【正文】 列矩陣其中矩陣元素∈{1,2,…,n}表示決策者k對(duì)方案Ai在屬性 j上所排的名次。NASA組織了六位專家(D1, D2, D3, D4, D5, D6)對(duì)方案實(shí)施考察，后因?qū)嶒?yàn)時(shí)間和條件的限制，通訊航行實(shí)驗(yàn)的方案被先行淘汰而退出了選擇程序。例12. 2 NASA為宇宙飛船的科學(xué)實(shí)驗(yàn)擬定了六個(gè)可能的實(shí)驗(yàn)方案，它們分別是：通訊與航行實(shí)驗(yàn)(A1)，地面觀測(cè)實(shí)驗(yàn)(A2)，物理化學(xué)實(shí)驗(yàn)(A3)，微生物實(shí)驗(yàn)(A4)，系統(tǒng)檢測(cè)實(shí)驗(yàn)(A5) 和環(huán)境效應(yīng)實(shí)驗(yàn)(A6)。綜上所述，求解一個(gè)效用值獨(dú)立可加的群決策問(wèn)題，關(guān)鍵在于怎樣合成和什么時(shí)候合成。為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化，假定個(gè)人效用函數(shù)的效用值是獨(dú)立可加的。其決策模式寫為： C1 C2 Cl 與多屬性決策一樣，決策者采用的評(píng)價(jià)方式有序數(shù)型和基數(shù)型兩種：前者只給出每一屬性上各方案的排列順序；后者則度量各方案每一屬上的實(shí)際水平，并以數(shù)值形式表明其結(jié)果。每一位決策者將依據(jù)自己選定的一組屬性C = {C1, C2,…,Cl} 對(duì)每一個(gè)方案獨(dú)立地進(jìn)行評(píng)價(jià)，并用權(quán)向量w = {w1, w2,…, wl} 表示各屬性的重要程度，符合歸一化條件w1 + w2 + … + wn = 1。這里，我們將在本書第九章的基礎(chǔ)上，介紹有多個(gè)決策者存在時(shí)多屬性決策問(wèn)題的解決方法。 多屬性群決策方法在前面討論的群決策模式中，事物的屬性并沒有以外在的形式表現(xiàn)出來(lái)。但在實(shí)際決策中，直接構(gòu)造群效用函數(shù)有諸多不便，故很少應(yīng)用。群效用函數(shù)的存在性表明，可以由群中每個(gè)成員的偏好形成整個(gè)群體的偏好，并根據(jù)群體的偏好排列方案的順序。定理12. 3 滿足上述條件的群效用函數(shù)可以表示為：式中為標(biāo)度常數(shù)，, i = 1,2,…,m。換言之，此時(shí)的群偏好等價(jià)于第i個(gè)成員的偏好。(2) 乘法模型條件1 個(gè)人效用函數(shù)和群效用函數(shù)均應(yīng)滿足關(guān)于效用的NeumannMorgenstern 公理系統(tǒng)，即方案集A上的二元關(guān)系是完備的、傳遞的、獨(dú)立的、和連續(xù)的。條件3 個(gè)人效用函數(shù)的效用值是獨(dú)立可加的?，F(xiàn)將這兩種模型分別介紹如下：(1) 加法模型條件1 個(gè)人效用函數(shù)和群效用函數(shù)均應(yīng)滿足關(guān)于效用的NeumannMorgenstern 公理系統(tǒng)，即方案集A上的二元關(guān)系是完備的、傳遞的、獨(dú)立的、和連續(xù)的。群效用函數(shù)的一般形式為：式中代表第i個(gè)決策者對(duì)方案x的個(gè)人效用函數(shù)值。容易證明，在個(gè)人效用函數(shù)基礎(chǔ)上建立的群效用函數(shù)可以滿足Arrow 提出的全部條件和公理。這樣得到的社會(huì)福利函數(shù)被稱為基數(shù)型的社會(huì)福利函數(shù)。從方法上來(lái)看，序數(shù)型的社會(huì)福利函數(shù)僅僅給出了個(gè)人和群體對(duì)不同方案的偏好順序，但忽略了他們對(duì)不同方案的偏愛程度，因而缺乏對(duì)事物的分辨力。同時(shí)，F(xiàn)ishburn (1970) 已經(jīng)證明，當(dāng)問(wèn)題的決策集是無(wú)限集合時(shí)，Arrow 定義的五個(gè)條件將可以被滿足。在這種情況下，主人要招待這兩位客人顯然是以茶為好。設(shè)主人擬用茶或咖啡中的一種同時(shí)招待兩位客人，如果主人只知道客人甲對(duì)咖啡的喜好勝于茶，而客人乙對(duì)茶的喜好勝于咖啡，則主人會(huì)認(rèn)為以茶或咖啡待客是沒有區(qū)別的。社會(huì)福利函數(shù)之所以不能同時(shí)滿足Arrow定義的兩條公理和五個(gè)條件，有原理和方法兩方面的原因。每一條不可能性定理的后面都伴隨著相應(yīng)的可能性定理和一系列相互可比的條件，這些條件都是通過(guò)松弛或弱化Arrow 定理中的一個(gè)或多個(gè)條件以達(dá)成一致而得到的。在Arrow之后，許多其它形式的不可能性定理相繼提出。