【正文】 數(shù)為 開環(huán)極點(diǎn)： 0（二重極點(diǎn)）：開環(huán)零點(diǎn)： 。 ? ?? ? ? ?0 2()5 20 ( 50)KsGss s s s??? ? ?50 20 5 0 Im Ree 實(shí)軸上根軌跡分布在 ? ? ? ?5 0 , 2 0 , 5 , 0 . 1 2 5? ? ? ? 例 3 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 要求繪制系統(tǒng)的根軌跡 。 例 3 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 要求繪制系統(tǒng)的根軌跡 。 ? ?? ? ? ?0 2()5 20 ( 50)KsGss s s s??? ? ?50 20 5 0 Im Ree n=5， m=1 開環(huán)零點(diǎn)： 開環(huán)極點(diǎn)： 0（ 二重 ） ， 5， 20， 50 5條根軌跡分別終止于開環(huán)零點(diǎn) 4個(gè)無窮遠(yuǎn)零點(diǎn) 。 0 22( 2 )()( 4 9 )KsGsss????jω σ 0 2 P1 o P2 P3 P4 1350 450 0)2()94( 22 ????? sKss? ?4233 4 8 1 2 08 7 2 0KK????? ? ? ? ???? ? ? ??? ?????96?crK根軌跡與虛軸的交點(diǎn)： 將 s=jω帶入閉環(huán)特征方程 整理后得 解得有意義的解為 Kcr＝ 96 例 2 繪制開環(huán)傳遞函數(shù)為 的系統(tǒng)根軌跡 。 3p例 2 繪制開環(huán)傳遞函數(shù)為 的系統(tǒng)根軌跡 。 由根軌跡的對稱性： 處出射角為： 45176。 0 22( 2 )()( 4 9 )KsGsss????jω σ 0 2 P1 o P2 P3 P4 1350 450 1p????? 27090)9090(902 ????? 或反向＝??確定復(fù)極點(diǎn) 處的出射角 =45176。 0 22( 2 )()( 4 9 )KsGsss????jω σ 0 2 P1 o P2 P3 P4 漸近線的方向角為 ＝ (2 1)Knm??? ,3? ??漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為 214)2(]2)52(2)52[( ???????????????? ? ?jjmnzp ji?例 2 繪制開環(huán)傳遞函數(shù)為 的系統(tǒng)根軌跡 。漸近線有 nm=3條 。o P4 P1 P2 P3 z 0 jω σ 3 1 2 Kcr＝ 7 例 2 繪制開環(huán)傳遞函數(shù)為 的系統(tǒng)根軌跡 。 ? ?? ?? ?2232)(20 ?????sssssKsG例 1 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)： 將 s=jω帶入閉環(huán)特征方程 整理后得 解得 4 3 25 8 6 ( 2 ) 0S S S S k S? ? ? ? ? ?3435 (6 ) 08 2 0KK????? ? ? ? ?? ?? ? ??0 1 .6 1。 ? ?? ?? ?2232)(20 ?????sssssKsG例 1 jω σ 3 1 2 實(shí)軸上根軌跡分布： ? ? ? ?, 3 , 2 , 0?? ? ? o P4 P1 P2 P3 z 0 已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 要求繪制系統(tǒng)的根軌跡 。 jω σ 3 1 2 三、根軌跡繪制舉例 o P4 P1 P2 P3 z 0 已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 要求繪制系統(tǒng)的根軌跡 。 j1 4條根軌跡分別起始于開環(huán)極點(diǎn) 0， 3， 1177。 o P4 P1 P2 P3 z 0 已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 要求繪制系統(tǒng)的根軌跡 。 Kcr=260 K=260時(shí)，兩個(gè)閉環(huán)特征根 P1,2=177。 Im Re 0 漸近線 43,44)12()12( ????? ???????? kmnk24)42()42(4011?????????????????jjmnzpmiinjj?復(fù)極點(diǎn)出射角 ?????? 90180)9045135(0 ????????分離、匯合點(diǎn) 1)( ?sN )204)(1()( 2 ???? sssssD0)8072244()()()()(23 ?????????ssssNsDsNsD求得分離、匯合點(diǎn) 21 ??s js ,2 ???分離角均為 90176。 0)()(1 ?? ?? jHjG????????0)]()(1I m [0)]()(1R e [????jHjGjHjG???????jssHsG 0)]()(1023 23 ?ksss ＋＋＋063 2 ??s 221 js ?＝，例：原系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 方法一： 建立勞斯表如下 k S0 0 2k/3 S1 k 3 S2 2 1 S3 由勞斯表，令 2k/3=0，得 k=6。利用勞斯表中 s2行的系數(shù)構(gòu)成輔助方程，必可解出純虛根的數(shù)值。 )()()( 2 sfassF ??)](2)())[(()()(2)()()( 2sfsfasassfassfassF???????????0)( ?? assF0)( ?? ? assF規(guī)則 7 ： 根軌跡的分離點(diǎn) 、 匯合點(diǎn)與分離角 分離角定義為進(jìn)入分離點(diǎn)的切線方向與離開分離點(diǎn)切線方向之間的夾角 兩條或兩條以上根軌跡分支在 s平面上的交點(diǎn)稱為根軌跡的分離點(diǎn)或匯合點(diǎn) 基于根軌跡的分離點(diǎn)或匯合點(diǎn)實(shí)質(zhì)上都是特征方程式的重根 0)()( * ）＝（＋ sNKsDsF ?0)()( * ）＝（＋ sNKsDsF ?0)()( * ）＝（＋ sNKsDsF ????0)()( ）＝（）－（ sNsDsNsD ??lk /)12( ?? 1,2,1,0 ?? lk ?分離角 。 （ 3）實(shí)軸上根軌跡的確定完全取決于點(diǎn) Si右側(cè)的開環(huán)零、極點(diǎn)分布。 σ jω P1 0 P2 P3 Z1 Si P5 P4 （ 1）位于點(diǎn) Si左側(cè)的開環(huán)零、極點(diǎn)指向 Si的矢量的相位角均為 0，在相角條件中，對總相角沒有貢獻(xiàn)。 等式兩端同時(shí)乘以 qn，可得 當(dāng) K* → ∞ 時(shí)，上式化為 這仍為 n次方程，有 n個(gè)根存在，即 。 法則 3：根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)：根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn) ，終止于開環(huán)零點(diǎn)；如果開環(huán)零點(diǎn)數(shù) m小于開環(huán)極點(diǎn)數(shù) n， 則有 （ nm） 條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)處 (的零點(diǎn) )。 )1()()( ?? ssKsHsG ? 確定實(shí)軸上的根軌跡 正實(shí)軸 ? 在實(shí)軸外任取一點(diǎn) 實(shí)軸上原點(diǎn)與 1點(diǎn)之間 1點(diǎn)左邊 ? 用模條件確定系數(shù) K的值 )( j??K ??????K)( j??K ???????? jjK根軌跡上點(diǎn) 所對應(yīng)的 所對應(yīng)的 值 根軌跡上點(diǎn)