高二理科數(shù)學(xué)圓錐曲線測(cè)試題-文庫(kù)吧資料
2025-06-13 23:46本頁(yè)面
【正文】 線l的斜率為1，求MN的長(zhǎng)；②是否存在垂直于x軸的直線m被以MA為直徑的圓E所截得的弦長(zhǎng)為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說(shuō)明理由．[解] (1)由題意，可設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p0)．由a2－b2＝16－15＝1，得c＝1.∴拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)，∴p＝2.∴拋物線D的方程為y2＝4x.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)．①直線l的方程為：y＝x－4，聯(lián)立整理得x2－12x＋16＝0.則x1＋x2＝12，x1x2＝16，所以MN＝ ＝4.②設(shè)存在直線m：x＝a滿足題意，則圓心E，過(guò)E作直線x＝a的垂線，垂足為H，＝EG2－EH2，即GH2＝EA2－EH2＝－2＝y(tǒng)＋＋a(x1＋4)－a2＝x1－4x1＋a(x1＋4)－a2＝(a－3)x1＋4a－a2.當(dāng)a＝3時(shí)，GH2＝3，此時(shí)直線m被以MA為直徑的圓E所截得的弦長(zhǎng)恒為定值2.因此存在直線m：x＝3滿足題意． 以探究“是否存在”為目標(biāo)的開放性問(wèn)題，是高考的一個(gè)熱點(diǎn)，解決此類問(wèn)題的方法類似于反證法，即先假設(shè)存在并設(shè)出參數(shù)．建立方程，若有符合題意的解，則說(shuō)明存在，否則說(shuō)明不存在． 已知橢圓C的離心率e＝，一條準(zhǔn)線方程為x＝4，P為準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn)，直線PFPF2分別與以原點(diǎn)為圓心、橢圓的焦距F1F2為直徑的圓O交于點(diǎn)M、N.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)探究是否存在一定點(diǎn)恒在直線MN上？若存在，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)由題意得＝，＝4，解得c＝2，a＝2，則b2＝a2－c2＝4，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.(2)由(1)易知F1F2＝4，所以圓O的方程為x2＋y2＝4.設(shè)P(4，t)，則直線PF1方程為y＝(x＋2)，由得(t2＋36)x2＋4t2x＋4(t2－36)＝0，解得x1＝－2，x2＝－，所以M，同理可得N.①若MN⊥x軸，則－＝，解得t2＝12，此時(shí)點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)都為1，故直線MN過(guò)定點(diǎn)(1,0)；②若MN與x軸不垂直，即t2≠12，此時(shí)kMN＝＝，所以直線MN的方程為y－＝，即y＝(x－1)，所以直線MN過(guò)定點(diǎn)(1,0)．綜上，直線MN過(guò)定點(diǎn)(1,0)． (1)求圓錐曲線方程常用的方法有定義法、待定系數(shù)法、軌跡方程法．而對(duì)于雙曲線和橢圓在不明確焦點(diǎn)坐標(biāo)的情況下可以統(tǒng)一設(shè)成mx2＋ny2＝1(mn≠0)，這樣可以避免對(duì)參數(shù)的討論．(2)求橢圓、雙曲線的離心率，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系，然后
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