【正文】 制理論是一種“時(shí)域法”，它引入了“狀態(tài)”的概念，用“狀態(tài)變量”及“狀態(tài)方程”描述系統(tǒng)，從而理論上解決了系統(tǒng)的可控性、可觀測(cè)性及許多復(fù)雜問題的控制問題。 圖 410 PD控制（小車位置曲線） 可以看出，由于 PID 控制器為單輸入單輸出系統(tǒng)，所以只能控制擺桿的角度，并不能控制小車的位置，所以小車會(huì)往一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)。 圖 49 PID 控制（ 40PK? ， 20IK? ， 10DK? ） 從上面仿真結(jié)果可以看出，系統(tǒng)可以較好的穩(wěn)定，但由于積分因素的影響，穩(wěn)定時(shí)間明顯增大。 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 19 圖 48 PD 控制（ 40PK? ， 10DK? ） 從圖 48 可以看出，系統(tǒng)在 秒后達(dá)到平衡，但是存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差。為消除系統(tǒng)的振蕩，增加微分控制參數(shù) DK ，令： 0IK? ， 4DK? ，得到圖 47 仿真結(jié)果 。 圖 45 P控制仿真結(jié)果圖（ 9K?P ） 從圖 45中可以看出，控制曲線不收斂，因此增大控制量，令 40PK? ， 0IK? ， 0DK? ，得到如圖 46 仿真結(jié)果 。 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 17 PID 控制參數(shù)設(shè)定及 MATLAB 仿真 對(duì)于 PID 控制參數(shù)，我們采用以下的方法進(jìn)行設(shè)定。 由 式子 (313)可以得到擺桿角度和小車加速度的傳遞函數(shù)： ? ?? ? ? ?22s mlVsI ml s mgl? ??? PID 控制器的傳遞函數(shù)為： d e n P I Dn u m PI Ds KsKsKsKKsKsKD IPDIPD ???????2)( 只需調(diào)節(jié) PID 控制器的參數(shù)，就可以得到滿意的控制效果。 考慮到輸入 0)( ?sr ，結(jié)構(gòu)圖可以很容易地變換成 如圖 43 的系統(tǒng)簡(jiǎn)化圖。系統(tǒng)框圖如圖 42 所示 。由于 PID 校正使系統(tǒng)在低頻段相位后移，而在中頻段相位前移，因此又稱它為相位滯后 超前校正。 （ 3）微分環(huán)節(jié)：反映偏差信號(hào)的變化趨勢(shì)（變化速率），并能在偏差信號(hào)值變得太大之前，在系統(tǒng)中引入一個(gè)有效的早期修正信號(hào)，從而加快系統(tǒng)的動(dòng)作速度，減小調(diào)節(jié)時(shí)間。 （ 2）積分環(huán)節(jié)：主要用于消除穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的型別。 在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和仿真中，也將傳遞函數(shù)寫成 ： 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 15 sKsKKsE sUsG DIP ???? )( )()( 式中： PK ——比例系數(shù)； IK ——積分系數(shù)； DK ——微分系數(shù)。 圖 41 常規(guī) PID 控制系統(tǒng)圖 PID 控制器是一種線性控制器，它根據(jù)給定值 )(tr 與實(shí)際輸出值 ()yt 構(gòu)成控制偏差 )(te ： ( ) ( ) ( )e t r t y t?? 將偏差的比例 (P)、積分 (I)和微分 (D)通過(guò)線性組合構(gòu)成控制量，對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行控制，故稱 PID 控制器。常規(guī) PID 控制系統(tǒng)原理框圖如圖 41 所示。 grid。 impulse(num,den,t)。 s = p 。 den = [1 b*(I+m*l^2)/q (M+m)*m*g*l/q b*m*g*l/q 0]。 q = (M+m)*(I+m*l^2)(m*l)^2。 g = 。 b = 。 運(yùn)行后得到如圖的仿真結(jié)果： 圖 34 倒立擺狀態(tài)方程及開環(huán)階躍響應(yīng)仿真結(jié)果 倒立擺傳遞函數(shù)、開環(huán)極點(diǎn)及開環(huán)脈沖響應(yīng)也可 采用編寫 M文件的仿真，仿真程序如下： M = 。 axis([0 2 0 100])。 [Y,X] = lsim(A,B,C,D,U,T)。 T = 0::5。 0 0 1 0] D = [0。 0。 0 (m*l*b)/p m*g*l*(M+m)/p 0] B = [ 0。 0 (I+m*l^2)*b/p (m^2*g*l^2)/p 0。 p = I*(M+m)+M*m*l^2。 g = 。 b = 。 倒立擺狀態(tài)方程及開環(huán)階躍響應(yīng)也可以采用編寫 M文件的仿真，仿真程序如下： M = 。 step(A,B,C,D)。0 1 0 0]。 B=[0 1 0 3]39。0 0 0 1。 A=[0 1 0 0。 擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)： ? ?? ? 220 . 