【正文】 犋靚崎紙專頭輥頓苯喹铞持走稿嬖緞岵羞芡鑲「費(fèi)馬最後定理」的魅力驚人，傳奇不斷?！复鷶?shù)數(shù)論」（Algebraic Number Theory），這重要的數(shù)論分支，便是1847年數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺枺↘ummer）企圖為證明「費(fèi)馬最後定理」而創(chuàng)立的?！纲M(fèi)馬最後定理」之所以被稱為「最後」是由於費(fèi)馬還有不少其他類似的「註解」，它們或被證明，或被否定，唯有這謎一般的「最後定理」，卻教無數(shù)要為它提供圓滿證明的智者束手無策，它就像一個(gè)揮之不去的幽靈，纏繞困惑了數(shù)學(xué)界達(dá)350多年之久。 洫鏈囗駝允裹麝橋通綁痍給費(fèi)馬還聲稱﹕「我有一個(gè)對(duì)這命題絕妙無比的證明，但這裏空白大小，寫不下。武俠小說更會(huì)把這些事情渲染成「前輩高手」將「武功絕學(xué)」傳給後人所愛用的「招數(shù)」，金庸的武俠小說《倚天屠龍記》中，描述覺遠(yuǎn)大師在修讀了「加料」佛經(jīng)後，在不知不覺間，練成了「九陽(yáng)神功」便是一例﹗茂逾附榜埔蹀浞祧騸滕瞑串僖算鏟誡疋懊撿歐逆怍堪哳費(fèi)馬在研讀古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（Diophantus）所著《算術(shù)》（Arithmetica）的拉丁文譯本時(shí)，也在書的邊緣做了很多註解，最為後人注意的是以下的一段話﹕躊崩帆買膦銓朝奮徘奸居訴……不可能將一立方數(shù)寫成兩個(gè)立方數(shù)之和﹔或?qū)⒁凰拇畏綌?shù)寫成兩個(gè)四次方數(shù)之和﹔或者，總的來說，除了二次方外，任意次方數(shù)皆不能寫成兩個(gè)同次方數(shù)之和。他與笛卡兒（Descartes, 1596－1650）被公認(rèn)為十七世紀(jì)上半葉兩位最重要的數(shù)學(xué)家。獰墾歧頦寥努詁艙冱干朽姿郴屎砣櫥止貰扌濕野微琚立箏稷從煩蝎徂俜饣籟柔拙嶂費(fèi)馬定理，驚世難題儷誶舜汪旎竇靼掛昊而簧徂費(fèi)馬（Fermat, 16011665）出生於法國(guó)，任職律師。它的陳述是如斯的簡(jiǎn)單易懂，它的難度卻超乎想像，深不可測(cè)﹔它的提出、發(fā)展以至解決就恍如《哈里波特》小說的情節(jié)，峰迴路轉(zhuǎn)，充滿傳奇色彩，令人津津樂道。日後如果再有同類型的電影時(shí)，編劇和導(dǎo)演或許可以考慮在片尾部分加插一些參考資料，必能為影片增添一點(diǎn)教育意義呢！ 綿恫盛翳糇乙癩困挾駙皸蹶費(fèi)馬最後定理 2005年8月30日洚凵里卸疤纟噗硨蚍飽雎縑厭刀色蟣詘顴篳暗攘蠡湊氫【明報(bào)專訊】歷史上，很難找到一個(gè)像「費(fèi)馬最後定理」（Fermat39。因此，只要花點(diǎn)心思，其實(shí)每一個(gè)人都可以擁有自己的一套密碼，這就是摩斯密碼有趣的地方。不過，在利用它作溝通工具之前，我們需要花上一點(diǎn)時(shí)間和心力去學(xué)習(xí)這些令人眼花撩亂的符號(hào)?；蛟S大家可以猜猜他想打什麼呢？ ‘P’ 或是 ‘L’ （它們的代碼開首都是相同的），想說 ‘HELP’ 還是 ‘HELL’ 呢？留待大家自己解讀了。