格林函數(shù)(免費(fèi))-在線瀏覽
2025-07-03 12:01本頁面
【正文】 （12111）中含 的一項(xiàng)等于零。滿足方程（1216）及邊界條件（12112）的解稱為泊松方程第一邊值問題的格林函數(shù)，用G（r，r0）表示。以G（r，r0）乘（1215）式兩邊，得又以 u 乘（12114），并以 G 代替其中的 v，得將這兩式相減，得將此式代入（12111），得 （12115）至于第二邊值問題，表面看來，似乎可以按上述同樣的辦法來解決，即令G為定解問題 （12116） （12117）的解，而由（12111）得到 （12118）可是，定解問題（12116）～（12117）的解不存在。泛定方程（12116）右邊的 d 函數(shù)表明在 S 所圍區(qū)域 T 中有一個(gè)點(diǎn)熱源。點(diǎn)熱源不停地放也熱量。這就需要引入推廣的格林函數(shù)。對(duì)于二維空間， 式中 AT 是 T 的面積，方程右邊添加的項(xiàng)是均勻分布的熱匯密度，這些熱匯的總體恰好吸收了點(diǎn)熱源所放出的熱量，不多也不少。公式左邊u的宗量r0 表明觀測點(diǎn)在r0，而右邊積分中的f（r）表示源在r，可是，格林函數(shù)G（r，r0）所代表的是r0的點(diǎn)源在r點(diǎn)產(chǎn)生的場。（12115）成為 （12120）這就是第三邊值問題解的積分表示式。第二個(gè)積分則代表邊界上的狀況對(duì)r點(diǎn)場的影響的總和。這正說明泊松方程的格林函數(shù)是點(diǎn)源在一定的邊界條件下所產(chǎn)生的場。在 T 中任取兩個(gè)定點(diǎn)r1和r2。從 T 挖去 S 1和 S 2 所圍的球K1和K2。以u(píng)＝G（r，r1），v＝G（r，r2）代入格林公式（1213）由于G（r，r1）和G（r，r2）是調(diào)和函數(shù)，上式右邊為零。這樣令e →0，上式成為0－v（r1）＋u（r2）－0＝0，即G（r1，r2）＝G（r2，r1）。 二、用電像法求格林函數(shù) 基本解 從167。雖然，求格林函數(shù)的問題本身也是邊值問題，但這是特殊的邊值問題，其求解比一般邊值問題簡單。無界區(qū)域的格林函數(shù)稱為相應(yīng)方程的基本解。對(duì)于三維泊松方程，即G0滿足 （1222）G1則滿足相應(yīng)的齊次方程（拉普拉斯方程） （1223）及相應(yīng)的邊界條件。至于方程（1222），它描述的是點(diǎn)r0的點(diǎn)源在無界空間產(chǎn)生的穩(wěn)定場?，F(xiàn)在再給出（1222）的一種解法。為了求出C1，將方程（1222）在包含r0＝0的區(qū)域作體積分，這個(gè)區(qū)域可取為以 r0＝0為球心，半徑為 e 的小球 Ke ，其邊界面為S e（參見圖121），利用（1213）（令其中的u≡1），將上式右邊體積分化成面積分。設(shè)在一接地導(dǎo)體球內(nèi)的M0（r 0）點(diǎn)放置一帶電量為 －e 0的點(diǎn)電荷。從電磁學(xué)知道，在接地導(dǎo)體球內(nèi)放置電荷時(shí)，導(dǎo)體球面上將產(chǎn)生感應(yīng)電荷。因此，我們可將G寫成兩部分之和 （12211）其中G0是不考慮球面邊界影響的電勢(shì)，G1則是感應(yīng)電荷引起的。至于G1則可從方程（12213）及邊界條件（12114）用分離變數(shù)等方法求得?，F(xiàn)在介紹另一種方法—— 電像法，用電像法可以得到有限形式的解。顯然，這一等效點(diǎn)電荷不能位于球內(nèi)，因?yàn)楦袘?yīng)電荷在球內(nèi)的場滿足（12213），即球內(nèi)是無源的。若將場點(diǎn)取在球面上的P點(diǎn)，如圖122所示，則 DOPM0和 DOM1P具有公共角 ∠POM1，如果按比例關(guān)系 r0∶a＝a∶r1
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