【正文】 x 軸于點 （ 3 ， 0 ），求 )( xf .練 習 積分法 原 函 數(shù) 選 擇 u 有 效 方 法 基 本 積 分 表 第一換元法 第二換元法 直接 積分法 分部 積分法 不 定 積 分 幾種特殊類型 函數(shù)的積分 主要內(nèi)容 不定積分 基本積分表 1( 1 ) ( 0( 2) ( 1 )1k dx k x C kxx dx C?? ???? ? ?? ? ? ????是常數(shù) ) ? ?? Cxxdx ln)3(??? dxx 21 1)4( Cx ?ar c tan??? dxx 21 1)5( Cx ?ar c s in? ?x d xc o s)6( Cx ?sin? ?x d xsi n)7( Cx ?? c o s? ?xdxx t a ns e c)10( Cx ?sec? ?xdxx c o tc s c)11( Cx ?? csc?? dxe x)12( Cex ??? xdx2c o s)8( ? ?x d x2sec Cx ?tan?? xdx2sin)9( ? ?x d x2c sc Cx ?? cot?? dxa x)13( Caax ?ln? ??? Cxxdx c o slnt a n)16(? ?? Cxxdx s i nlnc o t)17(? ??? Cxxx d x )t a nl n ( s e csec)18(? ??? Cxxx d x )c o tl n ( c s cc s c)19(Caxadxxa ???? ar c t an11)20( 22Cxa xaadxxa ?????? ln2 11)22( 22Caxdxxa ???? a r csi n1)23( 22Caxxdxax??????)ln (1)24(2222Cax axadxax ?????? ln2 11)21( 22Cx??sh)14( ?xdx ch?xdx Cx??ch)15( sh四種類型分式的不定積分 。沒有水平漸近線?,lim 01 ????? yx又 ,lim 01 ????? yx。0)(,1 是最大值時時 ???????? fxfxxfx.,0)1(ln)( /1 命題成立????? nxnxxf例 4 ).,0,0(,2ln)(lnln yxyxyxyxyyxx ???????證明不等式證 ),0(ln)( ?? ttttf令,1ln)( ??? ttf則 ,01)( ???? ttf.0,0),(),(ln)( 是凹的或在 ???? yxxyyxtttf)2()]()([21 yxfyfxf ???于是,2ln2]lnln[21 yxyxyyxx ????即.2ln)(lnln yxyxyyxx ????即例 5 .)(,。,1,01ln,0)1(原方程無根時原方程有兩個根時原方程有唯一根時eaaafeaaafeaaaf????????????????例 2 .),0()11( 上的單調(diào)性在判斷 ???? xxyxxyyxxy ???????11)11l n (),11l n (ln 兩邊求導?解： ).1,(,01 11]1 1ln)1[ l n ( xxxxxxyy ??????????????則.),0()11( 上單調(diào)增加在 ????? xxy??單調(diào)遞減則設或 )(,0)(,1 1)11l n ()(: xgxgxxxg ??????例 3 )1(.0),1(ln /1 成立等號僅在證明 ???? xxxnx n.23,2 3 ??? xxx 時證明)1(1)(),1(ln)(: /1/1 nn xxxfxnxxf ??????設證.0)1(。1( ) , 1 / .f x x ax xf x a x ax? ? ? ??? ? ? ?解 : 設 ，駐 點 ：x )/1,0( a ),/1( ??aa/1)(xf?)(xf? ??0?最大值 .,1,01ln,0)1(。lnsi nlim。 00( ) ( 0 )( 0 ) l im l im ( 1 ) ( 2 ) ( 1 0 0 )0xxf x ff x x xx???? ? ? ? ? ??例 2 解 22224321 1 11 , a r c t a n l n ,2 4 11 1 1 1()4 1 12( 1 )1( 1 ) ,21.( 2 ) 1uxxuu x y uuyuuuuxxxyx x x?? ? ? ??? ? ? ??????? ? ????? ? ???設 則2221 1 1 1a r c ta n 1 l n , .24 11xy x yx?? ?? ? ???設 求例 3 解 : 1s i nlim)0()0(lim)0(00?????? ????? xxxfxffxx1)1l n (lim)0()0(lim)0(00??????? ????? xxxfxffxx.1)0(,1)0()0( ??????? ?? fffsin , 0( ) ,l n( 1 ) , 0( 0) , ( 0) , ( 0) .xxfxxxf f f????? ????? ? ?設問 是 否 存 在例 4 解 : 兩邊取對數(shù) ,ln1ln1 xyyx ? ,lnln xxyy ?