【正文】 一個與 Koch曲線維數(shù)相同的尺子量它才會得到有限值，而這個維數(shù)尺子量它才會得到有限值，而這個維數(shù)顯然大于 小于 2，那么只能是小數(shù)（即分?jǐn)?shù)）了，所以存在分維其實，Koch曲線的維數(shù)是 …… 。 ? 另一方面，當(dāng)我們畫一根直線，如果我們用 0維的點來量它，其結(jié)果為無窮大，因為直線中包含無窮多個點；如果我們用一塊平面來量它，其結(jié)果是 0，因為直線中不包含平面。其線段、正方形、立方體分別被等分為 2^2^2和 2^3個相似的子圖形，其中的指數(shù) 3，正好等于與圖形相應(yīng)的經(jīng)驗維數(shù)。 豪斯多夫維數(shù)的基本思想 ? 分維的概念我們可以從兩方面建立起來： ? 一方面，我們首先畫一個線段、正方形和立方體，它們的邊長都是 1。我們有下式 : ? log4/log2=2 log8/log2=3 ? 這里的二和三不是巧合，這是另一種維數(shù)的定義 :測度維的概念。測量的單位也往往是我們所能分辨的最小單位。六個這樣的正方形組成的正方體是三維的。只不過當(dāng)它用于歐氏幾何圖形時，值為整數(shù)，而用于分形時，值一般為分?jǐn)?shù)。在這些維數(shù)中，最重要的是豪斯多夫維數(shù)。 ? 分形是與歐氏幾何圖形截然不同的另一類圖形，它的維數(shù)一般是分?jǐn)?shù)，所以分形的維數(shù)被稱為分?jǐn)?shù)維。 ? ? （ 4）豪斯多夫連續(xù)空間理論和分?jǐn)?shù)維數(shù)（ 1914年） ? 分形理論把維數(shù)視為分?jǐn)?shù)，這類維數(shù)是物理學(xué)家在研究混沌吸引子等理論時需要引入的重要概念?？梢哉撟C對一個幾何圖形，恒有 Dt=d。對于任何一個海島的海岸線，經(jīng)過某些形變總可以變?yōu)橐粋€圓，因而海岸線與圓具有相同的拓?fù)渚S數(shù) Dt=1。比如畫在橡皮膜上的兩條相交曲線，對橡皮膜施以拉伸或擠壓等形變，但不破裂或折疊時，它們“相交”始終是不變的，幾何圖形的這種性質(zhì)稱為拓?fù)湫再|(zhì)。 ? （ 2）傳統(tǒng)維數(shù)觀念的危機（ 1890年） ? （ 3）維數(shù)研究的重要成果 —— 拓?fù)渚S數(shù) ? 這是數(shù)學(xué)的一個重要分支 ——拓?fù)鋵W(xué)中的維數(shù)概念。這種維數(shù)概念和人們的經(jīng)驗相一致，被稱為經(jīng)驗維數(shù)或歐氏維數(shù)，或經(jīng)典維數(shù)，用字母 d表示。要確定平面一個點的位置，需要 2個坐標(biāo)，坐標(biāo)數(shù)目與平面維數(shù)相一致，平面圖形的維數(shù)為 2。 2. 維數(shù)觀念的歷史回顧 ? （ 1）傳統(tǒng)的歐氏維數(shù) ? 歐氏幾何學(xué)、歐氏空間（即日常接觸的普通空間）的維數(shù)概念 – 點 0維； – 線 1維； – 面 2維； – 體 3維。歐氏幾何研究的規(guī)則圖形，長度、面積、體積是它們最合適的特征量，但對海岸線這類不規(guī)則的分形，維數(shù)才能很好地刻劃它們的復(fù)雜程度，因而維數(shù)才是最好的量化表征。 芒德勃羅集（簡稱 M集） ? 曼德爾布羅特集（ Mandelbrot集，簡稱 M集，圖 1）是人類有史以來最奇異最瑰麗的幾何圖形 . 它由一個主要的心形圖與一系列大小不一的圓盤芽苞突起連在一起構(gòu)成．你看，有的地方象日冕，有的地方象燃燒的火焰，那心形圓盤上飾以多姿多彩的荊棘，上面掛著鱗莖狀下垂的微小顆粒，仿佛是葡萄藤上熟透的累累碩果． ?它的每一個細(xì)部都可以演繹出美麗的夢幻般仙境似的圖案，因為只要把它的細(xì)部放大，展現(xiàn)在眼前的景象會更令人賞心悅目．而這種放大可以無限地進行下去 , 無論放大到哪一個層次，都會顯示同樣復(fù)雜的局部，這些局部與整體不完全相同，又有某種相似的地方，使你感到這座具有無窮層次結(jié)構(gòu)的雄偉建筑的每一個角落都存在無限嵌套的迷宮和回廊，催生起你無窮的探究欲望 .。當(dāng)然，也有一些分形幾何圖形，它們并不完全是自相似的。 ? 在不同尺度上，圖形的規(guī)則性又是相同的。 分形的定義和性質(zhì) ? 1. 芒德勃羅給出的二種定義 （ 1977年、 1982年） ? 英國數(shù)學(xué)家法爾科內(nèi)給出的定義（ 1990年）（分形具有五個基本特征或性質(zhì)） 分形是具有如下性質(zhì)的集合 F： ? F具有精細(xì)的結(jié)構(gòu)，即在任意 X的尺度之下，它總有復(fù)雜的細(xì)節(jié)； （結(jié)構(gòu)的精細(xì)性） ? F是不規(guī)則的，它的整體與局部都不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述；（形態(tài)的不規(guī)則性） ? F通常具有某種自相似性，這種自相似可以是近似的或者統(tǒng)計意義下的；（局部與整體的自相似性） ? F的某種定義下的分形維數(shù)通常大于其拓?fù)渚S數(shù)；（維數(shù)的非整數(shù)性） ? F常常是以非常簡單的方法確定，可能由迭代過程產(chǎn)生．