能帶理論一ppt課件-文庫(kù)吧資料
2025-02-27 15:43本頁(yè)面
【正文】 ?????U1. 非簡(jiǎn)并微擾 ? ?kkH E k???這里，單電子哈密頓量為： ? ?22 2d2dH U xmx? ? ?220020d2 e x p2d nnnxU U i H Hm x a???? ?? ? ? ? ? ??????22002d2dHUmx? ? ?零級(jí)近似 02e x pnnnxH U ia????? ? ?????代表周期勢(shì)場(chǎng)的起伏作為微擾項(xiàng)處理 分別對(duì)電子能量 E(k) 和波函數(shù) ?(k) 展開(kāi) ? ? ( 0 ) ( 1 ) ( 2 )k k kE k E E E? ? ? ? ???( 0 ) ( 1 ) ( 2 )k k k k? ? ? ?? ? ? ? ???將以上各展開(kāi)式代入 Schr246。 弱周期勢(shì)場(chǎng)對(duì)能帶的影響： 能隙 Ashcroft 一書(shū) p160 關(guān)于一維帶隙的說(shuō)明 a. 自由電子能量波矢關(guān)系 b. Brillouin邊界處的簡(jiǎn)并 c. 弱周期勢(shì)的影響 d. Brillouin邊界處的分裂 e. 擴(kuò)展區(qū)形式 f. 簡(jiǎn)約區(qū)形式 g. 周期形式 周期性勢(shì)場(chǎng)： ? ? ? ?U x U x a?? a為晶格常數(shù) 作 Fourier展開(kāi)： ? ?002e x pnnnxU x U U ia?????? ?????其中 ? ?0 01 LU U x d xL? ?—— 勢(shì)能平均值 視為常數(shù) ? ?012 e x pLn nxU U x i d xLa ????? ?????L Na?根據(jù)近自由電子模型， Un為微小量。 所以說(shuō) 近自由電子近似下晶體電子的能級(jí)區(qū)分成為電子 可以占據(jù)的能帶以及不能占據(jù)的禁帶。） 在區(qū)域的其它部分，能譜的形狀受到的影響很小，基本 保持了空格子模型的拋物線形式。 當(dāng)考慮 微弱的周期勢(shì)場(chǎng)影響時(shí)，空格子能譜的明顯變化只發(fā)生在 Brillouin區(qū)區(qū)心和邊界處 ，原先相互連接的，現(xiàn)在分開(kāi)了，出現(xiàn)了一個(gè)能隙，也就是說(shuō)，在這些點(diǎn)上，能譜的形狀受到弱晶體勢(shì)場(chǎng)的修正。 晶體中的波矢 k只能在第一Brillouin區(qū)內(nèi)取值。自由電子的能量和波矢 關(guān)系是拋物線，但考慮到平移對(duì)稱(chēng)性的要求，它被 Brillouin 區(qū) 邊界截成多段，可以平移倒易基矢 的整數(shù)倍，以便讓 任意兩個(gè)等效點(diǎn)的能量相同。dinger方程的解（即電子完全是自由的）為出發(fā)點(diǎn)的，但必須同時(shí)滿(mǎn)足晶體平移對(duì)稱(chēng)性的要求，我們稱(chēng)之為 空格子模型 。 這個(gè)模型雖然簡(jiǎn)單 ， 但卻給出周 期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)電子本征態(tài)的一些最基本特點(diǎn) 。 因此 ， 我們可以把自由電子看成是 它的零級(jí)近似 ， 而將周期場(chǎng)的影響看成小的微擾來(lái)求解 。 試求出電子在這些狀態(tài)時(shí)的波矢 k。 關(guān)鍵是得到周期勢(shì)場(chǎng)作用下，電子運(yùn)動(dòng)的一般特點(diǎn)，給出其狀態(tài)函數(shù)和能譜，并以此來(lái)解釋固體性質(zhì)。 1. 近自由電子模型（ The Nearly Free Electron Model）該模型假設(shè)晶體勢(shì)很弱，晶體電子的行為很像是自由電子，我們可以在自由電子模型結(jié)果的基礎(chǔ)上用微擾方法去處理勢(shì)場(chǎng)的影響，這種模型得到的結(jié)果可以作為簡(jiǎn)單金屬（如： Na,K,Al）價(jià)帶的粗略近似。dinger方程，以便專(zhuān)心地 理解相關(guān)的物理問(wèn)題。dinger方程的求解過(guò)程也是 一項(xiàng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)極其繁瑣的工作，為了得到能與實(shí)驗(yàn)對(duì)照的結(jié)果， 這樣做當(dāng)然是非常必要的。 ie ?kr? ?uk r結(jié)語(yǔ)： 以上我們只是通過(guò)分析給出了固體中電子態(tài)函數(shù)的一般性 質(zhì)，而 為了得到清晰確切的結(jié)果，我們就必須對(duì)一個(gè)感興趣的、 特定固體的實(shí)際勢(shì)能 V(r) 去求解單電子的 Schr246。 