【正文】 0萬元收益。首先，求出采取方案 i而出現(xiàn)狀態(tài) j時的后悔值 。如對例 1，分別求出方案 1（鉆井）和 2（不鉆井）的期望收益值： ? ?E（ 1） = （－ 30） + 20 + 40 = 16（萬元） ?E（ 2） =0 ?由于 E（ 1）＞ E（ 2），選取 1作為最佳策略。例如，例 。 一、風險型決策問題 在風險型決策問題中存在著兩種以上可能出現(xiàn)的自然狀態(tài)。確定型決策的求解并非全是簡單的，但由于這些問題一般均有其自己的專門算法，本節(jié)不準備再作介紹。這種決策問題的結構較為簡單，決策者只需比較各種方案，確定哪一方案最優(yōu)即可。 ? ? ? ?決策問題按自然狀態(tài)的不同情況，常被分為三種類型：確定型、風險型（或隨機型）和不確定型。設根據經驗和勘探資料，決策者已掌握一定的信息并列出表 。 例 在開采石油時，會遇到是否在某處鉆井的問題。狀態(tài)是客觀存在的，是不可控因素。此時，需要決策者根據已知信息作決策，即選擇出最佳的行動方案，這樣的問題稱為決策問題。 167。策略的設計并沒有包含在決策問題的求解中，事實上，僅當策略設計完成后，即策略集合給定后，決策問題才被給定，從而才能被求解，因而，在用對策論方法研究實際課題時，應當特別注意策略的設計。可以求得，此時守方如按照 :: 1, 2, 3布雷，平均可毀傷對方 %的坦克。守方只有 2022個防坦克地雷，初步提出三種布雷方案，如圖 ，試求守方采用何種布雷方案較好。守方只要按 2方案布雷，則不管攻方從哪一側進攻，總可毀傷對方 %的坦克。守方設計了三種布雷方案 1, 2, 3,（圖 ），試求守方的贏得矩陣和最優(yōu)策略。為便于理解，作為實例分析下面兩種情況： 情況 1 設守方只有 1500個防坦克地雷，欲布設在攻方必經的 2公里攻擊正面上。由效率評定試驗可得出在各種布雷密度下的殺傷率表，如表 。為了提高殺傷率，現(xiàn)將一個防御正面劃分成幾段，各段允許采用不同密度。對守方來講，布雷密度通?？煞殖?,1,2等有限個等級。 由于每兩輛坦克之間一般要保持 50米的間距，因而進攻正面拉得很寬，如一個梯隊 20輛坦克，進攻正面約為一公里寬。假設： （ 1）防坦克地雷數量有限； （ 2）通過偵察、分析，已知敵方可能采用 … 、 n種進攻策略之一； ? ? ?（ 3）通過敵情分析，確定了防御正面的寬度，并根據我方地雷數量，設計 了 1, 2,…, m這 m種布雷方案。只要有足夠多的地雷，用較高密度的地雷場對付敵方進攻總是行之有效的。 ? ?例 （防坦克地雷場的布設） 實戰(zhàn)中，攻方為了增強攻擊力，大量使用攻擊力強、防御堅固的坦克；守方為了抵御對方攻擊，需要大量殺傷敵方的有生力量，有效對策之一是布設防坦克地雷場。但正當德軍第九軍剛開始東撤時，突然接到了希特勒的命令要他們向西進攻，從而失去了他們有可能取得的最佳結局，走上必然滅亡的道路。 1215,66qq??由于兩軍作戰(zhàn)并非可以反復進行的對策問題，看來最大的可能是美軍采取策略 3而德軍采取策略 2，即美方后備軍待命而德軍第九軍東撤。 根據上面的定理 ，可劃去該矩陣的第一行，得到 2 2贏得矩陣 ? ?1223 1566213????????????????這仍然是一個無鞍點的對策矩陣。 現(xiàn)在回過來討論美、德軍隊對策問題。 令 ， R’為從 R中劃去第 i1行， … ， ik行后剩下的矩 陣，則 的最優(yōu)策略即原對策 G的最優(yōu)策略，對于 R中 列的最優(yōu)關系也有類似的結果。 0j0kjij aa ?00i j i laa?? ?