【正文】 由此可見， 漸變型光纖 的 rms脈沖展寬 比 突變型光纖 減小 Δ/2倍 。 單位長(zhǎng)度光纖第 q階模式群產(chǎn)生的 時(shí)間延遲 dkdcdd qq???? 1??22222 ][ 模內(nèi)模間 ????? ???????? qq() 212222211211 ])23)(25()22(412)1(4[)232)(1(2 ??????????????gggCggccCggggcLN模間?() 式中 ， c為光速 ， k=2π/λ， λ為光波長(zhǎng) 。 設(shè)輸入脈沖和輸出脈沖為式()表示的 高斯函數(shù) ， 其 rms 脈沖寬度 分別為 ζ1和 ζ2， 頻率響應(yīng) 分別為 H1(f)和 H2(f)， 根據(jù) 傅里葉變換特性 得到 )()()(12fHfHfH ? () 光纖 3dB光帶寬 f3dB和 脈沖展寬 Δτ、 σ的定義示于圖 。 f3dB= )(1 87122ln2 M H Z??? ?() 由此得到 ， 信號(hào)通過光纖后產(chǎn)生的脈沖展寬 ζ= 或 Δη= ， Δη1和 Δη2分別為輸入脈沖和輸 出脈沖的 FWHM。 光纖實(shí)際測(cè)試表明，輸出光脈沖一般為 高斯波形 ，設(shè) Po(t)=h(t)=exp () )2( 22?t? 式中 ， ζ為 均方根 (rms)脈沖寬度 。 將歸一化頻率響應(yīng) |H(f) / H(0)|下降一半或減小 3dB的頻率定義為 光纖 3dB光帶寬 f3 dB， 由此得到 |H(f3dB)/H(0)|= 1/2 () 或 T(f)=10 lg|H(f3 dB)/H(0)|=3 () 一般 ， 光纖不能按線性系統(tǒng)處理 ， 但如果系統(tǒng) 光源的頻譜寬度 Δωλ比信號(hào)的頻譜寬度 Δωs大得 多 ， 光纖就可以近似為線性系統(tǒng) 。 沖擊響應(yīng) h(t)的 傅里葉 (Fourier)變換 為 ? ???? ?? dtftjthfH )2e x p ()()( ?() 一般 ， 頻率響應(yīng) |H(f)|隨頻率的增加而下降 ， 這表明輸入信號(hào)的 高頻成分 被 光纖衰減 了 。 光纖帶寬 的概念來源于 線性非時(shí)變系統(tǒng) 的一般理論 。 所以 ， 色散 通常用 3 dB光帶寬 f3dB或脈沖展寬 Δη表示 。 色散的種類： 模式色散 材料色散 波導(dǎo)色散 色散 對(duì)光纖傳輸系統(tǒng)的影響 ， 在時(shí)域和頻域的表示方法不同 。 兩個(gè)正交偏振模的相位差達(dá)到 2π的光纖長(zhǎng)度定義為拍長(zhǎng) Lb ????2bL() 雙折射 偏振色散 限制系統(tǒng)的傳輸容量 。 ??????? )( yx ???? () 合理的解決辦法是通過光纖設(shè)計(jì)，引入 強(qiáng)雙折射 ，把 B值增加到足以使 偏振態(tài) 保持不變，或只保存一個(gè)偏振模式，實(shí)現(xiàn) 單模單偏振傳輸 。 圖 用對(duì) LP01模給出最佳 注入效率 的高斯場(chǎng)分布時(shí) ， 歸一化 模場(chǎng)半徑 w0/a和注入效率 ρ與歸一化波長(zhǎng) λ/λc或歸一化頻率 V的函數(shù)關(guān)系 10 . 9 80 . 9 612301 2?? / ?c式 ( 2 . 3 8 )w0 / aw0 / a∞ 4 2 . 4 1 . 6 1 . 2V? 雙折射和偏振保持光纖 實(shí)際光纖難以避免的形狀不完善或應(yīng)力不均勻 ， 必定造成折射率分布 各向異性 ， 使兩個(gè)偏振模具有不同的傳輸常數(shù) (βx≠βy)。 圖中 ρ是基模 HE11的 注入效率 。 