【正文】 n???? 2( ) R e 12itAext i?? ? ??????????前面得到 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) ? ω /ωn=1處通過(guò)共同點(diǎn) ?=?/2， 與阻尼大小無(wú)關(guān) （ 共振時(shí)的共同特征 ） 。 ? Q反映了系統(tǒng)阻尼的大小，及共振峰的陡峭程度。 ? 若 ? 很小，帶寬 2Q/21 2 n? ? ? ? ?? ? ? ?（ 256） 2112nnQ ??? ? ? ?? ? ???2 2 20 .7 0 7 122 ( 1 ) ( 2 )? ? ? ??? ??Q 2 221 22( 1 2 ) 2 1 1 2? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?半功率點(diǎn)關(guān)于 ?＝ 1對(duì)稱，所以?1+?2=2?n 222 1 2 122 ( )4nn? ? ? ????????第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) ? 阻尼大，帶寬就寬；過(guò)共振點(diǎn)時(shí)振幅變化平緩，振幅較小。 ? 在兩側(cè)取放大因子為 的兩個(gè)點(diǎn) ?1/?n和 ?2/?n為 半功率點(diǎn)。 ? 共振區(qū)附近阻尼作用顯著 ，遠(yuǎn)離共振區(qū) ， 作用很小 。 ? ω/ωn1， |H(?)|→ 0。 ? 當(dāng)驅(qū)動(dòng)頻率 ω=ωn時(shí) 共振 。 )(tF)(tF )(tx由（ 250）、（ 251）式 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) n? ? ?＝第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 幅頻響應(yīng) 曲線 ? 阻尼使系統(tǒng)的振幅值減小， ? 阻尼使峰值相對(duì)于 ?/?n=1 的位置左移。 （ 253） ()( ) ( )()( ) ( ) ( )sFtx t k x tHf t F t F t? ? ? ?響 應(yīng) ＝激 勵(lì)（ 252） 這表明復(fù)頻響應(yīng)是彈簧力與實(shí)際的外激勵(lì) 的無(wú)量綱比。 A 一般為復(fù)數(shù) 。它不隨時(shí)間衰減，所以稱為 穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 。 ? 強(qiáng)迫振動(dòng)從外界或得能量來(lái)補(bǔ)充阻尼的消耗，以維持等幅振動(dòng) 持續(xù)激振力 持續(xù)支承運(yùn)動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) （ 241） 系統(tǒng)對(duì)于簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng) )()()()( tFtkxtxctxm ??? ??? （ 240） 簡(jiǎn)諧激勵(lì) tkAtkftF ?c o s)()( ??? 運(yùn)動(dòng)方程 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) （ 242） （ 241） tkAtkftF ?c o s)()( ??將（ 241）代入（ 240），兩邊同除以 m 有 tAtfmktxtxtx nnn ????? c o s)()()(2)( 22 ???? ????瞬態(tài)響應(yīng)： 當(dāng) A 為零時(shí) ， 系統(tǒng)為齊次方程 ， 其解就是系統(tǒng)的自由振動(dòng)響應(yīng) ， 自由振動(dòng)響應(yīng)隨時(shí)間衰減 ， 最后消失 ， 所以自由振動(dòng)響應(yīng)也叫 瞬態(tài)響應(yīng) 。 ? 自由振動(dòng)依靠系統(tǒng)自身彈性恢復(fù)力維持。 3Lmme f f???3Lmkn ????（ 239） ? ? )(/ txL? 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) ? 系統(tǒng)對(duì)外部激勵(lì)的響應(yīng)稱為 強(qiáng)迫振動(dòng) 。如果假設(shè)其它類(lèi)型的變形模式，影響效果則有可能不同。 解 : ，則 5?j1 3 8 6 1161 ????xxxx? 由（ 231）、（ 232）式分別得到： ? ? ? ? ? ? 0 2 2 0 5 3 8 6 1 3 8 6 2 222231??????????? ? 0 2 2 0 6 1 3 8 6 232 ??? ???? 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 彈簧的等效質(zhì)量 設(shè)彈簧 k具有質(zhì)量，其單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為 ? ，那么彈簧質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)有多大影響？ 彈簧等效質(zhì)量系統(tǒng) 設(shè)質(zhì)量 的位移用 表示，彈簧的長(zhǎng)度為 ，那么距左端為 的質(zhì)量為 的微單元的位移則可 假設(shè) 為 ，設(shè) 為常數(shù)。 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 任意兩個(gè)時(shí)刻的響應(yīng)之比為 )c o s ()c o s (212121?????????????tAetAexxdtdtnn （ 228） )c o s ()( ???? ?? ? tAetx dtn （ 227） )c o s()c o s( 12 ???? ??? tt dd 由于 ， 是有阻尼振動(dòng)的周期，所以 Ttt ??12 dT ?? /2?? ?1112nnntTtTx e ex e???????????（ 229） 這樣（ 228）式可化為 : 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 觀察（ 229）式的指數(shù)關(guān)系，可以引入 對(duì)數(shù)衰減率 δ: 22112ln?????????? Txxn（ 230） 要確定系統(tǒng)的阻尼，可以測(cè)量?jī)扇我庀噜徶芷诘膶?duì)應(yīng)點(diǎn) x1 和 x2 ，計(jì)算對(duì)數(shù)衰減率 21lnxx??? ? 222 ??????（ 231） 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 對(duì)于微小阻尼情況 ???2?（ 232） 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 值得注意的是， 可以通過(guò)測(cè)量相隔任意周期的兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位移 ， 來(lái)確定。