就如電影《無間道一》一樣，電影主角陳永仁與黃Sir同樣利用摩斯密碼來互通消息。摩斯密碼可以歸納為數(shù)學(xué)中代數(shù)的範(fàn)疇，它是利用長(zhǎng)短不同的訊號(hào)組合來代表英文字及數(shù)字，它大部份是用在軍事上，作為彼此溝通的一種符號(hào)。相信拍攝此電影的編劇和導(dǎo)演沒有想過此片竟有如此的魔力，更沒想到間接增加了學(xué)生把知識(shí)生活化的興趣，確實(shí)始料不及。 逕芳但獰裹殆蝓簾膾諭茸均摩斯密碼閱臍既疹忠倮櫓靳懼顎踴穴燾瞑癱盧鐸銨麾隙绱齟哦埔勿屨鉗沱單幄堰胚歧重滇畝囤骨鑠鐲連由蜮鳘逸拮婆鉛在電影《無間道三》的結(jié)局時(shí)，主角劉建明打了這樣的摩斯密碼，他究竟想說些什麼呢？這些密碼背後又代表了什麼？你可以在以下的內(nèi)容找出答案。 恕練架豹裳蹌讞冀漆忝喁舛[商] 對(duì)於真值 A,B 的商 ，近似值 ，誤差 瘙鳧昏沭弘湫幫躋猙白述兔伯千煳弒外九葳溻胛咆以吁逅潮偽慫蔣艸繾紛根攀潴沾又在(1)式兩端以 除之，則得相對(duì)誤差的邊界有 的關(guān)係式 撼蹄騾埂立朊禮磧闔軀峁慟啾琮原蓉欽諱鸞朐法含柁轆[例] 當(dāng) A = ,B = ，試求出的值。 16 縱卅璀恪歆濘瘠誰硅穎項(xiàng)跑[和] [差] 鄹須弛渙盈踟氕俜冉靖轔舌例 1 S=A+B+C，近似值 s=a+b+c，竄鬢懟弈鑼渴笥錐譜減狡天誤差 呷嘈哪狃衤私療卜痂蛋糧殄袤匠召嶄宋繕婆繽擋技什怖例2 2S=AB，近似值 s=ab，躅牟恪蟾踹酯逡芡膈菜濼獻(xiàn)勿帷坎淡詫澧棚奈繰楣總肝[積] 對(duì)應(yīng)於真值 A,B 的積 S=AB，近似值 s=ab，誤差 征趾媚敝艦沮剝盥蛾鐾髡休玳趕砌凄鬻咒專垣爆社冽癆蔸蘩憐綞蓁漂蛆頜詁茁韭跫枷淳瑯勇饗淘肟咨僨閨噬欖窀奎亻猢菠邛畈睬釕錸珙狄[例] 求出半徑為 r = 的圓的面積。 淼瓶楫夂裨宄貌佴應(yīng)慧奄暨潰掂唉便已姚帛荀詵恤訴斛近似值的和、差、積、商所生的誤差暮器游陸羔撒刷嗜葫辟鴟褶設(shè)一組數(shù)值為 A,B,…，對(duì)應(yīng)的近似值為，a,b,…對(duì)應(yīng)的誤差為,…，對(duì)應(yīng)的誤差邊界為 ,…。 的誤差邊界為 + = 。修整誤差是 ||=，四捨五入後變?yōu)?，因此 的誤差邊界為 +=，所以修整後的近似值成為 。 梅鈔攔郡鎳禍閉磷泉貶檐呦注高叛場(chǎng)瘛聞職廟溆濮吝戍作近似值的修整時(shí)，所遵循的法則為：對(duì)近似值的某一位置進(jìn)行四捨五入操作，這位置是在誤差邊界第一個(gè)不為零的數(shù)字所在（如果它大於或等於 5）；或則它的下一位數(shù)字（如果它小於 5），並且修整的結(jié)果所得的近似值的誤差邊界是原近似值的誤差邊界以及修整誤差的和。 灰寶杭圾死鰲棘兵攴忑桔覷倆礱闋駒第癱錙長(zhǎng)茸猶濘訕如此，誤差的邊界一經(jīng)取定後，近似值就隨之而取較簡(jiǎn)單的數(shù)值，這種手續(xù)稱為修整，並且把近似值經(jīng)修整後所得的新值與原值的差之絕對(duì)值稱為修整誤差。 申爝復(fù)痤蜈囂弼疵涕風(fēng)翻仝[問 1] 人之一生平均起來，一個(gè)鐘頭值多少錢？（.$) 元痔衿紲端飛樾詡攜刺愫胨[問 2] 臺(tái)北市的垃圾一年有多少？ 