積分可寫為： ????? dlyxfpR f ),(),( ? （ ） 如果借助 Delta 函數(shù)，上述線積分還可寫為： ? ???? ??? ??? d x d yyxpyxfpR f )s inc os(),(),( ???? （ ） 上式通常稱為 ),( yxf 的 Radon 變換。 第三章 CT 圖像解析重建算法 13 對 ),( yxf 的 Radon 變換 ),( ?pRf 定義為沿由 p 和 ? 定義的直線 l 的線積分。所謂CT 斷層的圖像重建，就是求取能夠反應斷層內(nèi)部結構和組成的某物理量的二維分布。 Radon 從理論上證明了某物理量的二維分布函數(shù)可由該函數(shù)在其定義域內(nèi)的所有方向上的線積分完全確定。 Radon 變換與傅立葉變換 為了有效和快速地對圖像進行處理，常需要將原定 義在圖像空間的圖像以某種形式轉(zhuǎn)換到另外一些空間，并利用在這些空間的特有性質(zhì)方便地進行一定的加工，最后再轉(zhuǎn)換回圖像空間以得到所需的效果 ]7[ 。 第三章 CT 圖像解析重建算法 12 圖 兩種不同的去除星狀偽跡反投影圖像重建思路 所謂濾波反投影重建法是把獲得的投影函數(shù)先做卷積處理，即人為設計一種一維濾波器，用它對所得的投影函數(shù)進行改造，然后把這些改造過的投影函數(shù)進行反投影和累加等處理，就可以達到在一定程度上消除星狀偽跡的目的。 濾波反投影圖像重建法（ FBP） 為了消除直接反投影法產(chǎn)生的星狀偽跡，提出了濾波反投影重建的方法，這種方法是在直接反 投影重建方法的基礎上增加一個濾波器。如果21 ??和 的值取無窮，則是一個不可能實現(xiàn)的理想濾波器。 第三章 CT 圖像解析重建算法 11 如果想要去除星狀偽跡，可在系統(tǒng)的輸出端再加上一個濾波器，設其時域函數(shù)為 ),( yxq ，傳遞函數(shù)為 ),( 21 ??Q ，為了使該加了濾波器的系統(tǒng)輸出的圖像等于系統(tǒng)輸入的原圖 ),( yxu ，也就是要求 ),(),(**),( yxyxhyxq ?? （ ） 即 ),(1**),(22 yxyxyxq ?? ?? （ ） 對該式取二維傅立葉變換，得到： 11),(2221 ??? yxQ ??? （ ） 即 222121 ),( ????? ??Q （ ） 這是一個二維濾波器。 已知 221),( yxyxh ?? ? （ ） 可見，反投影重建過程后得到的圖像不是原來的圖像 ),( yx? ，系統(tǒng)存 在星狀偽跡。 直接反投 影圖像產(chǎn)生星狀偽跡的原因在于，該方法是把取自有限物體空間的投影均勻地回抹（反投影）到了射線所及的無限空間的各個像素上，包括原來像素值為 0的點。有上述例子可以看出原圖中像素值為零的像素，經(jīng)反投影重建后不再為零。改變方向后的多次掃描形成多次回抹，同一像素上多次回抹的灰度累加即完成圖像重建。 直接反投影重建是指，斷層平面中某像素的線性衰減系數(shù)可由平面內(nèi)所有經(jīng)過該像素射線的投影和得出，而整幅圖像重建 可以看做為所有方向上掃描投影的累加。 反投影重建法（ BP） 反投影是一個求和的過程，它把所有角度上的數(shù)據(jù)都加在一起。主要介紹了由投影重建圖像的系統(tǒng)模型，引進Radon 變換和傅立葉變換，它們對應于 X 射線 CT 的二維重建問題；且給出了Radon 變換在圖像重建中的具體形式，即截面函數(shù)沿著直線的線積分等于其 Radon 變換，而圖像重建過程即是將截面函數(shù)沿許多 不同角度下直線的線積分所產(chǎn)生的投影數(shù)據(jù)進行逆 Radon 變換從而得到截面函數(shù)。 第三章 CT 圖像解析重建算法 9 第三章 CT 圖像解析重建算法 通過上一章已經(jīng)知道 CT 圖像重建的基本原理，但由于使用最簡單直接的方程組法不易求得斷層的各個像素的衰減系數(shù)。盡管 1967 年世界首臺 CT 試驗機采用的就是這個圖像重建方法，但當斷層被劃為更小更多的體素時，即使采用今天最先進的計算機技術，解一組這樣的方程組也不是件容易的事。上式說明，入射 X 射線強度與出射 X 射線強度之比經(jīng)對數(shù)運算后，表示沿射線路徑上衰減系數(shù)的線積分，而投影 p 與射線穿越介質(zhì)的路徑長度成正比。這種圖像重建方法稱為方程組法。只要掃描線不重復且足夠多，這些衰減系數(shù)的確定值肯定可以通過解線性方程組的方法解第二章 CT 圖像重建的基本原理 8 出唯一實數(shù)解。由于未知量太多，這個方程沒有唯一解。將上述各式代入整理，有： 圖 X射線通過非均勻介質(zhì)時的體素劃分 duuuu neII ).. .(0 321 ?????? （ ） 即 dpuuuu n /...321 ????? （ ） 式中， )ln( 0IIp? 是通過射線強度檢測得到的檢測值，是一個已知量，稱為投影。這樣，每個小塊有一個均勻的線性衰減系數(shù)，如圖所示， 設各個方塊的線性衰減系數(shù)分別為 nuuuu ,..., 321 。 