【正文】 求第4項(xiàng)的系數(shù).：（1）；（2）.：（1）；（2） 7．展開式中的第項(xiàng)為，求． 8．求展開式的中間項(xiàng)答案：1. 2. 3. ，第4項(xiàng)的系數(shù) 5. （1）；（2）.6. （1）；（2） 7. 展開式中的第項(xiàng)為 8. 展開式的中間項(xiàng)為 1．3．2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)第一課時(shí)一、講解新課：1二項(xiàng)式系數(shù)表（楊輝三角）展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)依次取…時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)表，表中每行兩端都是，除以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和 2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：展開式的二項(xiàng)式系數(shù)是，…，．可以看成以為自變量的函數(shù)定義域是，例當(dāng)時(shí)，其圖象是個(gè)孤立的點(diǎn)（如圖）（1）對(duì)稱性．與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等（∵）．直線是圖象的對(duì)稱軸．（2）增減性與最大值．∵，∴相對(duì)于的增減情況由決定，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大．由對(duì)稱性知它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取得最大值；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)，取得最大值．（3）各二項(xiàng)式系數(shù)和：∵，令，則 二、講解范例：例1．在的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和證明：在展開式中，令，則，即，∴，即在的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和．說明：由性質(zhì)（3）及例1知.例2．已知，求：（1）； （2）； （3）.解：（1）當(dāng)時(shí)，展開式右邊為∴，當(dāng)時(shí)，∴，（2）令， ① 令， ②①② 得：，∴ .（3）由展開式知：均為負(fù)，均為正，∴由（2）中①+② 得：，∴ ， ∴ (1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展開式中x3的系數(shù)解：=，∴原式中實(shí)為這分子中的，則所求系數(shù)為第二課時(shí)(x2+3x+2)5的展開式中，求x的系數(shù)解：∵∴在(x+1)5展開式中，常數(shù)項(xiàng)為1，含x的項(xiàng)為，在(2+x)5展開式中，常數(shù)項(xiàng)為25=32，含x的項(xiàng)為 ∴展開式中含x的項(xiàng)為 ，∴此展開式中x的系數(shù)為240，第五項(xiàng)與第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為14；3，求展開式的常數(shù)項(xiàng)解：依題意 ∴3n(n1)(n2)(n3)/4!=4n(n1)/2!n=10設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，又 令，此所求常數(shù)項(xiàng)為180例6． 設(shè)，當(dāng)時(shí)，求的值解：令得：，∴，點(diǎn)評(píng)：對(duì)于，令即可得各項(xiàng)系數(shù)的和的值；令即，可得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)和的關(guān)系例7．求證：．證（法一）倒序相加：設(shè) ①又∵　　?、凇撸?， 由①+②得：，∴，即．（法二）：左邊各組合數(shù)的通項(xiàng)為，∴ ．例8．在的展開式中,求:①二項(xiàng)式系數(shù)的和?！喙灿?種選法。對(duì)原式右端我們可分為組長和副組長是否是同一個(gè)人兩種情況。例17．證明：…。現(xiàn)換一種選法，先選組長，有種選法，再?zèng)Q定剩下的人是否參加，每人都有兩種可能，所以組員的選法有種，所以選法總數(shù)為種。設(shè)某班有個(gè)同學(xué)，選出若干人（至少1人）組成興趣小組，并指定一人為組長。例16．證明：…。證明：設(shè)某班有個(gè)男同學(xué)、個(gè)女同學(xué)，從中選出個(gè)同學(xué)組成興趣小組，可分為類：男同學(xué)0個(gè)，1個(gè)，…，個(gè)，則女同學(xué)分別為個(gè)，個(gè)，…，0個(gè)，共有選法數(shù)為…。