從能量的角度看，如果電子只有原子內(nèi)運(yùn)動(dòng)（孤立原子情況），電子的能量 取分立的能級(jí) ；若電子只有共有化運(yùn)動(dòng)（自由電子情況），電子的能量連續(xù)取值。 周期函數(shù) 的性質(zhì) 就反映了電子與晶格相互作用的強(qiáng)弱。如果晶體中電子的運(yùn)動(dòng)完全自由，則 ；若電子完全被束縛在某個(gè)原子周?chē)?，則 。 那么，周期函數(shù) 的作用則是對(duì)這個(gè)波的振幅進(jìn)行 調(diào)制 ，使它從一個(gè)原胞到下一個(gè)原胞作周期性振蕩，但這 并不影響態(tài)函數(shù)具有行進(jìn)波的特性。 kkk三 . Bloch函數(shù)的性質(zhì) Bloch函數(shù) ? ? ? ?ieu? ?? krkkrr平面波因子 表明在晶體中運(yùn)動(dòng)的電子已不再局域于 某個(gè)原子周?chē)强梢栽谡麄€(gè)晶體中運(yùn)動(dòng)的，這種電子 稱(chēng)為 共有化電子 。 在晶格周期勢(shì)場(chǎng)中的電子究竟有多少可能的本征態(tài)，即 k 可能取那些值，是我們需要知道的。 在自由電子情形，波矢 k 有明確的物理意義， 是自由電子的動(dòng)量本征值。 由于 h1， h2和 h3為整數(shù)，所以， k的取值不連續(xù)，在 k空間中， k的取值構(gòu)成一個(gè)空間點(diǎn)陣，稱(chēng)為態(tài)空間點(diǎn)陣。與討論晶格振動(dòng)的情況相似，通常將 k 取在由各個(gè)倒格矢的垂直平分面所圍成的包含原點(diǎn)在內(nèi)的最小封閉體積，即簡(jiǎn)約區(qū)或第一布里淵區(qū)中。 ni i i ie e e e? ? ? ??????? ? ? ?? ? ? ?k a k a G a k a?＝ 1, 2, 3 這表明，這兩個(gè)波矢量 k 和 k’＝ k＋ Gn所描述的電子在晶體中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同。但是，如果兩個(gè)波矢量 k 和 k’ 相差一個(gè)倒格矢 Gn，可以證明，這兩個(gè)波矢所對(duì)應(yīng)的 平移算符本征值相同 。 如 ? ? ? ? ? ?111 ie? ? ? ??? ? ? kar a r r ?1反映的是沿 a1方向，相鄰兩個(gè)原胞中周期對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間電子波函數(shù)的位相變化。 證畢 。 設(shè)晶體為一平行六面體，其棱邊沿三個(gè)基矢方向， N1， N2和 N3分別是沿 a1， a2和 a3方向的原胞數(shù)，即晶體的總原胞數(shù)為 N＝ N1N2N3 。 設(shè) ?(r)為其共同本征態(tài)，有 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?HET ? ? ???? ? ? ????rrr r + a r{ ?＝ 1, 2, 3 其中 ??是平移算符 T ?的本征值。 顯然，它們是 互易 的： ? ? ? ? ? ?T T f T f f? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?r r a r a a? ?T T f??? rT?T?－ T? T? = 0， 晶體中單電子運(yùn)動(dòng)的哈密頓量應(yīng)具有晶格周期性： ? ? ? ? ? ?222T H f T U fm????? ? ? ????? rr r r? ? ? ?? ? ? ?222222UfmUfm? ??????? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ?????rarr a r ar r a? ? ? ? ? ?222 U T f H T fm ????? ? ? ? ????? r r r r即： 平移算符和晶體中電子的哈密頓量是互易的 。 ? ?ni k Re ?Bloch 定理： 周期勢(shì)場(chǎng)中的電子波函數(shù)必定是按晶格周期函數(shù)調(diào)幅的平面波。 Bloch 定理也可表述為： ? ? ? ? ? ?ni k Rnkkr R e r?? ??? 它表明在不同原胞的對(duì)應(yīng)點(diǎn)上，波函數(shù)只相差一個(gè)相位因子 ，它不影響波函數(shù)的大小，所以 電子出現(xiàn)在不同原胞的 對(duì)應(yīng)點(diǎn)上幾率是相同的。
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