0 2 7 2 50 . 0 1 0 2 1 2 5 0 . 2 6 7 0 5s sXs s? ? ? (321) 擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為： ? ?? ? 20 . 0 2 7 2 50 . 0 1 0 2 1 2 5 0 . 2 6 7 0 5sVs s? ? ? (322) 擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)： 32( ) 2 . 3 5 6 5 5() 0 . 0 8 8 3 1 6 7 2 7 . 9 1 6 9 2 . 3 0 9 4 2ssUs s s s? ? ? ? ? (323) 以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程： 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 10 0 1 0 0 00 0 . 0 8 8 3 1 6 7 0 . 6 2 9 3 1 7 0 0 . 8 8 3 1 6 70 0 0 1 00 0 . 2 3 5 6 5 5 2 7 . 8 2 8 5 0 2 . 3 5 6 5 5x xx xu?????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ???? ??? ? ? ????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ? ????? ? ? ? ????? 1 0 0 0 00 0 1 0 0xxxyu???????? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??????? (324) 以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程： 0 1 0 0 00 0 0 0 10 0 0 1 00 0 2 9 . 4 0 3x xx xu?????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ? ????? 1 0 0 0 00 0 1 0 0xxxyu???????? ? ? ? ? ??? ?? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??????? (325) 需要說(shuō)明的是，在 本文 的控制器設(shè)計(jì)和程序中，采用的都是以小車的加速度作為系統(tǒng)的輸入，如果需要采用力矩控制的方法，可以參考以上把外界作用力作為輸入的各式。為了與控 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 7 制理論的表達(dá)習(xí)慣相統(tǒng)一，即 u 一般表示控制量，用 u 來(lái)代表被控對(duì)象的輸入力 F ，線性化后得到該系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的微分方程表達(dá)式： ? ?????????????umlxbxmMxmlm glmlI??? ?????????)(2 (39) 傳遞函數(shù)模型 對(duì)方程組（ 29）進(jìn)行拉普拉斯變換，得到 : ? ?????? ????? ????? )()()()()( )()()(22222sUssmlssbXssXmMssm lXsm glssmlI (310) 注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)假設(shè)初始條件為 0。 圖 32 小車及擺桿受力分析 應(yīng)用 Newton 方法來(lái)建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程過(guò)程如下： 分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程： 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 6 NxbFxM ??? ??? (31) 由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式： 22 ( sin )dN m x ldt ??? (32) 即： 2c o s sinN m x m l m l? ? ? ?? ? ? (33) 把這個(gè)等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： FmlmlxbxmM ????? ???? s inc o s)( 2?????? (34) 為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程： 22 ( c o s )dP m g m ldt ?? ? ? (35) 即： 2s i n c o sP m g m l m l? ? ? ?? ? ? (36) 力矩平衡方程如下： ??? ??INlPl ??? c o ss in (37) 注意：此方程中力矩的方向，由于 ??????? s ins in,c o sc o s, ?????? ，因此等式前面有負(fù)號(hào)。其中， N 和 P 為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。 在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖 31 所示。