由此得到 2221 ??? nnaV ? ? () 光強(qiáng)分布和模場(chǎng)半徑 通常認(rèn)為 單模光纖 基模 HE11的電磁場(chǎng)分布近似為 高斯分布 式中 ， A為場(chǎng)的幅度 ， r為徑向坐標(biāo) ， w0為高斯分布 1/e點(diǎn)的半寬度 ， 稱為 模場(chǎng)半徑 。 HE11稱為 基模 ， 由兩個(gè)偏振態(tài)簡(jiǎn)并而成 。 當(dāng) V值減小時(shí) ， 不斷發(fā)生 模式截止 ， 模式數(shù)目 逐漸減少 。 用 q和 Q代替 m(β)和 M， 從式 ()得到第 q個(gè)模式群的傳輸常數(shù) 21221 ])(21[???? ggq Qqkn?() 光強(qiáng)分布 多模漸變型光纖 端面的 光強(qiáng)分布 (又稱為近場(chǎng) )P(r)主要由 折射率分布 n(r)決定 ， )()0()()()0()(2222annanrncprp???() 式中 P(0)為纖芯中心 (r=0)的光強(qiáng)， C為修正因子。 q稱為 主模數(shù) ， 表示模式群的階數(shù) ， 第 q個(gè)模式群有 2q個(gè)模式 ， 把各模式群的簡(jiǎn)并度加起來 ， 就得到模式數(shù) m(β)=q2。 經(jīng)計(jì)算 2)2()2(22122 VggnkaggM?????)2(2122212)2()( ?? ?? ggnknkMm ??() () 由式 ()看到： 對(duì)于 突變型光纖 ， g→∞ ， M=V2/2； 對(duì)于 平方律漸變型光纖 ， g=2， M=V2/4。 若干低階 LPvμ模簡(jiǎn)化的 本征方程 和 相應(yīng)的模式截止值 uc 和遠(yuǎn)離截止值 u∞列于表 ， 這些低階模式和相應(yīng)的 V值范圍列于表 ， 圖 電磁場(chǎng)矢量結(jié)構(gòu)圖 。這些模式稱為 線性偏振 (Linearly Polarized)模 ， 并記為 LPvμ。 這種光纖稱為 弱導(dǎo)光纖 ， 對(duì)于弱導(dǎo)光纖 β滿足的本征方程可以簡(jiǎn)化為 )()()()( 11wKwwKuJuuJvVVv ?? ??（ ） 由此得到的混合模 HEv+1μ和 EHv1μ(例如 HE31和 EH11)傳輸常數(shù) β相近 ， 電磁場(chǎng) 可以線性疊加 。 波動(dòng)方程和特征方程的精確求解都非常繁雜 ， 一般要進(jìn)行簡(jiǎn)化 。 第二個(gè)下標(biāo) μ是貝塞爾函數(shù)的根按從小到大排列的序數(shù) ， 稱為 徑向模數(shù) ， 它表示從纖芯中心 (r=0)到 纖芯 與 包層 交界面 (r=a)電場(chǎng)變化的半周期數(shù) 。 下標(biāo) v和 μ都是整數(shù) 。 當(dāng) v≠0時(shí) ， 電磁場(chǎng)六個(gè)分量都存在 ， 這些模式稱為 混合模(波 )。 一類只有 Ez、 Er和 Hθ分量 ，Hz=Hr=0， Eθ=0， 這類在傳輸方向無磁場(chǎng)的模式稱為 橫磁模 (波 )，記為 TM0μ。 對(duì)于每個(gè)確定的 v值 ， 可以從特征方程 ()求出一系列 uc值 ， 每個(gè) uc值對(duì)應(yīng)一定的模式 ， 決定其 β值和 電磁場(chǎng) 分布 。 w=0(β=n2k)介于傳輸模式和輻射模式的臨界狀態(tài) ， 這個(gè)狀態(tài)稱為 模式截止 。 圖 若干低階模式歸一化傳輸常數(shù)隨歸一化頻率變化的曲線 0 1 2 3 4 560b1n1n2? / kHE11TE01HE31HM01HE21EH11EH12HE41EH21TM02TE02HE22V兩種重要的模式特性 模式截止 : 電磁場(chǎng)介于傳輸模式和輻射模式的臨界狀態(tài)， 這個(gè)狀態(tài)稱為 模式截止 模式遠(yuǎn)離截止 : 當(dāng) V→∞ 時(shí)， w增加很快，當(dāng) w→∞ 時(shí)，u只能增加到一個(gè)有限值，這個(gè)狀態(tài)稱為 模式遠(yuǎn)離截止 模式截止 由修正的 貝塞爾函數(shù) 的性質(zhì)可知 ， 當(dāng) →∞ 時(shí) ， → ， 要求在包層電磁場(chǎng)消逝為零 ， → 0， 必要條件是 w0。 