【正文】 由節(jié)點位移來表示。 二 單元特性分析的方法在有限單元法中，選擇節(jié)點位移作為基本未知量時稱為位移法；選擇節(jié)點力作為基本未知量時稱為力法；取一部分節(jié)點力和一部分節(jié)點位移作為基本未知量時稱為混合法。這樣，用有限元分析計算所獲得的結(jié)果只是近似的。離散后單元與單元之間利用單元的節(jié)點相互連接起來；單元節(jié)點的設(shè)置、性質(zhì)、數(shù)目等應(yīng)視問題的性質(zhì)，描述變形形態(tài)的需要和計算進度而定（一般情況單元劃分越細則描述變形情況越精確，即越接近實際變形，但計算量越大）。并且還能求解各類場分布問題，如流體場、溫度場、電磁場等的穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)問題，以及水流管路、電路、潤滑、噪聲以及固體、流體、溫度相互作用的問題。 有限元法的應(yīng)用范圍很廣，包括：固體力學(xué)、流體力學(xué)、熱傳導(dǎo)、電磁學(xué)、聲學(xué)、生物力學(xué)等。1965 年馮康發(fā)表了論文“基于變分原理的差分格式”，這篇論文是國際學(xué)術(shù)界承認我國獨立發(fā)展有限元方法的主要依據(jù)。 有限元的發(fā)展概況 1943 年 courant 在論文中取定義在三角形域上分片連續(xù)函數(shù)，利用最小勢能原理研究 的扭轉(zhuǎn)問題。Hrennikoff 用類似于格子的網(wǎng)格離散區(qū)域；Courant將區(qū)域分解為有限個三角形的子區(qū)域, 用于求解來源于圓柱體轉(zhuǎn)矩問題的二階橢圓偏微分方程。它的發(fā)展可以追溯到 Alexander Hrennikoff(1941)和 Richard Courant(1942)的工作。第二章 蜂窩等效模量的推導(dǎo)與分析 25蜂窩結(jié)構(gòu)的等效模量計算與有限元仿真26第三章 建模與分析 有限元與 Ansys 簡介 有限元(Finite Element) 有限元分析, 即有限元方法, 是 一種用于求解微分方程組或積分方程組數(shù)值解的數(shù)值技術(shù)， 隨 著 電 子 計 算 機 的 發(fā) 展 而 迅 速 發(fā) 展 起 來 的 一 種 現(xiàn) 代 計 算 方 法 。推導(dǎo)面內(nèi)模量依據(jù)線彈性 BernoulliEuler 梁理論，根據(jù)考慮變形條件得不同得出了 Gibson 公式和 Gibson 公式的修正中；推導(dǎo)面外等效彈性模量時主要依據(jù)等密度法，而在分析面外剪切模量時用到了最小勢能和最小余能法則。試驗與數(shù)值結(jié)果對比表明，當芯體高度相對較小時，用等密度法處理較為合適，而當芯體高度相對較大時，用等剛度法處理較為合理。 對于蜂窩夾芯板的等效處理方法 等剛度法等剛度法是指通過確定等效單層板的厚度、楊氏模量和剪切模量，使之與原蜂窩夾芯板具有相同的剛度，如圖所示圖 為了確定等效單層板的厚度以及模量，需考慮在拉伸、彎曲和剪切三種情況，拉伸時應(yīng)滿足 (294)2feqtE?彎曲時應(yīng)滿足 (295)3311[()]22cffeqhttE??剪切時則應(yīng)滿足 (296)feqtG?故可得 蜂窩結(jié)構(gòu)的等效模量計算與有限元仿真24 (297)????????????feqfeqffceqGtEttht246322 等密度法等密度法是指等效單層板的密度與原蜂窩夾芯板的密度相等且楊氏模量、剪切模量相同，僅需確定其等效厚度。第二章 蜂窩等效模量的推導(dǎo)與分析 234．蜂窩芯體的等效模量與芯體單胞的具體尺寸無關(guān)，僅與各相關(guān)尺寸的比值有關(guān)。2．蜂窩芯體的九個模量均與芯壁的高度無關(guān)。最小余能能原理指：在滿足各點平衡條件并與外部載荷處于平衡狀態(tài)的應(yīng)力分布中，應(yīng)變能對于精確的應(yīng)力分布而言是個極小值。xz? axz??cosbz???最小勢能原理指：從任意假定的一組與外部邊界條件和自身均匹配的位移出發(fā)，計算所得的應(yīng)變能對于精確的位移分布是一個極小值。