易見，若一個對策矩陣的第 i行優(yōu)于第 k行，則無論局中人 B選擇哪種策略，局中 人 A采取策略 i的獲利總優(yōu)于（至少不次于）采取策略 k的獲利。 16?? 56? ??0????定義 對于贏得矩陣 R，如果對所有 j， aij≥akj均成立，且至少存在一個 使 得 則稱 i行優(yōu)于 k行（策略 ai優(yōu)于 ak）。 上述分析估計是由 Bradley將軍作出的，據此構造出 A方贏得矩陣 12123 113215 66213BA???????????????????????這是一個 3 2對策矩陣。在發(fā)現(xiàn)德軍撤退后，奉命向東擾亂敵方撤退， 為以后殲滅德第九軍創(chuàng)造條件，估計是美軍擊敗德軍的可能性 。 ? ?（ 5）（ 2, 2），美后備軍東進給德軍東撤造成壓力并挫傷德軍，使美軍擊敗 德軍的可能性增大到 。 ??情況（ 1）、（ 2）、（ 3）如圖 （ 1）、（ 2）、（ 3）所示。如不需增援，后備軍可東進繞行到德軍后方。德軍很可能打破美軍第一軍的防線，并切斷美軍的退路。 ? ? ?? SA、 SB構成六種純局勢，綜合雙方實力，各種局勢估計結果如下。模型假設： Bradley將軍和 Von Kluge將軍分別為對策問題的局中人 A和 B。Bradley將軍有三種可供選擇的策略：他可以命令后備軍原地待命，當海峽形勢危急時支援第一軍或出擊東部敵人，以減輕第一軍的壓力。 Von Kluge將軍面臨的問題是或者向西進攻，加強他的西部防線，切斷美軍援助；或者撤退到東部，占據塞那河流域的有利地形，并能得到德軍第十五軍的援助。美軍第三軍也開到了 Avranches的南部，雙方軍隊所處的地理位置如圖 。 例 （戰(zhàn)例分析） 1944年 8月，美軍第一軍和英軍占領法國諾曼第不久，立即從海防前線穿過海峽，向 Avranches進軍。怎樣建立一個“公平”的分配原則是一個較為困難的問題，將在第九章中介紹。 例 ，總獲利數并非常數的對策問題（即不能轉化為零和對策的問題），是一類存在著合作基礎的對策問題。不難看出，依靠單方面的努力不一定能收到良好的效果。因而，這種求穩(wěn)妥的想法將導至出現(xiàn)局勢（ 4， 2）。 例 現(xiàn)有一對策問題，雙方獲利情況見表 。類似求解線性規(guī)劃 max υ +y2 ≤υ y1 + ≥υ y1 +y2 =1 y1 , y2 ≥0 可得 B方最優(yōu)混合策略： y1 =, y2 =。關于線性規(guī)劃對偶理論，有興趣的讀者可以參閱有關書籍，例如魯恩伯杰的“線性與非線性規(guī)劃引論”。 同理， 應為線性規(guī)劃 Y1nij ii ay ?? ??max ν , i=1, 2, …, m 11n ijy???yj≥0, i =1,2,…, n 的解。 ? ????? ?2x 2x ?2x2x1xA方選擇混合策略 的目的是使得 Xm in m a xTTX YX R Y X R Y?1m in m a x ( )nT jjXY jX R y e?? ?1m in m a xnjjX YjEy?? ?其中 ej為只有第 j個分量為 1而其余分量均為零的向量， Ej = XTRej。若 A以小于 的 x2取策略 2，則 B可以采取 1使 A的期望贏得減??；反之，若 x2 ，則 B又可采取 2而使 A的贏得減小。類似地，連接兩個 B2的直線段恰好對應當 B取 2而 A以概率 x2取 2時的贏得 a12(1－ x2)+a22x2。 現(xiàn)設 A以概率 x2采取策略 2，若 B采取策略 2，則 A的期望贏得為 a11(1－ x2)+a21x2。 ?? ?借助幾何方法也可以解 m 2或 2 n的使用混合策略的對策問題。