第六章習題a(117頁)-文庫吧資料
2024-11-01 14:05本頁面
【正文】 1 0 1????????????EA1 0 10 0 00 0 0??????????所以 k1?1+k2?2(k1k2≠0) 是屬于 ?1=?2=1的全部 特征向量 . 對 ?3=1, 解方程 (EA)x=0, 由于 1 0 1 0 2 01 0 1??????? ? ???????EA1 0 10 1 0000?????????得同解方程 x1x3=0,基礎解系為 ?1=(0, 1, 0)T,?2=(1, 0, 1)T. 得方程組 (EA)x=0的基礎解系為 ?3=(1, 0, 1)T. 所以 k?3(k≠0) 是屬于 ?3=2的全部 特征向量 . 1 3 1 20 1 3 3( 3 )0 0 2 50 0 0 2??????????????A 解 因為 A是三角方陣 , 所以 A的特征值為 : ?1=1, ?2=1, ?3=?3=2 對 ?1=1, 解方程 (EA)x=0, 由于 0 3 1 20 2 3 30 0 1 50 0 0 1? ? ??????????? ?????EA0 1 0 00 0 1 00 0 0 10000?????????????所以 , 解方程 (EA)x=0的一個基礎解系為 ?1=(1, 0, 0, 0)T. 對 ?2=1, 解方程 (EA)x=0, 由于 2 3 1 20 0 3 30 0 3 50 0 0 3? ? ? ???????? ? ??? ?????EA2 3 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0?????????????所以 , 方程 (EA)x=0的一個基礎解系為 ?2=(3,2, 0, 0)T. 1 3 1 20 3 3 320 0 0 50 0 0 0? ? ??????????? ???EA1 0 4 00 1 1 00 0 0 10 0 0 0???????????????由于 所以 , 方程 (2EA)x=0的一個基礎解系為 ?3=(4,1, 1, 0)T. 2 1 1( 4 ) 2 5 13 2 5???????????A 解 矩陣 A的特征多項式為 : 解方程 (4EA)x=0, 由于 所以 A的特征值為 : ?1=?2=?3=4 2 1 12 5 13 2 5???? ? ?????2 1 14 4 03 2 5????? ? ?? ? ???3 1 14 01 2 5???? ? ????? =(?4)(?28?+16)=(?4)3 2 1 14 2 1 1321??????? ? ? ???????EA1 0 10 1 10 0 0???????????得方程組 (4EA)x=0的基礎解系為 ?=(1, 1, 1)T. 所以 k? (k≠0) 是屬于 ?=4的全部 特征向量 . 2. 上題中的哪些矩陣能與對角矩陣相似 ? 在能與對角矩陣相似時 , 求出所用的相似變換矩陣和對角矩陣 . 解 (1), (2)中矩陣 A能與對角矩陣相似 . 0 2 1 1( 1 ) 0 1 1 , 11 0 1 2??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?1P P A P3. 求正交相似變換矩陣 , 將下列實對稱矩陣化為對角矩陣 . 解 A的特征多項式為 0 1 1 1( 2 ) 1 0 0 , 10 1 1 1?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?1P P A P3 2 0( 1 ) 2 2 20 2 1?????????A3 2 02 2 20 2 1?????? ? ???=(?3)(?2)(?1)4(2?4) =(?2)(?24?5) =(?2)(?+1)(?5) 所以 A的特征值為 : ?1=2, ?2=1, ?3=5 由于 1 2 02 2 0 20 2 1??????? ? ? ??????EA于是 , 方程組 (2EA)x=0的一個基礎解系為 ?1=(2, 1, 2)T. 1 2 00 2 1000??????????所以得屬于 ?1=2的單位特征向量 ?1=(2/3, 1/3, 2/3)T. 4 2 02 3 20 2 2??????? ? ? ? ? ???????EA12100 1 10 0 0?????? ????于是 , 方程組 (EA)x=0的一個基礎解系為 ?2=(1, 2, 2)T. 所以得屬于 ?2=1的單位特征向量 ?2=(1/3, 2/3, 2/3)T. 由于 2 2 05 2 3 20 2 4?????? ? ? ??????EA于是 , 方程組 (5EA)x=0的一個基礎解系為 ?3=(2, 2, 1)T. 1 0 20 1 20 0 0???????????所以得屬于 ?3=5的單位特征向量 ?3=(2/3, 2/3, 1/3)T. 2 1 23331 2 23 3 32 2 13 3 3???????????1 2 3Q = ( ξ , ξ , ξ )所以 , 正交相似變換矩陣可取為 : 且有 QTAQ=diag(2, 1, 5) 解 A的特征多項式為 3 1 2( 2 ) 1 3 22 2 0???????????A3 1 21 3 222???? ? ???? =(?4)(?22?8)=(?4)2(?+2) 所以 , 矩陣 A的特征值為 ?1=?2=4, ?3=2. 由于 4 1 24 3 202????? ? ?? ? ?4 1 20 2 402???? ? ???1 1 21 1 22 2 4?????????????4 E A1 1 20 0 00 0 0???????????于是 , 方程組 (4EA)x=0的一個基礎解系可取為 : 又由于 所以得屬于 ?3=2的單位特征向量 1122( , , 0 )T?1ξ1 1 123 3 3,
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