即,1ln)ln1( ????? xyy ,ln1 1ln yxy ? ???2)ln1(1)1(ln)1(ln1yyyxyxy?????????322)1(ln)1(ln)1(ln?????yxyxxyy22( ) ( 0 , 0),.yxy f x y x x ydydx? ? ? ?設 函 數(shù) 由 方 程所 確 定 求.,ar c t an1ln222dxyddxdytytx導數(shù)數(shù)的求有參數(shù)方程所確定函設????????例 5 解 ttttttdxdy 1111)1( l n)( a r ct a n222????????22222 1)1( l n)1()1(tttttdxddxyd ????????.,)(sin c o s yxxy x ?? 求設例 6 解 )( ln ??? yyy)s inlnc o s( ln ??? xxxy)sinc o ssinlnsin1()(sin2co sxxxxxxxx ????.,114 )(22nyxxy 求設???例 7 解 : )1111(234 ????? xx,)1( !)1()11( 1)( ????? nnnxnx? ,)1(!)1()11(1)(????? nnnxnx].)1( 1)1( 1[!)1(23 11)( ?? ?????? nnnn xxny22224 1 4 4 3 3 1 14 ( )2 1 111xxyxxxx? ? ?? ? ? ? ?????洛必達法則 Rolle 定理 Lagrange 中值 定理 常用的 泰勒公式 型00 ,1,0 ??型???型??0型00型??Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 xxF ?)()()( bfaf ?0?ngfgf 1??fg fggf 11 11 ????取對數(shù)令 gfy ? 主要內(nèi)容 導數(shù)的應用 (一 ) 例 1 .)1(51lim 5 20 xx xx ????求極限解 .2的次數(shù)為分子關于 x?515 )51(51 xx ????)()5()151(51!21)5(511 22 xoxx ???????)(21 22 xoxx ????)1()](21[l i m 2220 xxoxxxx ???????原式 .21??典型例題 .)21(lim)3(。,3s i n )3(lim,01s i nlim020 ?????????? xxxxxxx.1,0 是無窮間斷點為跳躍間斷點 ?? xx為無窮間斷點。高數(shù) (上 )期末總復習 函 數(shù) 的定義 反函數(shù) 隱函數(shù) 反函數(shù)與直接 函數(shù)之間關系 基本初等函數(shù) 復合函數(shù) 初等函數(shù) 函 數(shù) 的性質(zhì) 單值與多值 奇偶性 單調(diào)性 有界性 周期性 雙曲函數(shù)與 反雙曲函數(shù) 函數(shù) :主要內(nèi)容 函數(shù)極限及連續(xù) 典型例題 例 1 .)sin1ta n1(l i m 310xx xx???求解法討論 則設 ,)(lim,0)(lim ??? xgxf)](1ln [)(li m)()](1l i m [ xfxgxg exf ???)]()[(lim xfxge ??.)()(li m xfxge ??))(~)](1l n [: xfxf ??等價無窮小代換1 ?310)]1s i n1t a n1(1[lim xx xx ??????原式310]s i n1s i nt a n1[l i m xx xxx?????301s in1s inta nlimxxxxx?? ??? 301c o s)s i n1()c o s1(s i nlimxxxxxx?? ???xxxxxxx c o s)sin1(1c o s1sinlim20 ?????? ??21.21e?? 原式解 : 例 2 ).(,1)(lim,2)(lim,)(023xpxxpxxxpxpxx求且是多項式設??????解 ,2)(lim 2 3 ???? xxxpx?),(2)( 23 為待定系數(shù)其中可設 babaxxxxp ?????,1)(li m0?? xxpx?又)0(~2)( 23 ?????? xxbaxxxxp.1,0 ?? ab從而得 xxxxp ??? 23 2)(故例 3 .1,2c o s1,1)( 的連續(xù)性討論?????????xxxxxf ?解 改寫成將 )( xf?????????????????1,111,2c o s1,1)(xxxxxxxf.),1(),1,1(),1,()( 內(nèi)連續(xù)在顯然 ??????xf,1時當 ??x????)(l i m1xfx2)1(lim1?????xx???? )(li m1 xfx ????? 2co slim1xx .0)(lim)(lim11xfxfxx ?? ??????.1)( 間斷在故 ??xxf,1時當 ?x??? )(lim1 xfx ???? 2co slim1 xx .0??? )(lim 1 xfx ???? )1(li m1 xx .0)1()(lim)(lim11fxfxfxx?? ?????.1)( 連續(xù)在故 ?xxf.),1()1,