復(fù)變函數(shù)習(xí)題解答[第3章]-文庫(kù)吧資料
2025-03-31 00:17本頁(yè)面
【正文】 0．8. 設(shè)(1) f(z)當(dāng)| z – z0 | r0 0時(shí)是連續(xù)的；(2) M(r)表| f(z) |在Kr : | z – z0 | = r r0上的最大值；(3) lim r 174。K(1) f(z) dz | 163。 229。s(k) f(z) dz 242。k (| 242。l(k) f(z) dz ) |163。r(k) f(z) dz + 242。Q f(z) dz | = | 229。l(k) f(z) dz | e/(3n)．對(duì)這個(gè)r，我們有| 242。r(k) f(z) dz + 242。 0，故存在r206。 Length(l(k))．因?yàn)楫?dāng)r 174。 M ( Length(l(k)) + Length(r(k)) + Length(s(k)) ) 163。s(k) f(z) dz 242。Q f(z) dz |．記連接wk, 2到wk +1, 1的直線段為l(k)，連接wk, 2到zk +1的直線段為r(k)，連接zk +1到wk +1, 1的直線段為s(k)，則| 242。 e/3 + e/3 + | 242。P f(z) dz 242。K(r) f(z) dz 242。K(1) f(z) dz 242。K(r) f(z) dz |163。K(1) f(z) dz | = | 242。Q f(z) dz | 163。 4p = e/3．當(dāng)r r 1時(shí)，P中每條線段p(k)都與K(r)交于兩點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)順次為wk, 1, wk, 2．設(shè)Q是順次連接w1, 1, w1, 2, w2, 1, w2, 2, ..., wn, 1, wn, 2所得到的簡(jiǎn)單閉折線．與前面同樣的論證，可知| 242。j ( Length(s( j)) + Length(s( j)) ) = (e/(12p)) (e/(12p)) 229。s( j) e/(12p) ds + 242。p( j) ( f(z) f(zj)) dz | ) = 229。j ( | 242。p( j) f(zj) dz 242。s( j) f(z) dz 242。 229。s( j) f(z) dz 242。 229。s( j) f(z) dz 242。p( j) f(z) dz | = | 229。s( j) f(z) dz 229。P f(z) dz | = | 229。p( j) f(zj) dz；那么，| 242。 3，zk = e 2kpi/n ( k = 0, 1, ..., n 1)是所有的n次單位根．這些點(diǎn)z0, z1, ..., zn – 1將K(1)分成n個(gè)弧段s(1), s(2), ..., s(n)．其中s(k) (k = 1, ..., n 1)是點(diǎn)zk – 1到zk的弧段，s(n)是zn – 1到z0的弧段．記p(k) (k = 1, ..., n 1)是點(diǎn)zk – 1到zk的直線段，p(n)是zn – 1到z0的直線段．當(dāng)n充分大時(shí)，max j {Length(s( j))} = 2p/n d1．設(shè)P是順次連接z0, z1, ..., zn – 1所得到的簡(jiǎn)單閉折線．記r = r(P, 0)．注意到常數(shù)f(zj)的積分與路徑無關(guān)，242。D(1) { | f(z) | }．e 0，$d1 0，使得z, w206。 C | | z | = r }，0 r 163。 C | | z | 163。| z | = r f(z) dz = 0．試證242。C ( | z | e z sin z ) dz = 0．7. 設(shè)(1) f(z)在| z | 163。C ( a e z sin z ) dz．而函數(shù)a e z sin z在C上解析，由CauchyGoursat定理，242。C ( | z | e z sin z ) dz之值，其中C為圓周| z | = a 0．【解】在C上，函數(shù)| z | e z sin z與函數(shù)a e z sin z的相同，故其積分值相同，即242。C 1/(1 + z 2) dz ) = arg ((1 + i z)/(1 i z))/2．設(shè)z = cosq + i sinq，則cosq 0，故(1 + i z)/(1 i z) = (1 + i (cosq + i sinq))/(1 i (cosq + i sinq)) = i cosq/(1 + sinq)，因此Re(242。C : Im z 0 }．設(shè)ln(z)是Ln(z)的主值分支，則在區(qū)域D內(nèi)( ln(1 + i z) ln(1 i z) )/(2i)是解析的，且(( ln(1 + i z) ln(1 i z) )/(2i))’ = (i/(1 + i z) + i/(1 i z))(2i) = 1/(1 + z 2)；即( ln(1 + i z) ln(1 i z) )/(2i)是1/(1 + z 2)的一個(gè)原函數(shù)．242。C : Im z 0 }， 1 i z206。C : Im z 0 }，故1 + i z 206。{ z206。C : 0 arg z p } = { z206。D，i z206。C : | arg z | p/2 }內(nèi)的單位圓周上任取一點(diǎn)z，用D內(nèi)曲線C連接0與z，試證：Re(242。 | b – a | e max{a, b} s． 所以| e bs – e as | 163。C e max{a, b} C | e s z | ds 163。C | e (s + i t)z | ds = 242。 242。C e sz dz | = | e sz/s |[a, b] | = | e bs – e as |/| s |．而| 242。 | b – a | e max{a, b} Length(C) = 8p．4. 設(shè)a, b為實(shí)數(shù)，s = s + i t (s 0)時(shí)，試證：| e bs – e as | 163。C | (z + 1)/(z 1) | ds 163。C (z + 1)/(z 1) dz | 163。 | z 1 | + 2 = 4，故| (z + 1)/(z 1) | 163。 8p，其中C為圓周 | z 1 | = 2．【解】若z206。[p, 0] i e iq /2 dq = 2e iq /2|[p, 0] = 2( 1 i)．[這個(gè)題目中看起來有些問題：我們?nèi)≈髦抵ВǔＴ谑强紤]割去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的z平面上定義的單值連續(xù)分支．因此，無論(1)還是(2)，曲線C上的點(diǎn)1總不在區(qū)域中(在區(qū)域的邊界點(diǎn)上)．因此曲線C也不在區(qū)域中．所以，題目應(yīng)該按下面的方式來理解：考慮單位圓周上的點(diǎn)z，以及沿C從1到z的積分的極限，當(dāng)z分別在區(qū)域y 0和區(qū)域y 0中趨向于1時(shí)，分別對(duì)應(yīng)(1)和(2)的情形，簡(jiǎn)單說就是上岸和下岸的極限情形．那么按照上述方式理解時(shí)，仍然可以象我們所做的那樣，用把積分曲線參數(shù)化的辦法來計(jì)算，這是由積分對(duì)積分區(qū)域的連續(xù)性，即絕對(duì)連續(xù)性來保證的．以后我們遇到類似的情形，都以這種方式來理解．]3. 試證| 242。C 1/√z dz = 242。[0, p] i e iq /2 dq = 2e iq /2|[0, p] = 2( 1 + i)．(2) √z = e i arg z /2，設(shè)C : z(q) = e iq，q206。C 1/√z dz = 242。C 1/√z dz．(1) 上半單位圓周；(2) 下半單位圓周，其中√z取主值支．【解】(1) √z = e i arg z /2，設(shè)C : z(q) = e iq，q206。0 f(z)不存在，也不是165。0 f(z)存在的條件下，補(bǔ)充定義f(0) = lim z174。U，故復(fù)合函數(shù)g( f’(z))k在上解析．而Re(g( f’(z))k) = ln | f’(z) |，所以l
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