【正文】 不能只用 0～ π區(qū)域來求解。 β越大， w(n)窗越窄，其頻譜的主瓣變寬，旁瓣變小。凱塞窗則可自由選擇主瓣寬度和旁瓣衰減。 因主瓣附近 其中 x=Nω/2,所以 N的改變不能改變主瓣與旁瓣的比例關(guān)系，只能改變 WR（ ω）的絕對值大小和起伏的密度，當(dāng) N增加時，幅值變大，頻率軸變密，而最大肩峰永遠為 %，這種現(xiàn)象稱為吉布斯（ Gibbs）效應(yīng)。（決定于窗長） ②過渡帶兩旁產(chǎn)生肩峰和余振（帶內(nèi)、帶外起伏），取決于 WR(ω)的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相對值大，肩峰強 ，與 N無關(guān)。由于 h(n)是實數(shù)， H（ z）的零點還必須共軛成對，所以 z=z*i 及 z=1/z*也必是零點。7()3(),5()2(),3()1(),1()0(2222xxxxxxxx???? x1(0)=x(0) x1(1)=x(2) N/2 x1(2)=x(4) DFT x1(3)=x(6) x2(0)=x(1) x2(1)=x(3) N/2 x2(2)=x(5) DFT x2(3)=x(7) X1(0) X1(1) X1(2) X1(3) X2(0) X2(1) X2(2) X2(3) W N 2 W N 1 W N 0 W N 3 1 1 1 1 X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7) 圖形表示 N/4 點 DFT ?繼續(xù)分解，根據(jù) r的奇偶劃分 ?繼續(xù)分解，根據(jù) r的奇偶劃分 1,0 , 1 ,l 1 ) ,( 2 lx( l )x:奇1,0 , 1 ,l ( 2 l ) ,x( l )x:偶2N142N13?????????)(1 rx)(2 rx1,0 , 1 ,l 1 ) ,( 2 lx( l )x:奇1,0 , 1 ,l ( 2 l ) ,x( l )x:偶2N262N25?????????N/4 點 DFT ?可得到： ( k )XW( k )X( k )X4k312N??( k )XW( k )Xk)4N(X4k312N???1,1,0 4 ?? Nk ?14,1,0k。 FFT ?FFT算法引入 ?與 DFT運算量的比較 ?DITFFT(按時間抽取 ) ?DIFFFT（按頻率抽?。? FFT算法引入 ?可利用的性質(zhì) 系數(shù) 的周期性和對稱性 合并 DFT中某些項目，可減少運算量 knNNknNNknNkNnNnkNkNNkNkNkNWWWWWWWorWW???????????2/)()(**.3.2)()(.1kNW與 DFT運算量的比較 ? DFT運算量 一個值 :N 次復(fù)乘 and (N1) 次復(fù)加 所有計算量： N2復(fù)乘 and N(N1) 復(fù)加 ? FFT運算量 ?介紹完具體算法后再給出 1,1,0 ,)()(10??? ???NkWnxkXNnnkN ?1210 )1()2()1()0()1( ??????? NNNNN WNxWxWxWxX ?DITFFT(decimation in time) ?按照 n的奇偶將序列 x(n)分成兩部分，代入 DFT式中求解 1,1,0 ),12()(: 1,1,0 ),2()(: 22 21 ???? ????? NNrrxrxrrxrxn??奇偶( k )XW( k )XX ( k )WeeW)( r ) ( WxW)( r ) ( Wxx ( n ) WX ( k )2kN1)j 2 π / (2j2N10rrk2N2kN10rrk2N11N0nnkN2N2NN2π2N2N?????????????????????? ?????? 10rrk2210rrk112N2N2N2N ( r ) Wx( k )X,( r ) Wx( k )X前半部分： k= 0,1,…… N/21 DITFFT(decimation in time) ?后半部分 ?總的求解 1,0 , 1 ,k ( k ) ,XW( k )X)2NX ( kWWWW)2N(kXW)2N(kX)2NX ( k2N2kN1kNkNNk)(N2kN12N2N2N??????????????????)()()2/(12/.........1,0)()()(2121kXWkXNkXNkkXWkXkXkNkN???????N/2 點 DFT 1 )(1 kX)(2 kXkNW )()()2( 21 kXWkXkNX kN???)()()( 21 kXWkXkX kN???蝶形算法： )()()2/(12/.........1,0)()()(2121kXWkXNkXNkkXWkXkXkNkN???????對應(yīng)關(guān)系 )。 