顯然，兩種選法是一致的，故左邊=右邊，等式成立。證明：原式左端可看成一個(gè)班有個(gè)同學(xué)，從中選出個(gè)同學(xué)組成興趣小組，在選出的個(gè)同學(xué)中，個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)興趣小組，余下的個(gè)同學(xué)參加物理興趣小組的選法數(shù)。（用數(shù)值作答）3．（2007年北京卷）記者要為5名志愿都和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（?。隆。粒?440種 Ｂ．960種 Ｃ．720種 Ｄ．480種4．圖３是某汽車維修公司的維修點(diǎn)分布圖，公司在年初分配給Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四個(gè)維修點(diǎn)的某種配件各５０件，在使用前發(fā)現(xiàn)需將Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四個(gè)維修點(diǎn)的這批配件分別調(diào)整為４０、４５、５４、６１件，但調(diào)整只能在相鄰維修點(diǎn)之間進(jìn)行，那么完成上述調(diào)整，最少的調(diào)動(dòng)件次（ｎ個(gè)配件從一個(gè)維修點(diǎn)調(diào)整到相鄰維修點(diǎn)的調(diào)動(dòng)件次為ｎ）為答案：B；?。ǎ粒保怠　　。ǎ拢保丁　　　。ǎ茫保贰　　。ǎ模保?．（2007年全國卷I）從班委會(huì)5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，則不同的選法共有 種．（用數(shù)字作答）6．（2007年全國卷Ⅱ）從5位同學(xué)中選派4位同學(xué)在星期五、星期六、星期日參加公益活動(dòng)，每人一天，要求星期五有2人參加，星期六、星期日各有1人參加，則不同的選派方法共有（ B ）A．40種 B．60種 C．100種 D．120種7. （2007年陜西卷）安排3名支教老師去6所學(xué)校任教，每校至多2人，則不同的分配方案共有 種.（用數(shù)字作答）8．（2007年四川卷）用數(shù)字0，1，2，3，4，5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字，并且比20000大的五位偶數(shù)共有（　?。ˋ）288個(gè) （B）240個(gè) （C）144個(gè) （D）126個(gè)解析：選B．對(duì)個(gè)位是0和個(gè)位不是0兩類情形分類計(jì)數(shù)；對(duì)每一類情形按“個(gè)位－最高位－中間三位”分步計(jì)數(shù)：①個(gè)位是0并且比20000大的五位偶數(shù)有個(gè)；②個(gè)位不是0并且比20000大的五位偶數(shù)有個(gè)；故共有個(gè)．本題考查兩個(gè)基本原理，是典型的源于教材的題目．9．（2007年重慶卷）某校要求每位學(xué)生從7門課程中選修4門，其中甲乙兩門課程不能都選，則不同的選課方案有____25_____種.（以數(shù)字作答）10．（2007年寧夏卷）某校安排5個(gè)班到4個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每個(gè)班去一個(gè)工廠，每個(gè)工廠至少安排一個(gè)班，不同的安排方法共有 240 種．（用數(shù)字作答）11．（2007年遼寧卷）將數(shù)字1，2，3，4，5，6拼成一列，記第個(gè)數(shù)為，若，則不同的排列方法有 種（用數(shù)字作答）．解析：分兩步：（1）先排，=2，有2種；=3有2種；=4有1種，共有5種；（2）再排，共有種，故不同的排列方法種數(shù)為56=30，填30． 1．2．2組合第一課時(shí)一、講解新課：1組合的概念：一般地，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合說明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——無序性；⑶相同組合：元素相同例1．判斷下列問題是組合還是排列（1）在北京、上海、廣州三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線上，有多少種不同的飛機(jī)票？有多少種不同的飛機(jī)票價(jià)？（2）高中部11個(gè)班進(jìn)行籃球單循環(huán)比賽，需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？（3）從全班23人中選出3人分別擔(dān)任班長、副班長、學(xué)習(xí)委員三個(gè)職務(wù)，有多少種不同的選法？選出三人參加某項(xiàng)勞動(dòng)，有多少種不同的選法？（4）10個(gè)人互相通信一次，共寫了多少封信？（5）10個(gè)人互通電話一次，共多少個(gè)電話？問題：（1）3和2是相同的組合嗎？（2）什么樣的兩個(gè)組合就叫相同的組合2．