【正文】 性能允許的條件下，可以設(shè)立這樣一個(gè)大的FDTD計(jì)算域，先對(duì)這三個(gè)點(diǎn)的場(chǎng)進(jìn)行直接的FDTD求解，然后使用近遠(yuǎn)場(chǎng)變換的FDTD公式重新求解，比較兩種求解方法的結(jié)果，便可驗(yàn)證式（）和式（）的正確性。于是可得到磁場(chǎng)的表達(dá)式： （）由對(duì)偶原理，根據(jù)上式可直接得到電場(chǎng)的表達(dá)式： （）其中是縫隙上的表面磁流密度，該磁流密度又可通過縫上的電場(chǎng)來計(jì)算： （）于是 （）因?yàn)?，所以可把寫成兩個(gè)極化分量： （）把式（）中的第一式展開成兩項(xiàng)： （）把式（）等號(hào)右邊的第一項(xiàng)寫成角頻率和空間坐標(biāo)的函數(shù)： （）因?yàn)椋?，所以： （）式（）是頻域表達(dá)式，為了使用FDTD方法計(jì)算該式，需要將其變換到時(shí)域： （） 將式（）中連續(xù)的時(shí)間和空間變量離散化，即， ，并取，則 （）所以可離散化為，從而有 于是可得到式（）對(duì)應(yīng)的離散形式： （）其中。矢量滯后位勢(shì)函數(shù)為[44]： （）其中： 是縫上的面電流密度 A slot antenna lies in the xoy plane由式（）的矢勢(shì)函數(shù)求磁場(chǎng)[45]： （）其中Hamilton算子下角標(biāo)的r表示對(duì)場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)的運(yùn)算。設(shè)平板縫隙天線置于平面內(nèi)，并由極化方向?yàn)檩S正向的平面波照射而獲得激勵(lì)。其它各分量的計(jì)算完全相似。自由空間Maxwell旋度方程為： （）式（）等價(jià)于六個(gè)標(biāo)量方程，分成兩組分別如式（）和式（）所示： （） （）與一維、二維情況的處理方法相同，對(duì)時(shí)間和空間變量進(jìn)行中心差分離散，整理后可得： （） （） （） （） （） （）取，上面六式可對(duì)應(yīng)得到以下代碼： 至于三維FDTD各向異性PML層的計(jì)算和設(shè)置也完全類似于二維的情況，這里僅以為例，給出其最終的計(jì)算公式： （）其中。 The waveform of two dimentional sinusoidal pulse TM wave with PML after 160 time steps The contour of two dimentional sinusoidal pulse TM wave with PML after 160 time steps 第4章 應(yīng)用FDTD計(jì)算縫隙天線遠(yuǎn)場(chǎng) Yee元胞. Yee透過對(duì)Maxwell旋度方程的深刻認(rèn)識(shí)，巧妙地構(gòu)造了三維電磁場(chǎng)問題的FDTD計(jì)算模型，稱為Yee元胞[20]。至此，式（）、式（）以及式（）。整理可得： （）其中。 同理，式（）中的第四式可整理為： （）其中,。2：，即在與吸收層某一邊界垂直那個(gè)方向上的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別等于其它方向上介電常數(shù)和磁導(dǎo)率的倒數(shù)。對(duì)于二維和三維電磁問題，我們將采用各向異性完全匹配層（UPML）來作為吸收邊界[3339]。為了在有限的計(jì)算機(jī)資源空間中模擬開域的電磁問題，需在問題空間的外圍增設(shè)一層具有一定厚度的吸收層，使得電磁波在進(jìn)入該吸收層時(shí)無反射，并且在進(jìn)入該層后迅速衰減。附錄E給出了二維TM波的FDTD代碼，采用高斯脈沖源，置于平面上問題區(qū)域的中心，、=45時(shí)的波形,注意比較幅度的起伏變化?？紤]到場(chǎng)量的歸一化處理，即和[32]，對(duì)于TM模，可獲得如下的標(biāo)量偏微分方程組： （）其中的場(chǎng)量已略掉表示歸一化的上波浪線。所涉及到的程序變量在名稱上與諸公式中的數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)應(yīng)。假如色散媒質(zhì)形式如下[31]： （）其中最后一項(xiàng)變換到時(shí)域是，為單位階躍函數(shù)。程序代碼詳見附錄D。 