第三講函數(shù)的基本性質(zhì)-文庫吧資料
2025-06-30 08:14本頁面
【正文】 ；單調(diào)減區(qū)間為。（2）解法一：函數(shù)的定義域為R，分解基本函數(shù)為和。解：（1）函數(shù)的定義域為，分解基本函數(shù)為、顯然在上是單調(diào)遞減的，而在上分別是單調(diào)遞減和單調(diào)遞增的。對于含參數(shù)的函數(shù)應用函數(shù)單調(diào)性的定義求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。題型四：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例7．（2001春季北京、安徽，12）設(shè)函數(shù)f（x）＝（a＞b＞0），求f（x）的單調(diào)區(qū)間，并證明f（x）在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性。點評：該題屬于判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性。在R上任取xx2，設(shè)x1x2，∴f(x2)= f(x1)， ∵f(x)是R上的增函數(shù)，且f(10)=1，∴當x10時0 f(x)1, 而當x10時f(x)1。例6．已知f(x)是定義在R上的增函數(shù)，對x∈R有f(x)0，且f(5)=1，設(shè)F(x)= f(x)+，討論F (x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論。（2）(定義法)設(shè)，則，由，得，∴，即，∴在上為增函數(shù)。解：（1）依題意，對一切，有，即。題型三：判斷證明函數(shù)的單調(diào)性例5．（2001天津，19）設(shè)，是上的偶函數(shù)。例4．已知定義在R上的函數(shù)y= f(x)滿足f(2+x)= f(2－x)，且f(x)是偶函數(shù)，當x∈[0，2]時，f(x)=2x－1，求x∈[－4，0]時f(x)的表達式。點評：該題考察函數(shù)奇偶性的應用。題型二：奇偶性的應用例3．（2002上海春，4）設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若當x≥0時，f（x）=log3（1+x），則f（－2）=____ _。點評：該題考察了判斷抽象函數(shù)奇偶性的問題。例2．()設(shè)函數(shù)f（x）在（－∞，+∞）內(nèi)有定義，下列函數(shù)：①y=－|f（x）|；②y=xf（x2）；③y=－f（－x）；④y=f（x）－f（－x）。（2）須要分兩段討論：①設(shè)②設(shè)③當x=0時f(x)=0，也滿足f(－x)=－f(x)；由①、②、③知，對x∈R有f(－x) =－f(x)， ∴f(x)為奇函數(shù)；（3），∴函數(shù)的定義域為，∴f(x)=log21=0(x=177。（2）利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲档姆椒ǎ?利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲担?利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲?； 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲担喝绻瘮?shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；4．周期性（1）定義：如果存在一個非零常數(shù)T，使得對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+T)= f(x)，則稱f(x)為周期函數(shù)；（2）性質(zhì)：①f(x+T)= f(x)常常寫作若f(x)的周期中，存在一個最小的正數(shù)，則稱它為f(x)的最小正周期；②若周期函數(shù)f(x)的周期為T，則f(ωx)（ω≠0）是周期函數(shù)，且周期為。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。（5）簡單性質(zhì)①奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；②偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反； ③在公共定義域內(nèi)：增函數(shù)增函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)減函數(shù)是減函數(shù)；增函數(shù)減函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)增函數(shù)是減函數(shù)。（3）設(shè)復合函數(shù)y= f[g(x)]，其中u=g(x) , A是y= f[g(x)]定義域的某個區(qū)間，B是映射g : x→u=g(x) 的象集：①若u=g(x) 在 A上是增（或減）函數(shù)，y= f(u)在B上也是增（或減）函數(shù)，則函數(shù)y= f[g(x)]在A上是增函數(shù)；②若u=g(x)在A上是增（或減）函數(shù)，而y= f(u)在B上是減（或增）函數(shù)，則函數(shù)y= f[g(x)]在A上是減函數(shù)。（2）利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟
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