組合數(shù)的概念：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從 個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)．用符號(hào)表示．例2．用計(jì)算器計(jì)算．解：由計(jì)算器可得 例3．計(jì)算：（1）； （2）； （1）解： ＝35；（2）解法1：＝120． 解法2：＝120．第二課時(shí)3．組合數(shù)公式的推導(dǎo)：（1）從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合數(shù)是多少呢？啟發(fā)：由于排列是先組合再排列，而從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)可以求得，故我們可以考察一下和的關(guān)系，如下： 組 合 排列 由此可知,每一個(gè)組合都對(duì)應(yīng)著6個(gè)不同的排列，因此，求從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)，可以分如下兩步：① 考慮從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合，共有個(gè)；② 對(duì)每一個(gè)組合的3個(gè)不同元素進(jìn)行全排列，各有種方法．由分步計(jì)數(shù)原理得：＝，所以，．（2）推廣：一般地，求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，可以分如下兩步：① 先求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)；② 求每一個(gè)組合中m個(gè)元素全排列數(shù)，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得：＝．（3）組合數(shù)的公式：或 規(guī)定: .三、講解范例：例4．求證：．證明：∵＝＝∴例5．設(shè) 求的值 解：由題意可得： ，解得，∵， ∴或或，當(dāng)時(shí)原式值為7；當(dāng)時(shí)原式值為7；當(dāng)時(shí)原式值為11．∴所求值為4或7或11．第三課時(shí)例6． 一位教練的足球隊(duì)共有 17 名初級(jí)學(xué)員，他們中以前沒有一人參加過比賽．按照足球比賽規(guī)則，比賽時(shí)一個(gè)足球隊(duì)的上場(chǎng)隊(duì)員是11人．問： (l)這位教練從這 17 名學(xué)員中可以形成多少種學(xué)員上場(chǎng)方案？ (2)如果在選出11名上場(chǎng)隊(duì)員時(shí)，還要確定其中的守門員，那么教練員有多少種方式做這件事情？分析：對(duì)于（1)，根據(jù)題意，17名學(xué)員沒有角色差異，地位完全一樣，因此這是一個(gè)從 17 個(gè)不同元素中選出11個(gè)元素的組合問題；對(duì)于（ 2 ) ，守門員的位置是特殊的，其余上場(chǎng)學(xué)員的地位沒有差異，因此這是一個(gè)分步完成的組合問題．解： (1）由于上場(chǎng)學(xué)員沒有角色差異，所以可以形成的學(xué)員上場(chǎng)方案有 C ｝手＝ 12 376 （種） . (2）教練員可以分兩步完成這件事情：第1步，從17名學(xué)員中選出 n 人組成上場(chǎng)小組，共有種選法；第2步，從選出的 n 人中選出 1 名守門員，共有種選法．所以教練員做這件事情的方法數(shù)有=136136（種）.例7．（1）平面內(nèi)有10 個(gè)點(diǎn)，以其中每2 個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條？(2）平面內(nèi)有 10 個(gè)點(diǎn)，以其中每 2 個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條？解：(1）以平面內(nèi) 10 個(gè)點(diǎn)中每 2 個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的條數(shù)，就是從10個(gè)不同的元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)，即線段共有 （條）.(2）由于有向線段的兩個(gè)端點(diǎn)中一個(gè)是起點(diǎn)、另一個(gè)是終點(diǎn)，以平面內(nèi)10個(gè)點(diǎn)中每 2 個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段的條數(shù)，就是從10個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù)，即有向線段共有（條）.例8．在 100 件產(chǎn)品中，有 98 件合格品，2 件次品．從這 100 件產(chǎn)品中任意抽出 3 件 .