過 x=0和 x=1各作 x軸的垂線，稱之為軸 I和軸 II。 上述方法也可以用幾何方式表達。 同樣，可從 A方考慮問題，得 1 2 1 2120 . 8 2 0 . 5 81y y y yyy? ? ??????即 1 1 2 2 2 1 1 2 2 212 1na y a y a y a yyy? ? ??????并解得 y1=， y2=。若 E（ 1） ≠E（ 2），不妨設 E（ 1） E（ 2），則 B方必采用 1以減少指揮部被轟炸的概率。 B采用 1時， A方轟炸機攻擊指揮部的概率的期望值為 E（ 1） =0。 m a x m in 0 .8 2ijji a? ?? m in m a x 1ijj i a? ? ? ? ?現(xiàn)設 A以概率 x1取策略 概率 x2取策略 2； B以概率 y1取策略 概率 y2取策略 2。請為 A、 B雙方各選擇一個最優(yōu)策略，即：對于 A方應選擇哪一架轟炸機裝載炸彈？對于 B方戰(zhàn)斗機應阻擊哪一架轟炸機？ 解： 雙方可選擇的策略集分別為 SA = { 1, 2}, 1：轟炸機 I 裝炸彈， II 護航 2：轟炸機 II 裝炸彈， I 護航 ? ? ??SA = { 1, 2}, 1：阻擊轟炸機 I 2：阻擊轟炸機 II ? ? ??贏得矩陣 R=（ aij） 2 2， aij為 A方采取策略 i而 B方采取策略 j 時，轟炸機轟炸 B方指揮部的概率，由題意可計算出： ??a11= + (1－ ) = a12= 1, a21= 1 a22= + (1－ ) = 即 0 . 8 2 11 0 . 5 8R??? ????易求得 ， 。若戰(zhàn)斗機阻擊 I，它將同時受到兩架轟炸機的射擊，被擊中的概率為 。轟炸機飛至 B方上空，受到 B方戰(zhàn)斗機的阻擊。 例 A、 B為作戰(zhàn)雙方， A方擬派兩架轟炸機 I和 II去轟炸 B方的指揮部，轟炸機 I在前面飛行， II隨后。 m a x m in m in m a xT T TxxyyX R Y X R Y X R Y??使用純策略的對策問題（具有穩(wěn)定解的對策問題）可以看成使用混合策略的對策 問題的特殊情況，相當于以概率 1選取其中某一策略，以概率 0選取其余策略。 定義 若存在 m維概率向量和 n維概率向量，使得對一切 m維概率向量 X和 n 維概率向量 y有 則稱（ , ）為混合策略對策問題的鞍點。 記 SA: 策略 α1,…, α m SB: 策略 β1,…, βn 概率 x1,…, xm 概率 y1,…, yn 分別稱 SA與 SB為 A方和 B方的混合策略。這時，局中人均應根據某種概率來選用各種策略，即采用混合策略的辦法，使自己的期望收益盡可能大。這類決策如果只進行一次，局中人除了碰運氣以外別無辦法。但此時若 B改換策略 2，又會使 A輸掉 4， …… 。但如果局中人 A適當改換策略，他可以增加收入。例如，考察（ ）中的贏得矩陣 R。然而，在實際遇到的零和對策中更典型的是 μ+ν≠0的情況。 1i? ? 2i? ?1i? ? ?2i?定理 ，作為習題留給讀者自己去完成。 1i? 1i? 2i? 2i? 1 1 2 2i j i jaa?（ 2）可交換性。 ? ? ? ?? ? ? ?定理 對策問題的解具有下列性質： （ 1）無差別性。例如，若 1 2 3 4 51234 9 4 3 1 1010 1 15 1 85 1 8 2 64 1 5 1 3R? ? ? ? ?????? ? ? ????????? ? ???則易見，（ 2, 2），（ 2, 4），（ 4, 2），（ 4, 4）均為此對策問題的解。 上述定