圖中縱坐標(biāo)的傳輸常數(shù) β取值范圍為 n2k≤β≤n1k () 相當(dāng)于 歸一化傳輸常數(shù) b的取值范圍為 0≤b≤1， )11)(11()(])( )()( )(][)( )()()([ 2222212222222139。 由 Eθ和 Hθ的 邊界條件 導(dǎo)出 β滿足的 特征方程 為 這是一個(gè)超越方程 ， 由這個(gè)方程和式 ()定義的特征參數(shù) V聯(lián)立 ， 就可求得 β值 。 由式 ()確定 電磁場(chǎng) 的 縱向分量 Ez和 Hz后 ， 就可以通過麥克斯韋方程組導(dǎo)出 電磁場(chǎng)橫向分量 Er、 Hr和 Eθ、 Hθ的表達(dá)式 。 由式 ()看到 ， 在光纖基本參數(shù) n n a和 k已知的條件下 ， u和 w只和 β有關(guān) 。 u和 w決定纖芯和包層橫向 (r)電磁場(chǎng)的分布 ， 稱為 橫向傳輸常數(shù) ； β決定縱向 (z)電磁場(chǎng)分布和傳輸性質(zhì) ， 所以稱為 (縱向 )傳輸常數(shù) 。 Jv(u)和 Kv(w)如圖 ， Jv(u)類似振幅衰減的正弦曲線 ， Kv(w)類似衰減的指數(shù)曲線 。 根據(jù)這些特點(diǎn) ， 式 ()的解應(yīng)取 v階 貝塞爾函數(shù) Jv(ur/a)， 而式 ()的解則應(yīng)取 v階修正的 貝塞爾函數(shù) Kv(wr/a)。 為求解方程 ()， 引入無量綱參數(shù) u, w和 V。 這樣就把分析光纖中的 電磁場(chǎng)分布 ， 歸結(jié)為求解 貝塞爾 ( Bessel)方程 ()。 由于光纖的 圓對(duì)稱性 ， Ez(θ)應(yīng)為 方位角 φ的周期函數(shù) ， 設(shè)為 exp( jvυ)， v為整數(shù) 。 把 Ez(r, θ, z)分解為 Ez(r)、 Ez(θ)和 Ez(z)。 將式 ()在圓柱坐標(biāo)中展開 ， 得到電場(chǎng)的 z分量 Ez 的 波動(dòng)方程 為 0)( 22 ??? EE ?() 0)( 22 ??? HH ?() 0)(11 22222222????????????? ZZZZZ EzEErrErrE ??() 1. 波動(dòng)方程和電磁場(chǎng)表達(dá)式 設(shè)光纖沒有 損耗 ， 折射率 n變化很小 ， 在光纖中傳播的是角頻率為 ω的 單色光 ， 電磁場(chǎng)與時(shí)間 t的關(guān)系為 exp(jωt)， 則 標(biāo)量波動(dòng) 方程為 圖 光纖中的圓柱坐標(biāo) xryz?包層 n2纖芯 n1 磁場(chǎng)分量 Hz的方程和式 ()完全相同 ， 不再列出 。 和 突變型多模光纖 的處理相似 ， 取 θ0=θc(rm=a)和 θ0=0 (rm=0)的 時(shí)間延遲 差 為 Δτ， 由式 ()得到 )1(2)0(21(2)0(2220 2222 arcnadrrrarcan mmrm????????? ? ?? () ???? 2 )0(c na ??() 由圖 可 以 得 到 n(0)cosθ0=n(r)cosθ=n(rm) cos0 ， 又v(r)=c/n(r)， 利用這些條件 ， 再把式 ()代入 ， 式 ()就變成 光纖傳輸?shù)牟▌?dòng)理論 光纖傳輸?shù)牟▌?dòng)理論的兩個(gè)出發(fā)點(diǎn) 波動(dòng)方程和電磁場(chǎng)表達(dá)式 特征方程和傳輸模式 光