計(jì)算機(jī)從運(yùn)動(dòng)控制卡中讀取實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)，確定控制決策（小車運(yùn)動(dòng)方向、移動(dòng)速度、加速度等），并由運(yùn)動(dòng)控制卡來(lái)實(shí)現(xiàn)該控制決策，產(chǎn)生相應(yīng)的控制量，使電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)，通過(guò)皮帶，帶動(dòng)小車運(yùn)動(dòng)，保持?jǐn)[桿平衡。 圖 22 一級(jí)倒立擺系統(tǒng)組成框圖 系統(tǒng)是由計(jì)算機(jī)、運(yùn)動(dòng)控制卡、伺服機(jī)構(gòu)、倒立擺本體和光電碼盤幾大部分組成的閉環(huán)系統(tǒng)。 2 一 級(jí) 倒立擺 實(shí)驗(yàn)設(shè)備簡(jiǎn)介 一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖如圖 21 所示。 MATLAB 不僅流行于控制界，在生物醫(yī)學(xué)工程、語(yǔ)言處理、圖像信號(hào)處理、雷達(dá)工程、信號(hào)分析，以及計(jì)算機(jī)技術(shù)等行業(yè)中也都廣泛應(yīng)用。reg 緊密集成，可以直接訪問 MATLAB 大量的工具來(lái)進(jìn)行算法研發(fā)、仿真的分析和可視化、批處理腳本的創(chuàng)建、建模環(huán)境的定制以及信號(hào)參數(shù)和測(cè)試數(shù) 據(jù)的定義。 構(gòu)架在 Simulink 基礎(chǔ)之上的其他產(chǎn)品擴(kuò)展了 Simulink 多領(lǐng)域建模功能，也提供了用于設(shè)計(jì)、執(zhí)行、驗(yàn)證和確認(rèn)任務(wù)的相應(yīng)工具。reg 是用于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)和嵌入式系統(tǒng)的多領(lǐng)域仿真和基于模型的設(shè)計(jì)工具。為了創(chuàng)建動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型， Simulink 提供了一個(gè)建立模型方塊圖的圖形用戶接口 (GUI) ，這個(gè)創(chuàng)建過(guò)程只需單擊和拖動(dòng)鼠標(biāo)操作就能完成，它提供了一種更快捷、直接明了的方式，而且用戶可以立即看到系統(tǒng)的仿真結(jié)果。 Simulink 是 MATLAB 中的一種可視化仿真工具，是一種基于 MATLAB 的框圖設(shè)計(jì)環(huán)境，是實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和分析的一個(gè)軟件包， 被廣泛應(yīng)用于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、數(shù)字控制及數(shù)字信號(hào)處理的建模和仿真中。 Simulink 具有適應(yīng)面廣、結(jié)構(gòu)和流程清晰及仿真精細(xì)、貼近實(shí)際、效率高、靈活等優(yōu)點(diǎn)，并基于以上優(yōu)點(diǎn) Simulink 已被廣泛應(yīng)用于控制理論和數(shù)字信號(hào)處理的復(fù)雜仿真和設(shè)計(jì)。 Simulink 是 MATLAB 最重要的組件之一 ， 它提供一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和綜合分析的集成環(huán)境。 目前，在自動(dòng)控制、圖像處理、語(yǔ)言處理、信號(hào)分析、振動(dòng)原理、優(yōu)化設(shè)計(jì)、時(shí)序分析和系統(tǒng)建模等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。截止到 2020 年，該公司先后推出了 MATLAB 、 MATLAB ，以及 MATLAB 等版本，該軟件的應(yīng)用范圍越來(lái)越廣。 MATLAB/Simulink 簡(jiǎn)介 在科學(xué)研究和工程應(yīng)用中，為了克服一般語(yǔ)言對(duì)大量的數(shù)學(xué)運(yùn)算，尤其當(dāng)涉及到矩陣運(yùn)算時(shí)編制程序復(fù)雜、調(diào)試麻煩等困難，美國(guó) Math Works 軟件公司于 1967 年構(gòu)思并開發(fā)了矩陣實(shí)驗(yàn)室（ Matrix Laboratory ,MATLAB）軟件包。 （ 3） 智能控制方法 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 2 在倒立擺系統(tǒng)中用到的智能控制方法主要有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、模糊控制、仿人智能控制、擬人智能控制和云模型控制等。 （ 2） 預(yù)測(cè)控制和變結(jié)構(gòu)控制方法 由于線性控制理論與倒立擺系統(tǒng)多變量、非線性之間的矛盾，使人們意識(shí)到針對(duì)多變量、非線性對(duì)象，采用具有非線性特性的多變量控制解決多變量、非線性的必由之路。這類方法對(duì)于一、二級(jí)倒立擺（線性化誤差較小、模型較簡(jiǎn)單）控制時(shí)，可以解決常規(guī)倒立擺的穩(wěn)定控制問題。 倒立擺的