只有運用數(shù)值方法才可能進行精確的計算，但可以利用最小勢能(minimum potential energy)原理和最第二章 蜂窩等效模量的推導(dǎo)與分析 21小余能(minimum plementary energy)原理，相對容易地得到剪切模量的上下限，最小勢能原理可得出上限，最小余能原理可得出下限。zExzGyzxz?y蜂窩結(jié)構(gòu)的等效模量計算與有限元仿真20圖 在 z 方向施加均勻應(yīng)力 ，其在一個代表性單元上合力可表示為 和 ，且z?1F。由上圖的受力分析，根據(jù)平衡條件得 (253)sin2PlM??令 得 (254)x?1(i)xhl?由彎曲以及剪切應(yīng)力引起的 AB 的撓度為： (255)(1)[PlltEIEI??????所以 (256)(1)2[]PltEI?????其中 I 為對中性軸的慣性轉(zhuǎn)矩 2/Ibt軸向變形：作用 AB 的軸向力為 ,所以 AB 的軸向撓度為：cosP? (257)2cosPlEbt???綜上可得 X 方向上的總撓度為：蜂窩結(jié)構(gòu)的等效模量計算與有限元仿真18 (258)23212[1(.42cot)]sincosinslPlEI??????????因此可得 X 方向的總應(yīng)變?yōu)? (259)1cosl???所以 X 向的彈性模量為 (260)3 221 1()/sin)(.4cot)xstElh l?? ?????同理可知 Y 方向的應(yīng)變?yōu)椋? (261)3 2211sincossinco[1(.4)]2()Pl thlEhl???? ??????則等效泊松比為： (262)2 212cos1(.4)/(/in)cotxy lhl??? ??????同理當在 Y 向單向加載時，可得：(263)3 2222/si 1()co1()(yslEt hlt??? ?????(264)2213 22(/sin)()(/co1()(/yxhl tlhtl??? ??????剪切模量用類似的易得到 (265)32/si1()coxysthlGE????2 2 21/(){.41)/in/[(in)tasi](/sin)(/}hltlllhll? ??????? (267)綜上可得在考慮 BernoulliEuler 梁彎曲，伸縮以及剪切變形的情況所得的蜂窩芯層的共性面等效模量為第二章 蜂窩等效模量的推導(dǎo)與分析 19 (268)32 2cos1()/in)(.4cot)xstElh l?????? (269)2 22cos1.)/(/in)(ctxyhl l?? (270)3 222(/)cos1()(ysEtl hlt?????? (271)3 222/in()(/s(.tsc)(/yxhl tltl?? (272)32/in)(oxyshlGE?????2 2 21/(){.41)(/i/[si)tasin](/si)(/}hltlllhll? ??????(273) 異性面等效模量分析蜂窩芯體的主要作用是承受 z 方向的橫向載荷及剪切應(yīng)力，當在 Z 方向加載時，蜂窩壁伸長或壓縮(而不是彎曲)，并且對于六邊形蜂窩來說，這一方向的模量比面內(nèi)模量要大得多?！斗涓C夾芯材料力學(xué)與介電性能研究》文中利用了虛功原理推導(dǎo)由剪切變形引起的懸臂梁撓度公式：蜂窩結(jié)構(gòu)的等效模量計算與有限元仿真16圖 懸臂梁在端部受集中力 P 作用；在圣維南定義下有如下關(guān)系： (248)22/,0, 。1999 年，中山大學(xué)的富明慧等人考慮了蜂窩壁板的伸縮變形對面內(nèi)剛度的影響，對 Gibson 公式進行了修正。對 B 點的力矩進行求?和，可得到作用在 AB 和 BC 上的力矩： (215)4FlM?梁的彎曲變形為 (216)2()3shEI?扭轉(zhuǎn)角 (217)4sFlI??因而 D 點相對于 B 點的剪切變形 U 為 (218)21()()2348sshhlEII?????蜂窩結(jié)構(gòu)的等效模量計算與有限元仿真12剪切應(yīng)變 為? (219)22()sin4sinsUFhlhlEI??????