(1）有多少種不同的抽法？(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少種？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少種？解：(1）所求的不同抽法的種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中取出3件的組合數(shù)，所以共有= 161700 （種）. (2）從2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有種，從 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有種，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有=9506(種). (3）解法 1 從 100 件產(chǎn)品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有1件次品和有 2 件次品兩種情況．在第（2）小題中已求得其中1件是次品的抽法有種，因此根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有+=9 604 （種） . 解法2 抽出的3 件產(chǎn)品中至少有 1 件是次品的抽法的種數(shù)，也就是從100件中抽出3 件的抽法種數(shù)減去3 件中都是合格品的抽法的種數(shù)，即=161 700152 096 = 9 604 （種）. 說明：“至少”“至多”的問題，通常用分類法或間接法求解。的要求，分步完成選 3 個(gè)數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)這件事，依據(jù)的是分步乘法計(jì)數(shù)原理；解法 2 以 O 是否出現(xiàn)以及出現(xiàn)的位置為標(biāo)準(zhǔn)，分類完成這件事情，依據(jù)的是分類加法計(jì)數(shù)原理；解法 3 是一種逆向思考方法：先求出從10個(gè)不同數(shù)字中選3個(gè)不重復(fù)數(shù)字的排列數(shù)，然后從中減去百位是。不能排在百位上，而其他數(shù)可以排在任意位置上，因此。 (3）.解：用計(jì)算器可得：由（ 2 ) ( 3 ）我們看到，．那么，這個(gè)結(jié)果有沒有一般性呢？即.排列數(shù)的另一個(gè)計(jì)算公式： =.即 = 例2．解方程：3． 解：由排列數(shù)公式得：，∵，∴ ，即，解得 或，∵，且，∴原方程的解為．例3．解不等式：．解：原不等式即，也就是，化簡(jiǎn)得：，解得或，又∵，且，所以，原不等式的解集為．例4．求證：（1）；（2）．證明：（1），∴原式成立（2）右邊 ∴原式成立說明：（1）解含排列數(shù)的方程和不等式時(shí)要注意排列數(shù)中，且這些限制條件，要注意含排列數(shù)的方程和不等式中未知數(shù)的取值范圍；（2）公式常用來求值，特別是均為已知時(shí)，公式=，常用來證明或化簡(jiǎn)例5．化簡(jiǎn)：⑴；⑵⑴解：原式⑵提示：由，得， 原式 說明：．第二課時(shí)例1．(課本例2)．某年全國足球甲級(jí)（A組）聯(lián)賽共有14個(gè)隊(duì)參加，每隊(duì)要與其余各隊(duì)在主、客場(chǎng)分別比賽一次，共進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？解：任意兩隊(duì)間進(jìn)行1次主場(chǎng)比賽與 1 次客場(chǎng)比賽，對(duì)應(yīng)于從14個(gè)元素中任取2個(gè)元素的一個(gè)排列．因此，比賽的總場(chǎng)次是=1413=182. 例2．(課本例3)．(1）從5本不同的書中選 3 本送給 3 名同學(xué)，每人各 1 本，共有多少種不同的送法？ (2）從5種不同的書中買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？解：(1）從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學(xué)，對(duì)應(yīng)于從5個(gè)不同元素中任取 3 個(gè)元素的一個(gè)排列，因此不同送法的種數(shù)是=543=60. (2）由于有5種不同的書，送給每個(gè)同學(xué)的1本書都有 5 種不同的選購方法，因此送給 3 名同學(xué)每人各 1 本書的不同方法種數(shù)是555=125. 例 8 中兩個(gè)問題的區(qū)別在于： ( 1 ）是從 5 本不同的書中選出 3 本分送 3 名同學(xué)，各人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問題；而（ 2 ）中，由于不同的人得到的書可能相同，因此不符合使用排列數(shù)公式的條件，只能用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算．例3．