條件5 (非獨(dú)裁性) 對(duì)于A中的任意方案，沒有任何一個(gè)決策者可以為群體指定一個(gè)優(yōu)劣次序，或者，而不管其它決策者的意見如何。條件3 (無(wú)關(guān)方案獨(dú)立性) 設(shè)A’ 為方案集A中的一個(gè)子集，如果每一個(gè)決策者都保持對(duì)A’ 中方案兩兩比較的結(jié)果不變，而只改變A’ 以外方案的比較結(jié)果，則對(duì)A’ 中的方案來(lái)說(shuō)，兩種情況下的決策次序是一樣的。條件1 (完備性) 方案集A中至少有三個(gè)方案，決策群D中至少有二個(gè)決策人，由社會(huì)福利函數(shù)產(chǎn)生的群決策法則必須考慮每一個(gè)決策者的選擇意愿。它們是：公理1 連通性：設(shè)有方案集 和決策群 ，決策者對(duì)于A中任意方案的偏好，不是，就是，或者。容易想見，滿足上述定義的社會(huì)福利函數(shù)很多，有些是可以接受的，有些是不能接受的。如果有多個(gè)方案被認(rèn)為無(wú)差異時(shí)，也可用類似的方式進(jìn)行處理。(4) 正相關(guān)性：如果一個(gè)或幾個(gè)決策成員的選擇意向朝著對(duì)方案x有利的方面轉(zhuǎn)化，而對(duì)其它方案的選擇意向保持不變，則方案x所處的選舉地位只會(huì)變好，不會(huì)變差。(2) 公正性：如果所有的人都改變?cè)瓉?lái)的選擇意向，則原決策的結(jié)果將會(huì)被推翻，其作用是防止任何候選人或候選方案被外部勢(shì)力內(nèi)定為決策的必然結(jié)果。則由社會(huì)福利函數(shù) f 確定的群決策法則具有以下性質(zhì)：(1) 可決策性：；(2) 公正性：；(3) 平等性：如果σ是{1,…,m}上的任一排列，則 (4) 正相關(guān)性：；(5) 均分性：對(duì)于任意正整數(shù) m，；(6) 弱Pareto最優(yōu)性：；(7) 強(qiáng)Pareto最優(yōu)性：如果中的某些值等于1，而其它值等于0，則 如果中的全部值等于0，則。定義12. 3 設(shè)有一組方案 和決策群體D = (D1, D2, …, Dm)。(4) R是可傳遞的當(dāng)且僅當(dāng)：，即如果，而且y R z，則x R z。式中∨是邏輯或的符號(hào)，即對(duì)于集合A中的任何x, y不是x R y，就是y R x。則：(1) R是自反的當(dāng)且僅當(dāng)：x R x, ?x∈A。在介紹Arrow的不可能性定理之前，我們先引進(jìn)二元關(guān)系和社會(huì)福利函數(shù)的定義與性質(zhì)：定義12. 1 集合A上的一個(gè)二元關(guān)系R是域AA上的一個(gè)子集，定義為 A上全部有序?qū)?(x, y) 的集合，記作x R y，并用符號(hào) ?, ? 和 ～ 分別表示x, y之間的強(qiáng)序關(guān)系，弱序關(guān)系和無(wú)差異關(guān)系，記作x ? y，x ? y和x ～ y。針對(duì)這種情形，Arrow提出了滿足一致性要求的兩條公理和五項(xiàng)條件，并在此基礎(chǔ)上證明了著名的Arrow不可能性定理，即在一般情形下不可能找到一種程序或方法將所有社會(huì)成員的個(gè)人偏好集成為整個(gè)社會(huì)的群體偏好而不違背一致性原則。福利經(jīng)濟(jì)學(xué)家從社會(huì)福利的觀點(diǎn)去評(píng)價(jià)各種可能的社會(huì)結(jié)構(gòu)，并用一個(gè)反映社會(huì)狀況的實(shí)值函數(shù) —— 福利函數(shù)去度量和判斷每種社會(huì)結(jié)構(gòu)的優(yōu)劣。(3) Cook－Seiford函數(shù)：已知i = 1,2,…,60，j = a, b, c，k = 1, 2, 3類似地，可算出：以上距離系數(shù)被總結(jié)在下面的矩陣表中： kj123a624858b512969c674353這是一個(gè)使總偏差達(dá)到最小的分配問(wèn)題，其求解過(guò)程為：62485814010000512969220408030674353240101000結(jié)論：a b c。采用Condorcet函數(shù)的計(jì)算結(jié)果可表示為如下矩陣形式：abcfC a－332525b27－4227c3518－18結(jié)論：b a c。 假設(shè)某班級(jí)60位學(xué)生擬從3名任課教師中評(píng)選1名優(yōu)秀教師，投票結(jié)果為：23票：a b c17票：b c a 2票：b a c10票：c a b 8票：c b a(1) Condorcet函數(shù)：兩兩比較結(jié)果為 (i：a i b) = 33， (i：b i a) = 27， (i：a i c) = 25， (i：c i a) = 35， (i：b i c) = 42， (i：c i b) = 18。