【正文】 尺度的增大而減??； 22l og ( , ) l ogfsW s t A j???2j??特別地，當(dāng) 時(shí)，則有 0??當(dāng) 時(shí) , 小波變換的極大值將隨尺度的增大而增大； 0?? 時(shí)，小波變換的極大值不隨尺度的變化而變化。 ()ft也對(duì)應(yīng)信號(hào) 的突變點(diǎn)。 對(duì)一個(gè)固定的尺度 ( ) ( )sf t t?? ()ft的拐點(diǎn)，即 對(duì)應(yīng)著 的突變點(diǎn)。 ? 函數(shù)在一點(diǎn)不連續(xù)但有界 ,則函數(shù)在該點(diǎn)的 Lipschitz指數(shù)為 0。 ? 如果函數(shù)在某點(diǎn) n次可微，但其 n階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)的 Lipschitz指數(shù)滿足 1nn?? ? ? 。 稱 )(tf 在點(diǎn) 具有 Lipschitz指數(shù) ?0t若對(duì)任意的 ],[0 bat ?，函數(shù) )(tf 都有 Lipschitz指數(shù) ? ，其中 常數(shù) 0At與無(wú)關(guān)，則稱 )(tf 在區(qū)間 ],[ ba 上具有一致 Lipschitz 指數(shù) ?小波分析與信號(hào)的奇異性檢測(cè) 函數(shù)在某點(diǎn)的 Lipschitz指數(shù)刻畫了函數(shù)在該點(diǎn)的正則性： ? Lipschitz指數(shù)越大 , 函數(shù)越光滑，奇異性越??；反之，該點(diǎn)的奇異 性越大，該點(diǎn)的光滑度就越小。 利用小波變換具有時(shí)頻局部化的性能，可以對(duì)函數(shù) (信號(hào) )的奇異性進(jìn)行分析， 并確定奇異點(diǎn)的位置與奇異性的大小。 函數(shù)（信號(hào)）在某點(diǎn)處間斷或某階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，稱函數(shù) 在該點(diǎn)處有奇異性，該點(diǎn)稱為奇異點(diǎn)。并求得降噪后信號(hào)的能量 成分與標(biāo)準(zhǔn)差： 全局閾值降噪 后信號(hào)的能量成分 per1= 分層閾值降噪后信號(hào)的能量成分 per2= 全局閾值降噪 后信號(hào)與原信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差 err1= +003 分層閾值降噪后信號(hào)與原信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差 err2=+003 降噪實(shí)例 二維信號(hào)的小波降噪 例 7： 二維信號(hào)的小波降噪 原始圖像50 100 150 200 25050100150200250含噪聲圖像50 100 150 200 25050100150200250降噪后圖像50 100 150 200 25050100150200250使用分層閾值降噪后圖像50 100 150 200 25050100150200250圖 67 降噪實(shí)例 小波分析與信號(hào)的奇異性檢測(cè) Lipschitz指數(shù)與正則性 基于小波變換的奇異信號(hào)的檢測(cè) 小波分析與信號(hào)的奇異性檢測(cè) 奇異點(diǎn)在信號(hào)和圖象處理中稱為邊緣點(diǎn)或突變點(diǎn)，它包 含了信號(hào)的重要特征。從直觀上解釋，是由于區(qū)分了不同方向的閾值后，可以更精確地刻畫各個(gè)方向上的噪聲分布情況，所以可以獲得更好的相似性。 降噪信號(hào)的能量成分以及其與原信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為： 全局閾值降噪 后信號(hào)的能量成分 per1= 分層閾值降噪后信號(hào)的能量成分 per2= 全局閾值降噪 后信號(hào)與原信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差 err1= 分層閾值降噪后信號(hào)與原信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差 err2= 降噪實(shí)例 例 7： 由此可見，全局閾值和分層閾值方法降噪后的信號(hào)都很好的保留了信號(hào)發(fā)展初期的高頻特性，且性能參數(shù)優(yōu)于以前的抑制細(xì)節(jié)系數(shù)的策略和 FFT方法。在這兩者之間，分層閾值雖然損失了部分的性能（與原信號(hào)的相似性），但比全局閾值的結(jié)果光滑很多。 降噪實(shí)例 Matlab缺省的降噪命令 原信號(hào)和降噪后的信號(hào)的圖形見圖 66。 降噪實(shí)例 例 6： 仍以信號(hào) noisdopp為例，利用基于 stein無(wú)偏似然估 計(jì)的方法，通過(guò)工具箱中自動(dòng)獲取對(duì)信號(hào)進(jìn)行降噪的命 令 wdencmp來(lái)進(jìn)一步說(shuō)明小波變換在信號(hào)降噪中的應(yīng)用， 其中閾值的選取可通過(guò)兩種方式：全局閾值和分層閾值。但是嚴(yán)格 地講，這些都不能很好的符合降噪的兩個(gè)基本要求 —— 光 滑性和相似性。這個(gè)例子很客觀地說(shuō)明了多 分辨分析在做變換的時(shí)對(duì)時(shí)間和頻率的兼顧，以及它同傳統(tǒng) 頻域方法無(wú)可比擬的優(yōu)勢(shì)。