易得剪切應(yīng)力 (220)colb?所以剪切模量 (221)32(/si)()1coxy stlGlh????綜上可得面內(nèi)等效模量的 Gibson 公式為 (222)32s()in)x stlEElh??? (223)2cos(i)yl? (224)3ncsysthEEl??? (225)2(i)ox? (226)32/sin()(1)cxy sthlGl??? 富明慧修正式Gibson 公式具有解析形式，便于應(yīng)用，但它僅考慮了蜂窩芯體壁板的彎曲變形，而未考慮壁板的伸縮變形。由于對稱性，當蜂窩xyG受剪時，點 A、B、C 之間沒有相對位移，剪切變形 U 完全取決于梁 BD 的彎曲和D 點相對 B 點的扭轉(zhuǎn)(扭轉(zhuǎn)角為 )。由力與力矩平衡可得 ， 0FcosWly??胞壁彎曲變形為 (29)312yswlEI??故 Y 方向的應(yīng)變?yōu)? (210)42cocosin(in)yysdlhlIh??????則 Y 方向的彈性模量為 (211)32)coystlE???X 方向的應(yīng)變?yōu)? (212)21insyl?第二章 蜂窩等效模量的推導(dǎo)與分析 11故 (213)212(sin)coyxhl??????將 ， ， ， 代入 中得xEyxyxyxyE (214)31()sincotEl???， ， ， 中只求出其中三個，就能算出第四個值。由 Y 方向的平衡可知 C=O。彈性模量 和 可由圖 (b)和(c)所示的方法求得。又這五個量不完全獨立，即 ,所以獨立的模量個數(shù)為 4 個。 ? 圖 第二章 蜂窩等效模量的推導(dǎo)與分析 9圖 圖 當蜂窩芯體材料在 X 或 Y 方向上承載而以線彈性方式變形，其孔壁會產(chǎn)生彎曲。Gibson 提出了胞元材料(Cellular Material Theory CMT)理論，該理論一種是對蜂窩夾芯進行等效的有效的方法，該理論將蜂窩芯等效為一均質(zhì)的厚度不變的正交異性材料。本章將將采用基于 Gibson 公式的能量法對六邊形蜂窩芯體材料的異面性能和共面性能進行分析。在有限元法上,計算了蜂窩特征單元的異面參數(shù),Grediac計算了窩特征單元的異面參數(shù),對 Gibson 共面剪切模量進行了修正；Guo 利用二維梁單元對 Gibson 公式進行了修正 Chunk 和 Papka 分析圓形聚碳酸酷蜂窩力學(xué)性能時,采用了基于 Timoshenko 梁理論的梁單元來模擬；在實驗方面,Nast 為等邊六邊形蜂窩紙芯彈性模量設(shè)計了實驗測試方法 ；Foo 等設(shè)計了 Nomex 蜂窩結(jié)構(gòu)的共異面彈性模量的測試方法,并利用殼單元進行了模擬,但模型尺寸大計算量大。關(guān)于蜂窩芯材共異面模量求解的研究 主要有能量法、有限元法、實驗法和均勻化理論。六邊邊形蜂窩夾芯材料共面剛度和強度是最低，共性面內(nèi)的應(yīng)力主要使孔壁產(chǎn)生彎曲變形；相比之下異面剛度和強度則要大得多，因為它們需要孔壁的軸向伸長或壓縮。由于 Gibson 公式通過單個蜂窩胞元來推導(dǎo)，而忽略了實際蜂窩芯體宏觀尺寸寬度影響，Gibson 公式適用于無限寬的蜂窩芯體的等效，所以在有限寬蜂窩芯體的等效時 Gibson 公式會產(chǎn)生一定的誤差。第二章 蜂窩等效模量的推導(dǎo)與分析 7第二章 蜂窩等效模量的推導(dǎo)與分析 概述蜂窩芯體等效彈性模量是一種重要的蜂窩夾層材料的力學(xué)性能參量，早期蜂窩芯體的等效力學(xué)性能研究的代表人物主要有 Gisbon 等，Gisbon 采用簡化的線彈 梁模型，推導(dǎo)出的蜂窩結(jié)構(gòu)的等效彈性參數(shù)稱為 Gibson 公式。但是 Gibson 公式只考慮了應(yīng)力引起的 BernoulliEuler 梁的彎曲變形，于是后來為了提 Gibson 公式的準確性，人們對 Gibson 公式進行了，得到了 Gibson 修正式。雖然蜂窩夾層結(jié)構(gòu)有很多有點，但在實際工程分析中有因為其結(jié)構(gòu)復(fù)