對于能量為 E 的單能射線，假設其投射的物體是均勻且為同一介質(zhì)，被投射物體的線性衰減系數(shù)為 u ，厚度為 x ，則在入射線強度為 0I ，出射 X 射線強度為I 時有 uxeII ?? 0 即 )/ln( 0 IIux? （ ） 這 就是著名的 LambertBeer 定律。這些過程中的每一種都有它自己的發(fā)生幾率。組織對 X 線的這種局部衰減特性是 X 線與被檢測物體之間的若干相互作用過程的產(chǎn)物。 圖 單射線源平移旋轉(zhuǎn)掃描示意圖 圖像重建算法 CT 與普通的 X 線攝影術之間有著非常重要的區(qū)別。設 X 線源發(fā)出的 X 射線強度是 0I ，探測器接收到的 X射線強度是 0I 一次掃射完成后將 X射線與探測器平移一個小的步長，再次對成像對象進行投射，探測器又接收到一個新的透射強度，在該投射角度上反復小步長平移投射并記錄檢測的數(shù)據(jù)后，將 X 射線源與探測器繞被測對象旋轉(zhuǎn)一個小的角度后在進行平行投射并平移，如此重復多次，直到旋轉(zhuǎn) 180度為止。 第二章 CT 圖像重建的基本原理 6 第二章 CT 圖像重建的基本原理 所需數(shù)據(jù)的掃描獲取 假設采用單射線源平移 — 旋轉(zhuǎn)方式來獲取圖像重建所需的數(shù)據(jù)，該方法需要一個射線發(fā)生器和一個射線探測器。 第五章總結部分，本章對論文中講述的 CT 重建算法進行了認真的總結和比較。本章介紹了迭代算法的成像模型及其成像原理。例如，為了避免物體（如臟器）運動，或為了減小劑量，投影數(shù)據(jù)采集不足；又如某物體在一個方向上尺寸特別長，則在這一方向上的投影數(shù)據(jù)無法或較難測得。但它并不適用于所有投影重建場合。在運算的過程中根據(jù)卷積定理從而提出了卷積反投影重建算法，最后對上述三種解析算法重建的圖像進行了對比分析。 第三章詳細介紹了現(xiàn)在 CT 常用的圖像重建算法解析法的算法原理，研究進第一章緒論 5 展。但當斷層被劃分為更小更多的體素時，即使采用今天最先進的計算機技術解這一組方程組也不是件容易的事。之后詳細介紹了透射斷層成像的研究現(xiàn)狀，進而對 于目前投影重建中存在的問題進行了闡述，從而引出了論文的工作目標和內(nèi)容。 論文的組織結構 論文主要研究輻射成像技術中的透射斷層成像理論。這一步是成像技術的核心。為進行計算機處理，系統(tǒng)還需將測量得到的模擬量轉(zhuǎn)化成數(shù)字量。 ⑴數(shù)據(jù)采集，即獲得攜帶有物體內(nèi)部特征信息的數(shù)據(jù)。 CT 的組成結構 以上幾種成像技術盡管使用的物理系統(tǒng)各不相同，但所有系統(tǒng)所測量到的數(shù)據(jù)均具有物體某種感興趣的物理特性在空間分布的積分形式。 CT 技術在臨床的許多領域得到愈 來愈廣泛的應用。例如在前視第一章緒論 4 雷達（ FLR）中，雷達發(fā)射器從空中向地面發(fā)射無線電波；雷達接收器在特定角度所接收到的回波強度是地面發(fā)射量的一個掃描段的積分。 ⑸反射斷層成像 反射斷層成像（ Reflection CT,RCT）也是利用投影重建的原理工作的。 ⑷超聲斷層成像 超聲斷層成像（ Ultrasound CT,UCT）與上述的 CT 不同的地方是超 聲射線在人體組織中不一定按直線傳播，尤其是在軟組織和硬組織的分界面會產(chǎn)生折射效應。由這些信號可以得到極好的器官解剖圖，在細節(jié)上遠遠超過由 X 射線 CT 產(chǎn)生的圖像。換句話說，檢測到的信號是 MRI 信號沿直線的積分。根據(jù)檢測到的信號就可以確定質(zhì)子的密度。一般情況下質(zhì)子在磁場中時隨意排列著的，當一個適當強度和頻率的共振場信號作用于物體時，質(zhì)子吸收能量并轉(zhuǎn)向與磁場相交的 朝向。它的工作原理簡介如下：氫核以及其它具有奇數(shù)個質(zhì)子和中子的核，包含具有一定磁動量和旋量的質(zhì)子。 ⑶磁共振成像 磁共振成像（ Magic Resonance Imaging,MRI）在早期稱為核磁共振（ Nuclear Magic Resonance,NMR） 。它們的區(qū)別是，采用單光子輻射器時，檢測器所接收的光子計數(shù)便是投影測量數(shù)據(jù)；而采用正電子輻射器時，由于在正電子輻射點的毫米級范圍內(nèi)，一個正電子會俘獲一個負電子，并產(chǎn)生沿相反方向運動的兩個中子，因而測量數(shù)據(jù)是在一個很小時間間隔內(nèi)由兩個性質(zhì)相反的檢測器檢測到的光子對的數(shù)目。通過這種方法可以了解離子在物體內(nèi)運動情況的分布，從而可以檢測到與生理相關的狀況。在醫(yī)學上它主要針對骨質(zhì)成像。由于透射成像術中采用 X 射線，所以也叫 XCT。射線在通過物體時被物體吸收一部分，余下部分被接收器接收。 圖 計算機斷層成像示意圖 CT 的分類 在投影重建的原理和方法的框架下，根據(jù)投影方式不同產(chǎn)生了不 同種類的CT 成像術。每個體素的 X 線吸收系數(shù)可以通過不同的數(shù)學方法算出。經(jīng)數(shù)字 /模擬轉(zhuǎn)換器（