小波變換中，對(duì) 細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)行抑制后的濾波結(jié)果與原信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差為 ， 比 FFT的結(jié)果 。 還有一點(diǎn)值得注意的是，使用小波變換進(jìn)行噪聲抑制時(shí)， 降噪結(jié)果的能量比 (%)雖然沒有使用 FFT濾波器的結(jié)果 (%)高，但是保持了更高的與原信號(hào)的相似程度。所以單純對(duì)頻域的濾波有“一刀切”的缺陷，也就是把帶通之外的頻譜不加區(qū)分的濾掉。使用寬度分別為 30和 50 的濾波器對(duì)頻譜進(jìn)行濾波，抑制頻譜直接令其為零，然后對(duì)經(jīng)過(guò)濾 波的頻譜做 Fourier變換，得到相應(yīng)的降噪信號(hào) xd xd2與 xd3，其 圖形見圖 65。 由圖可見，信號(hào)的能量主要集中在低頻部分，在 20Hz以后迅速衰減 到零， 50Hz以后幾乎就沒有能量了。 降噪實(shí)例 ()ft ，降噪后的信號(hào)為 ()gt ，其 Fourier 設(shè)原始信號(hào)為 ( ) ( )FG??和 。 (3)對(duì)變換后的頻譜作 Fourier逆變換，得到降噪后的信號(hào)。 (1)對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行 Fourier變換，求出其頻譜。 在小波域中的細(xì)節(jié)系數(shù)若映射到 Fourier分析中的頻域，則代表高頻系數(shù)，如果只對(duì)高頻系數(shù)進(jìn)新抑制，同樣可以達(dá)到降噪的效果。見圖 63。此例中 取第 5層近似信號(hào) ca作為降噪后的信號(hào)。 在小波分解過(guò)程中，每次分解得到的系數(shù)比以前更光滑，舍去的細(xì)節(jié)信息就存在各層近似系數(shù)中。 在一個(gè)光滑的信號(hào)上加入一個(gè)高斯白噪聲， 使用 db4小波對(duì)其作 5層分解 ，觀察信號(hào)在時(shí)間 頻率域上的成分。這樣可以可以有效的避免間斷，使得重建信號(hào)比 較光滑。對(duì)于給定的 閾值 t，得到它的似然估計(jì)，然后將似然函數(shù)最小化，得到所需要 的閾值； 各種閾值的選取 閾值的確定 例 2： 產(chǎn)生一個(gè)長(zhǎng)度為 1000的隨機(jī)信號(hào) y， y的 SURE閾值為 thr = ； y的對(duì)數(shù)長(zhǎng)度閾值為 thr = y的啟發(fā)式 SURE閾值為 thr = y的 minimaxi閾值為 thr = 硬閾值和軟閾值去噪 硬閾值和軟閾值 在求得閾值以后，有兩種在信號(hào)上作用閾值的方法， 一種是令絕對(duì)值小于閾值的信號(hào)點(diǎn)的值為零，成為硬閾 值，這種方法的缺點(diǎn)是在某些點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生間斷。因?yàn)榻翟牒蟮男盘?hào)可 以看成與未知回歸函數(shù)的估計(jì)式相似，所以這種方法通過(guò)求得未知 回歸函數(shù)與原信號(hào)在最壞情況下的最小值來(lái)獲得閾值。 閾值的確定 ? 最小極大方差閾值 (minimaxi)：使得選取的閾值產(chǎn)生最小的極大方 差。 使用 penalty策略確定降噪的閾值 thr1 = 使用 BirgeMassart策略確定降噪的閾值 thr2 = nkeep = 1 2 3 5 11 使用缺省閾值確定閾值并用硬閾值對(duì)系數(shù)進(jìn)行處理 thr = sorh = s keepapp = 1 閾值的確定 幾種閾值降噪方法在降噪中的使用 0 200 400 600 800 1000 1200 2 0020原始信號(hào)0 200 400 600 800 1000 1200 2 0020用 p e n a l t y 閾值降噪后的信號(hào)0 200 400 600 800 1000 1200 2 0020用 B i r g e M a s s a r t 閾值降噪后的信號(hào)0 200 400 600 800 1000 1200 2 0020使用缺省閾值降噪后的信號(hào)圖 61 閾值的確定 基于樣本估計(jì)的閾值選擇 通過(guò)例 1可以看到，除了 BirgeMassart策略確定的閾 值外，其余方法的到的降噪信號(hào)太過(guò)于光滑，失去了原信 號(hào)本身的一些信息，這在以前講述的降噪準(zhǔn)則中，不符合 相似性原則，保留相似性的方法有很多，在數(shù)學(xué)上有一個(gè) 常用的標(biāo)準(zhǔn)就是在最壞情況下方差最小的約束下的樣本估 計(jì)。并使用用 penalty閾值降噪方法、 BirgeMassart閾值降噪方法以及缺省閾值降噪方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行降噪。 ? 的 典型值為 2。 其 中取得最小值的 為小波包分解系數(shù)排 序后第 k 大 的系數(shù)。 一般情況下， M 滿足 (1 ) 2 (1 )L M L??? 的取值因用途不同而不同， 閾值的確定 ? ? 壓縮情況下一般取 22( ) 2 ( l o g ( / ) )kktc r i t t c t n t???? ? ? ??令 t*為使得函數(shù) | * |ithr c?