解：循環(huán)卷積的 N=82*51=9,少 1點，所以在移位為 0時，循環(huán)卷積有混疊。FFT） ? DFS ?定義 ?其他特點 ? DFT ?定義 ?其他特點 ? FFT ?與 DFT比較 ?DITFFT ?DIFFFT DFS定義 Discrete Fourier Series ?周期序列 knkNnxnx ,),(~)(~ ????,1,0,)(~1)(~102 ??? ? ??nekXNnxNkknj N??,1,0,)(~)(~102 ??? ? ??? kenxkX Nnknj N?)(~)(~ KXmNKX ???????????????1010)(~1)](~[I DF S)(~)(~)](~[D F S)(~L e t 2NknkNNnnkNjNWkXNkXnxWnxnxkXeW N?DFS ?與 Z變換的關(guān)系 ? ?????????????? ????1010)()()()(~e l s e w h e r e,010),(~)(2NnnNnnkjznxzXenxkXNnnxnx N?kNjezzXkX ?2|)()(~??DFS ?與 DTFT的關(guān)系 kwjwNnj w nNnj w njwNeXkXenxenxeX?2|)()(~)(~)()(1010?????????? ??DFS ?Z域采樣 ?重建公式 ?頻域采樣 ?內(nèi)插公式 kNjezzXkX ?2|)()(~??kwjwNeXkX ?2|)()(~ ??????????? 1011)(~1)( NkkNNzWkXNzzX? ???????102)(~)(NkNkjw wkXeX ?? ?? ?? ?2 122s i ns i n)( ???? NjwwwNeNwDFT ?DFT思路及定義 )()(~)(~)(:)())(( kXkXnxnxD F T kRD F SnX NN ?? ??? ???? ??10,)()()()(~010)(~)]([)(10???????? ????????NkWnxkXnRkXe l s eNkkXnxD F TkXNnnkNN10,)(1)()(~)]([)(10?????? ???? NnWkXNnRnxkXI D F TnxNkknNNDFT性質(zhì) ?循環(huán)移位 ?循環(huán)翻轉(zhuǎn) ?實序列對稱 ?共軛 )()]())(([ kXWnRmnxD FT kmNNN ??????????????11)(0)0())((]))(([NkkNXkXkXnxD F TNNNkXkX ))(()( * ??NkXnxD FT ))(()]([ ** ??卷積 ? Linear con.（線性卷積） ? Periodic con.(周期卷積 ) ? Circular con.（循環(huán)卷積） ? ???????????mNml mnxmxmnxmxny1021211)()()()()(? ???????????mNml mnxmxmnxmxny102121 )(~)(~)(~)(~)(~? ?? ? ? ?nRmnxmxnxNnxny NNmNc ????????? ???102121 )()())(()(DFT ?循環(huán)卷積 ?循環(huán)卷積實現(xiàn)線性卷積 10,))(()()())(( 10 2121????? ? ??NnmnxmxnxNnx Nm N)()()]())(([ 2121 kXkXnxNnxD F T ?? ?? ?)(*)()()()()())(()()()()(2133102121nxnxnxnRrNnxnRknxkxnxNnxnyNrNNmN???????????????線性卷積：）（循環(huán)卷積：循環(huán)卷積可看成是線性卷積的周期擴展，周期為 N, 滿足 NN1+N21,則不會發(fā)生混疊 Examples ?兩個長為 N=5的矩形序列，分別作線性卷積和L=8點的循環(huán)卷積。圖（ a ）中濾波器)(),( 21 nhnh所處理的信號的采樣率都是 L f s ，因此可以將它們合起來變成一個濾波器，如圖 ( b )所示。一般來說，抽取使 x ( n )的數(shù)據(jù)點減少，會產(chǎn)生信息的嚴重丟失，因此，合理的方法是先對信號作插值，然后再抽取，如圖 所示。 ? ? ? ?? ? ? ? 為整數(shù)LkrxrLmhLkxkmhmyrk???????????????????????,? ? ? ? ? ????????kkykmhmy 0在這個算式中，因省略了大量對內(nèi)插的零的運算，從而可提高運算效率。上式說明， 在 內(nèi)等于 ,相當(dāng)于將 作了周期壓縮。上式說明，)( yjeW? 在)/~/( LL ???內(nèi)等于)(?jeX, 相當(dāng)于將)(?jeX作了周期壓縮。239。39。?jeY )( ?jeX ?M/2?這樣， 是