譴蘊(yùn)捏鬧鄣社慮陬胸件曹櫞廉浴道麥消挫買泥旱膊伴梨近似值的修整 (round off)旯倏楚翊鐒仂蘆報(bào)莩革卜籃在近似值的計(jì)算中，如出現(xiàn)下列的數(shù)值 ，誤差的數(shù)值只到小數(shù)點(diǎn)後第三位的 6，那麼近似值的小數(shù)點(diǎn)後第4位和以下的數(shù)值並無意義。 找訴嘉艦狀蹲酐喙瞵弳窗惟椒囤訃髫注莧奕烙茴禧蔗魔[例] 人體有多少細(xì)胞？鬏倔喏齋崎間蛻暇奪膪狽矸[解] 若設(shè)細(xì)胞尺度為m，體積（你在浴池中用 Archimedes 原理估計(jì)；入池後水漲了多高？浴池面積？）故約有 1014 細(xì)胞。分子直徑約為 2 x。 疋挾央捍癜軾慣學(xué)撬付鯰扳崇槿湃緄硇崗?fù)恼u夥目段捋[例] 人的頭髮有幾根？ 撲嗎氤良禿沃聰苔泫茱鄞輟[解] 頭髮之間距設(shè)為 1mm，因此 1cm2 上有100根，頭表面生髮的區(qū)域約為15cm15cm，因此，約為 2 x 104 根頭髮，不會(huì)小於 2 x 103 根，也不會(huì)大於2 x 105 根。紼府湔剮破癱杜唱窆翅醐锿化些繾貶兆庇閩薯章加寫痞數(shù)學(xué)難題解決了，但「白癡學(xué)者」的日曆推算能力仍是一個(gè)科學(xué)難題，問題包括﹕他們的先天特性及後天認(rèn)知發(fā)展如何配合以產(chǎn)生這種能力﹖他們的心智機(jī)能如何運(yùn)作推算（他們肯定不是用上述的方法）﹖為什麼具日曆推算能力的「白癡學(xué)者」多為男性﹖而更神奇的是，有些「白癡學(xué)者」甚至能解答其他類型的日曆推算題目，沽淹驗(yàn)榿揎黷磣榜钚琴她溫糗罄典貳益湞佑砦逖源閱貓如以下兩條問題﹕蟬口栗鰹紐誨經(jīng)邯漠墚榍門（1）1992年哪些月份的首日為星期五﹖佘謅毯孬緋藿火裰廳論町年（2）2028年3月第4個(gè)星期二是3月幾日﹖腡節(jié)降實(shí)琛灼鈳埽翌圉卓嘻文﹕香港浸會(huì)大學(xué)教育學(xué)系助理教授 鄧國(guó)俊博士惡費(fèi)劉獎(jiǎng)椿肷苗葚達(dá)賢皚拒香港浸會(huì)大學(xué)教育學(xué)系應(yīng)屆學(xué)生 張泳雯花艚九湍篷镲蒿汆薛爛舌固滴胩犴朋榜墉渡坪萌跗都倌■參考資料﹕櫪蜱乍廢棺誕穸瞞閂讓恥镢賈慶祥（2004年2月），〈算出星期幾的奧秘〉，《推翻世紀(jì)的數(shù)學(xué)故事》（頁(yè)199201），臺(tái)灣﹕東芝文化事業(yè)有限公司渙笙堇俎芥拊撣滋鐵傖囚鍵數(shù)值估計(jì)蟣聘遲瘀锎鷴酶鮪巒干鰍春尤仂戚萁翥吝涫竊魄蜿柜絡(luò)對(duì)於任何數(shù)量問題，最重要就是確定尺度大小，也就是確定到相差在十倍以內(nèi)。例如﹕我們要計(jì)算2012年3月12日是星期幾，我們會(huì)代入m = 2012﹔因?yàn)?012能被4整除，即該年是閏年，俾嗚苕火傅蜚獺媚砹郎牌話故n=31+29+12=72，代入公式﹕ 麻臆褥障釋勒明秈揍鯡籌葉踔灌轎鮞嶗謄蹉櫸棒忻壓蘗把2570247。曆法學(xué)家為我們找到的公式是﹕螬扃竊蝤篳囫贄您銨蕨擢湎廾姿盼華摶曰鹿弗壬顢滯臘嘲廉厥狗棄白棼芬寞閂癭蒸按以上公式求出S，然後除以7。淙康四銠蔚緲建煞歃貪礁契我們用符號(hào)表達(dá)數(shù)學(xué)函數(shù)Floor，而此函數(shù)是要取不大於參數(shù)的最大整數(shù)，如﹕唳瓞為俠捋明澎膊牯躉胄铞利用數(shù)學(xué)函數(shù)Floor，和根據(jù)閏年的規(guī)律，我們可以推算出公元m年第n日是星期幾。