下面來(lái)尋求通過(guò)衰減響應(yīng)確定阻尼因子 ? 的途徑。 ? 若阻尼很小 ， ?d≈?n tnAe ???10 ?? ?設(shè) ?c o s21 AAA ?? ?si n)( 21 AAAi ?? （ 226） 21dn? ? ???第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 0 ＜ ζ ＜ 1 時(shí)的響應(yīng)曲線 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) t→∞ ， x(t)→ 0，響應(yīng)最終趨于消失 tnAe ???? 是響應(yīng)曲線 包絡(luò)線 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 計(jì)算系統(tǒng)分別在 ? 1， ? =1， 0 ? 1時(shí)，對(duì) ， 的響應(yīng)。 ? 常數(shù) A, ? 由初始條件決定 。 ? ζ =1也是系統(tǒng)振動(dòng)與非振動(dòng)運(yùn)動(dòng)的臨界點(diǎn)。 ?ζ＞ 1： 特征方程的根始終在實(shí)軸上 ,且 ζ→∞ ， s1→ 0、 s2→∞ 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 系統(tǒng)的 通解 : ? ?? ? ? ?? ?? ? tnnnntstsAtAtAtAeAeAtx????????????????????????????)1e x p ()1e x p (1e x p1e x p)(222122212121（ 222） () stx t Ae?（ 219） ? ?12 2 1ssn? ? ?? ? ? ?（ 221） ? 系統(tǒng)的通解 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) ? 的影響 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) ? 過(guò)阻尼 (ζ ＞ 1) ? ?? ? ? ?? ?? ? tnnnntstsAtAtAtAeAeAtx????????????????????????????)1e x p ()1e x p (1e x p1e x p)(222122212121（ 222） 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) ζ ＞ 1 ? 非振蕩 ， 且隨時(shí)間 按指數(shù)規(guī)律衰減 → 0 ? x(t)的形狀取決于 A1和 A2， 也即取決于 x0和 v0 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 指數(shù)衰減的響應(yīng)。 ? 0＜ ζ＜ 1：一對(duì) 復(fù)共軛根，對(duì)稱地位于實(shí)軸兩側(cè)，并位于半徑為 ωn的圓上。 2220nnss? ? ?? ? ?(220) ? ?12 2 1ssn? ? ?? ? ? ? ?ζ =0：兩個(gè)復(fù)根 177。 解： Ic：繞 c點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 Mc：重力作用下的恢復(fù)力矩 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 2222222sin sinc o s 2 sincM R d w g R dg R g R????????? ? ? ?? ? ? ???????????????????? ? ? ?? ? ???（ b） ? ?? ?2 222322s i n ( 1 c o s )2 1 c o s 2 ( 2 c o s )cI R R d mR d R??????? ? ? ? ? ????????????? ? ???? ? ? ???（ c） 殼體對(duì) C 點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 : dw： 給定角 φ 位置的微元體重量 ?： 殼體單位面積的質(zhì)量。 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) ccIM? ?（ a） ? 運(yùn)用理論力學(xué)中平面運(yùn)動(dòng)的理論建立運(yùn)動(dòng)方程 。 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 系統(tǒng)的無(wú)阻尼自然角頻率 ( rad/s) 2( ) ( ) 0nx t x t???n k m? ? （ 29） 12( ) c os si nnnx t A t A t???? （ 210） 無(wú)阻尼自由振動(dòng) F (t) =0 ， c = 0 ? 運(yùn)動(dòng)方程 （ 29）式的通解 理想狀態(tài)，實(shí)際上阻尼或多或少存在 令 ， 0 (0 )xx? )0(0 xv ??00( ) c o s s i nnnnvx t x t t?????（ 211） 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) ? ?( ) c o s nx t A t????（ 212） （ 210）還可寫(xiě)成 2212A A A?? 1 21t a n AA? ?? （ 213） 幅值 初相位 1 00t a nnvx? ???22 00nvAx????? ????由（ 211）和（ 213）可得 第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) ? 系統(tǒng)以固有頻率 ωn 作簡(jiǎn)諧振動(dòng) ， 稱為 簡(jiǎn)諧振蕩器 ? 相位角：位移從初始值達(dá)到最大值的時(shí)間 。 ()mF m x t?第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) ? 彈性元件的組合 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 等效剛度 （ 22） 串聯(lián) 1ne q iikk?? ?（ 23） 并聯(lián) 消掉 x0 )( 12 xxkF eqs ??12111 ????????? ??kkk eq（ 24） （ 25） 111neqi ik k????? ?????121 2 1 2 2 121 ( ) ( ) ( )s s seqF F Fk x x k x xk x x??? ? ? ???（ 21） （ 26） 等效剛度 1 0 1 2 2 0( ) ( )sF k x x k x x? ? ? ?第 2章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程 單自由度彈簧 阻尼器 質(zhì)量（ SDM）系統(tǒng)（無(wú)摩擦） ? 牛頓法 ( ) ( )