The reflection and transmission of one dimentional electromagnetic wave hitting on a lossless dielectric在導(dǎo)電損耗介質(zhì)中，Maxwell旋度方程形式如下 （）電流密度的存在使得式（）中的兩式結(jié)構(gòu)不對(duì)稱，這種不對(duì)稱將導(dǎo)致編程的復(fù)雜性，故正如本章引言所述，引入電通密度對(duì)媒質(zhì)特性進(jìn)行集中處理，即由下式出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)： （）令，進(jìn)行歸一化處理得： （）以后為書寫方便將省略歸一化場(chǎng)量的上波浪線“~”。附錄C給出了模擬一維高斯脈沖平面波經(jīng)過相對(duì)介電常數(shù)的無耗介質(zhì)的FDTD代碼，其中空間上設(shè)置從到是自由空間，從開始是相對(duì)介電常為6的無耗介質(zhì)。具體的，在代碼實(shí)現(xiàn)上，可以通過增設(shè)兩個(gè)暫存變量來實(shí)現(xiàn)邊界處場(chǎng)量的傳遞，詳細(xì)程序代碼見附錄B。Fig. The electric field and magnetic field waveform after 300 time steps為了消除這種反射，我們可以在程序中增加設(shè)置吸收邊界的代碼。附錄A的程序代碼模擬了高斯脈沖在自由空間的傳播過程，在這個(gè)程序中問題空間的大小設(shè)為200個(gè)空間步長，即k由1變化到200，其中脈沖源設(shè)置在k=100處，這樣能使我們得以同時(shí)觀察向正負(fù)z兩個(gè)方向傳播的一維平面波，程序中保存時(shí)間步總數(shù)的變量“nsteps”可由讀者重新設(shè)定，以根據(jù)需要觀測(cè)波形的變化。對(duì)式（）整理可得： （）仔細(xì)觀察此式不難看出它所表述的含義：空間某位置任意時(shí)間步的電場(chǎng)等于該點(diǎn)前一時(shí)間步的電場(chǎng)與鄰近磁場(chǎng)空間變化率之代數(shù)和；空間某位置任意時(shí)間步的磁場(chǎng)等于該點(diǎn)前一時(shí)間步的磁場(chǎng)與鄰近電場(chǎng)空間變化率之代數(shù)和。上述旋度方程中和均為三維矢量，所以等價(jià)于六個(gè)標(biāo)量方程，我們僅以其中的和為代表展開一維FDTD問題的表述，即 （）這是沿z方向傳播的一維平面波方程，電場(chǎng)方向是x方向，磁場(chǎng)是y方向。解決辦法是利用電通密度把媒質(zhì)的特性統(tǒng)一到一個(gè)式子中集中處理，具體如下： （）這樣，不管媒質(zhì)是導(dǎo)電的還是色散的，計(jì)算的復(fù)雜性都包括在式（）的第二個(gè)式子中，而第一和第三兩式保持對(duì)稱。在正式介紹之前，作如下兩點(diǎn)處理說明：由于和在數(shù)值上相差若干數(shù)量級(jí)，致使電場(chǎng)和磁場(chǎng)的數(shù)值不在相同的數(shù)量級(jí)上，在編寫程序時(shí)，應(yīng)考慮到編程語言數(shù)據(jù)類型的精度范圍，所以為了使電場(chǎng)和磁場(chǎng)在某種編程語言下具有相同的精度，可令，這種歸一化處理有助于計(jì)算準(zhǔn)確度的提高[27]。不求面面俱到，只為說明該方法的主要構(gòu)成脈絡(luò)和基本應(yīng)用技術(shù)。事實(shí)上，從感性上來說，微分運(yùn)算也就是極限意義下的差商運(yùn)算。天線陣的各縫隙不同相激勵(lì)，具有一個(gè)固定相差，所以方向性圖主瓣將偏離縫隙面的法線一定角度。所以這類縫隙陣是窄頻帶的。（b）b b（a）Fig. The layout of oblique slots array in the narrow face of a waveguide諧振式縫隙陣是側(cè)射陣，方向性圖主瓣最大值方向指向縫隙面的法線方向。（a）是傾斜方向相同的情況，（b）是傾斜方向相反的情況。對(duì)于寬邊縱向縫隙陣而言，由于中軸線兩側(cè)的橫向電流反向，能產(chǎn)生所需的附加相移，所以可以把相鄰縫隙交替地分布在波導(dǎo)寬壁中線兩側(cè)。縫隙諧振與否是由縫隙的長度決定的，一般而言半波縫隙諧振長度略短于，而且縫越寬，較短得越多。當(dāng)時(shí)，稱為諧振式縫隙陣；當(dāng)時(shí)，稱為非諧振式縫隙陣。