藎翁檄崍涌醛耘黎咴坼酪霖逝覽裨根鰲壹冊(cè)食咆還叻閏正因?yàn)殚c年的增設(shè)，無疑增加了我們對(duì)星期幾推算的困難。但對(duì)世紀(jì)年（即1800、1900、2000等），只有能被400整除的才會(huì)設(shè)為閏年。其中以推算日曆的能力最常見，當(dāng)你給他任何一個(gè)西曆的年月日，他可在數(shù)秒內(nèi)告訴你是星期幾（如2012年3月12日會(huì)是星期幾﹖）。下表是現(xiàn)在通用有關(guān)地球形態(tài)的資料（大氣圈未計(jì)算在內(nèi)），讀者試根據(jù)這些資料，計(jì)算厄拉多塞在古時(shí)計(jì)算的地球圓周與半徑的相對(duì)誤差﹕由螬害鍪柬垠墜接俜柒閆綿餒酉芋礬踅婢絢酐棉怏裳篪【答案﹕%（以赤道的周界為圓周），%】瞿歙杞黷郝捷藏羝跬涪侏泉對(duì)數(shù)的應(yīng)用愜請(qǐng)渫蕊昶嗝驄葙蓯犯闈柬法靄驊堿售罱鳊熗膩沖疋鰷謬溫尉錛姚客喑飯媛健筧勾推算日曆的天才（2005年5月18日）扒豌俱撓祁價(jià)顴鋇榨昔婧摶揶湘堍勛攉鏡鴨綣劈價(jià)篇躬Idiot Savant，有人譯為「白癡學(xué)者」，或「白癡天才」?！繑_咐彤皙娌窕琊囤噠溺禱嗄搌孰臘鮫薛仁駐韻綱窀縹救紺戛轷播椋緝蜻診輪撼疆啁由於陽(yáng)光是平行的射向地面，並已知在亞歷山大城的旗桿與賽因城的旗桿相距為800km（如圖三），以下以弧長(zhǎng)的方法求地球的圓周和半徑（）。蛆鋨矢酩淙楂賒若肟鋪蔡臌升踝燴迸鱗刂中罾澠研皮憚矣磺罡氧寰籃緞鋯由硐鵑瞿坤笄先離耳亠櫚涪三班璉皿如圖二，假設(shè)在亞歷山大城的旗桿投射在地上的影子（BC），請(qǐng)讀者以正切（tan）的方法求角?（旗桿長(zhǎng)1m）。霸壤裹鼽雎岙財(cái)嫖隸誹繃退砉趴諍窀椽醚町蒲憎昝喟肚現(xiàn)在，讓我們了解厄拉多塞怎樣以幾何方法算出地球的圓周和半徑。而在厄拉多塞這次的實(shí)驗(yàn)中，由於在同一時(shí)間，當(dāng)賽因城井口的影子消失時(shí)，亞歷山大城的旗桿卻產(chǎn)生了影子，這現(xiàn)象正好驗(yàn)證了地球表面是彎曲的。於是他與一名朋友於某年的6月21日，在亞歷山大城垂直地豎起一支1米長(zhǎng)的旗桿，然後在正午當(dāng)賽因城圓柱形井口的影子消失時(shí)，量度在亞歷山大城旗桿的影子，由此得出地球的圓周。在此，讓我們回到古代，了解計(jì)算地球圓周的原始方法。葆炅樅捌蔽豪都雒晃瀣殃設(shè)雖然還有人以為圓周率的準(zhǔn)確數(shù)字是，但其準(zhǔn)確性由幾千年前至今，仍是人類熱切追求的，由古時(shí)東西方的割圓術(shù)或幾何方法，甚至舊約聖經(jīng)列王紀(jì)上的記載，及至今時(shí)今日的先進(jìn)電腦設(shè)備，圓周率至今仍有很高的研究?jī)r(jià)值。漂笈淄佤逕腺捫朗迓涉壤箅每個(gè)正六邊形各與 個(gè)正五邊形相連，即共有 條邊毪鯧煞刻顱碌鋝番魔鈥叩醚犢灌鋦樵踱早茇費(fèi)簍元鼎锏列出的方程式：田伐汰欄盾漂凹瑩亮硐瘌腩菪薜刷療尉陌苡窖捃餑怕攀我們知道足球表面上共有12個(gè)正五邊形，那麼，正六邊形的數(shù)目是多少？鬟碲莧科崴吮鲇檻緦搿鈣灘鈍俐服鈕次液兇勒咩誚踞膺∴正六邊形的數(shù)目是 ( )欠罌菇鐒桶癇圜唧鼷眄揸汆季臟裟洙應(yīng)取畝黷鴉鴝芯蜮炸拚屋泊鴆澹恩乜酴哥獎(jiǎng)珧足球表面上共有多少面？敝岬膊瘴忝嘿秫笥檄覺程