（生成的迭代性） 分形幾何與傳統(tǒng)幾何相比有什么特點？ ? 從整體上看，分形幾何圖形是處處不規(guī)則的。他將這類集合稱作自相似集，其嚴(yán)格定義可由相似映射給出。 ? 在對尼羅河水位和英國海岸線的分析中，發(fā)現(xiàn)類似規(guī)律。 1() aL r kr ??() akNr r? ? （ 5）科赫曲線長度研究 ? 科赫曲線長度一覽表 ? 尺度 段數(shù) 長度 ? 1/3 4 4/3 ? 1/9 4^2 (4/3)^2 ? ……… ? 1/3^n 4^n (4/3)^n……… ? L（ r） = （ 4/3） ^n （ 1） ? r = （ 1/3） ^n ? 取對數(shù)： ? ?n r = n ?n（ 1/3） (2) ? n = ?n r / ?n 3 ? (2）式代入（ 1）式： ? L（ r） =（ 4/3） ?n r / ?n 3 (3) ? ? (3)式兩邊取對數(shù) ?n L(r) =（ ?n r / ?n 3）（ ?n4/3） ? =（ ?n r /?n 3）（ ?n 4 ?n 3） ? =（ ?n r ?n 4） / ?n 3+?n r = ?n r (1 ?n 4 /?n 3 ) ? 令 ?n 4 / ?n 3 = a，上式為： ?n L(r) =（ 1 a） ?n r = ?n r^( 1 – a) ? 因此 L(r) = r^( 1 – a) ? 科赫曲線長度公式與理查遜海岸線長度經(jīng)驗公式幾乎一致．曼德勃羅把科赫曲線當(dāng)成海岸線的數(shù)學(xué)模型． ? 1960年，曼德爾布羅特在研究棉價變化的長期性態(tài)時，發(fā)現(xiàn)了價格在大小尺度間的對稱性。 ? （ 4）海岸線長度研究 ? 英國科學(xué)家理查遜海岸線長度經(jīng)驗公式 ? 設(shè) r 為測量海岸線的尺度， N(r)為量出的步數(shù)，海岸線總長度 L（ r） =N（ r） 二、分形思想的形成 ? （ 1）齊普夫詞頻實驗規(guī)則研究 （ 1951年） ? （ 2）棉花價格變化研究 （ 1960年） ? 1960年，曼德爾布羅特在研究棉價變化的長期性態(tài)時，發(fā)現(xiàn)了價格在大小尺度間的對稱性。 ? 1934年，貝塞考維奇（ ）更深刻地提示了豪斯道夫測度的性質(zhì)和奇異集的分?jǐn)?shù)維，他在豪斯道夫測度及其幾何的研究領(lǐng)域中作出了主要貢獻(xiàn)，從而產(chǎn)生了豪斯道夫 貝塞考維奇維數(shù)概念。 ? 1928年布利干（ ）將閔可夫斯基容度應(yīng)用于非整數(shù)維，由此能將螺線作很好的分類。這些都是為解決分析與拓樸學(xué)中的問題而提出的反例，但它們正是分形幾何思想的源泉。 ? 1904年，瑞典數(shù)學(xué)家科赫（ Koch）設(shè)計出類似雪花和島嶼邊緣的一類曲線。 分形思想的形成 一、萌芽 ? 分形幾何的概念是美籍法國數(shù)學(xué)家曼德爾布羅特（ ） 1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到 ? 1875年，德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯（ ）構(gòu)造了處處連續(xù)但處處不可微的函數(shù)，集合論創(chuàng)始人康托（ ，德國數(shù)學(xué)家）構(gòu)造了有許多奇異性質(zhì)的三分康托集。近年來，他獲得了許多榮譽獎。 ?曼德布羅特的持續(xù)奮斗，獲得了巨大的成就，贏得了崇高的榮譽。緊接著于 1982年又出版了 《 自然界的分形幾何學(xué) 》 （ The Fractal Geometry of Nature,Freeman, San Francisco,1982)。這篇論文成為分形誕生的標(biāo)志。 1967年，他在美國 《 科學(xué) 》 雜志上發(fā)表了一篇題為“英國的海岸線有多長？”的論文。分析表明，不應(yīng)靠加強信號來淹沒噪聲，而應(yīng)采用適當(dāng)?shù)男盘枮楹谩? 這種描述，正是以 19世紀(jì)數(shù)學(xué)家康托爾命名的抽象構(gòu)造。工程師們采用加強信號來淹沒噪聲的方法，但某些自發(fā)噪聲怎么也無法消除，而且偶爾會抹掉信號，而造成誤差?！彼?IBM公司工作的初期，主要是研究商品價格 . ?不久碰上公司非常關(guān)心的一個實際問題。他嘗試過語言學(xué)，解釋詞的一種分布規(guī)律，在哈佛大學(xué)教過經(jīng)濟學(xué)，在耶