另一方面這又決定了各縫的相位差與縫的間距d有密切關(guān)系，二者不再是相互獨(dú)立的了，而各縫的激勵(lì)幅度則與縫在波導(dǎo)上的位置和方向有關(guān)。波導(dǎo)縫隙陣一般也是采用等間距和等相位差的，這時(shí)，于是 （）令，則 （）對(duì)于等幅陣，則 ()或 （）對(duì)于同相等幅陣，則 （）這是一個(gè)側(cè)射陣，最大輻射方向在陣軸線的垂直方向，即。它的方向性取決于天線元的數(shù)目N，各元的幅度分布和相位分布以及天線元之間的距離。在同一根波導(dǎo)上開若干個(gè)縫可構(gòu)成直線陣，用若干個(gè)開縫的波導(dǎo)可構(gòu)成平面陣。另外，由于波導(dǎo)窄邊尺寸b較小，窄邊斜縫一般都要延伸到寬邊上去[25]。它是由豎向表面電流激勵(lì)的，也等效為并聯(lián)導(dǎo)納，長度適當(dāng)時(shí)諧振，諧振電導(dǎo)值按下式計(jì)算[25]： （）其中，是縫隙的傾角，其余各量與以前所述相同。由式（）可知，寬邊橫向縫隙的等效電阻隨縫偏離中線距離的增大而減小，在中線上等效電阻取得最大值。這和傳輸線串聯(lián)接入阻抗的情況相當(dāng)，所以寬邊橫縫等效為串聯(lián)的阻抗，（c）所示。由式（）可知，寬邊縱向縫隙偏離中心線越遠(yuǎn)，等效電導(dǎo)越大。在縫的長度適當(dāng)（略短于）時(shí)發(fā)生諧振，電納等于零而變成純電導(dǎo)。這樣在縫隙的中點(diǎn)兩邊便出現(xiàn)了由橫向表面電流的彎曲引起的附加縱向電流，使得在縫隙中點(diǎn)兩邊的總縱向電流的大小不相等而發(fā)生突變，這與傳輸線并聯(lián)接入阻抗的情況相當(dāng)，所以寬邊縱向縫隙等效為并聯(lián)導(dǎo)納。波導(dǎo)上開的縫隙可等效為負(fù)載，開縫的波導(dǎo)便等效為加載傳輸線，根據(jù)開縫的位置和方向，縫隙或等效為串聯(lián)的負(fù)載或等效為并聯(lián)的負(fù)載。另外沿波導(dǎo)縱軸方向相距半個(gè)波導(dǎo)波長的兩個(gè)截面上，縱向表面電流和橫向表面電流都是反相的，因而在波導(dǎo)縱軸方向上相距的縫隙是反相的，相距的縫隙是同相的。因而寬面還可以開橫向縫隙，橫縫在寬面中心線上受到的激勵(lì)最強(qiáng)，往邊沿逐漸減小。同一橫截面上中心線兩邊的橫向表面電流是反相的，因而開在中心線兩邊的縱縫是反相激勵(lì)的。橫向電流在波導(dǎo)寬面中軸線處等于零，往兩邊沿逐漸增至最大，所以切割橫向表面電流的寬壁縱向縫隙在中軸線上是得不到激勵(lì)的，因而這樣的縫隙不能用作天線，而波導(dǎo)測(cè)量線正是利用這個(gè)特點(diǎn)，將縱縫開在寬面中心而使輻射損耗最小。能產(chǎn)生輻射的縫隙都能有效切割表面電流線，而不能產(chǎn)生輻射的縫隙是與表面電流線平行的，不能有效切割表面電流線。這是因?yàn)檎谪Q縫和寬壁中軸線上的縱縫對(duì)波導(dǎo)內(nèi)原來的電磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)無明顯影響，而其它形式的縫隙能有效地改變波導(dǎo)壁表面的場(chǎng)分布。波導(dǎo)縫隙要成為有效的天線必須選擇在適當(dāng)?shù)奈恢煤头较?。由于邊緣繞射的干涉，將使方向性圖出現(xiàn)波紋，平板加大，波動(dòng)減小，波紋數(shù)增多，方向性圖向無限大平板時(shí)的方向性圖趨近[23]。實(shí)際的縫隙天線都是開在有限尺寸的良導(dǎo)電金屬板上的。因此鉛垂縫隙是水平極化的，水平縫隙是垂直極化的。方向性函數(shù)都是： （）在包含縫隙軸線的平面內(nèi)方向性圖示“8”字形，在垂直于縫隙軸線的平面內(nèi)方向性圖是圓形。電流沿軸線按正弦律分布的對(duì)稱振子的遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng)為[22]： （）式中振子的波腹電流可以用振子表面的波腹切向磁場(chǎng)表示。場(chǎng)量下角標(biāo)中的d和s分別表示屬于振子或縫隙。由電磁場(chǎng)邊界條件可知，對(duì)帶狀振子來說，在振子上切向電場(chǎng)為零，因?yàn)檎褡邮抢硐雽?dǎo)體；在振子以外切向磁場(chǎng)為零，因?yàn)檎褡拥拇艌?chǎng)均垂直于分界平面。，下面定性說明邊界條件的對(duì)偶。理想縫隙受到激勵(lì)時(shí)，由于縫很窄，縫隙上只存在與寬邊垂直的切向電場(chǎng)，根據(jù)等效原理，切向電場(chǎng)可等效為表面磁流。“電型源”的麥克斯韋方程組的形式如下： （）“磁型源”的麥克斯韋方程組