格林函數(shù)(免費(fèi))-文庫吧資料
2025-05-22 12:01本頁面
【正文】 （1227） 類似地，用平面極坐標(biāo)可求得二維泊松方程的基本解 （1228）（二）用電像法求格林函數(shù)讓我們來考慮這樣一個(gè)物理問題。先假設(shè)點(diǎn)源位于坐標(biāo)原點(diǎn)，由于區(qū)域是無界的，點(diǎn)源產(chǎn)生的場應(yīng)與方向無關(guān)，如果選取球坐標(biāo)（r，q，j），則G0只是r的函數(shù)，方程（1222）變成一個(gè)常微分方程，當(dāng)r≠0時(shí)，G0滿足拉普拉斯方程 （1225）其解為 （1226）令無窮遠(yuǎn)處G0＝0，于是C2＝0。以靜電場為例，它描述在點(diǎn)r0電量為－e 0的點(diǎn)電荷在無界空間中所產(chǎn)生電場的r點(diǎn)的電勢，即。例如在第一邊值問題中，從而有 （1224）拉普拉斯方程（1223）的邊值問題的求解是熟知的。 我們將一個(gè)一般邊值問題的格林函數(shù) G 分成兩部分 （1221）其中G0是基本解。特別是對于無界區(qū)域的情形，常常還可以得到有限形式的解。確定了G，就能利用積分表式求得泊松方程邊值問題的解。 （一）無界空間的格林函數(shù)對于拉普拉斯方程，即（1214）式右邊的 f（r）≡0，這時(shí)，我們只要令（12119）和（12120）兩式右邊的體積分值等于零，便可得到拉普拉斯方程第一邊值問題的解 （12121）以及第三邊值問題的解 （12122）我們看到，借助格林公式，也可利用格林函數(shù)方法得到齊次方程定解問題的解。又由于格林函數(shù)的邊界條件，上式左邊。在剩下的區(qū)域T－K1－K2上，G（r，r1）和G（r，r2）并無奇點(diǎn)。以這兩點(diǎn)為中心，各作半徑為 e 的球面 S 1和 S 2?，F(xiàn)在來證明格林函數(shù)的對稱性。兩項(xiàng)積分中的格林函數(shù)相同。 （12119）和（12120）的物理意義就很清楚了，右邊第一個(gè)積分表示區(qū)域T中分布的源f（r0）在r點(diǎn)產(chǎn)生的場的總和。這個(gè)困難如何解決呢？原來，這個(gè)問題里的格林函數(shù)具有對稱性G（r，r0）＝G（r0，r），將（12113）和（12115）中的r和r0對調(diào)，并利用格林函數(shù)的對稱性，（12113）成為 （12119）這就是第一邊值問題解的積分表示式。（12113）和（12115）的物理解釋有一個(gè)困難。對于三維空間， 式中VT 是T 的體積。而熱量又不能經(jīng)由邊界散發(fā)出去，T 里的溫度必然要不停地升高，其分布不可能是穩(wěn)定的。邊界條件（12117）表明邊界是絕熱的。這在物理上是容易理解的：不妨把這個(gè)格林函數(shù)看作溫度分布。這樣，（12111）式成為 （12113）對于第三邊值問題，令v滿足齊次的第三類邊界條件， （12114）滿足方程（1216）及邊界條件（12114）的解稱為泊松方程第三類邊值問題的格林函數(shù)，也用G（r，r0）表示。從而不需要知道 在邊界 S 上的值。對于第一邊值問題，u在邊界 S 上的值是已知的函數(shù) j（M）。原來，對于函數(shù)v（r，r0），我們還只考慮其滿足方程（1216）。因此，我們還不能直接利用（12111）解決三類邊值問題。那么，能否用（12111）來解決邊值問題呢？我們看到，（12111）中需要同時(shí)知道u及 在邊界 S 上的值，但是，在第一邊值問題中，已知的只是 u 在邊界 S 上的值；在第二邊值問題中，已知的只是 在邊界S上的值。令 e
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