【正文】 13) ?這樣，對(duì)圖 539（ a）， Z=1， P=0，即 N=－ 1， F(S1)繞 F(S)平面原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周； 對(duì)圖 539（ b）， Z=0， P=1，即 N=1， F(S1)繞 F(S)平面原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周； (5112) 對(duì)圖 539（ c）， Z=1， P=1，即 N=0， F(S1)不包圍 F(S)平面原點(diǎn)。 (關(guān)于幅角定理的數(shù)學(xué)證明請(qǐng)讀者參考有關(guān)書(shū)籍，這里僅從幾何圖形上簡(jiǎn)單說(shuō)明。 由幅角定理，我們可以確定輔助函數(shù) F(s)被封閉曲線 Γs 所包圍的極點(diǎn)數(shù) P與零點(diǎn)數(shù) Z的差值 PZ。 在圖 538中 ,在 S平面上有三個(gè)極點(diǎn) P P2 、 P3和三個(gè)零點(diǎn) Z ZZ3。 當(dāng)解析點(diǎn)s按順時(shí)針?lè)较蜓?Γs 變化一周時(shí)，則 F(s)在平面上， ΓF 曲線按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的周數(shù) N（每旋轉(zhuǎn) 2π 弧度為一周），或 ΓF 按逆時(shí)針?lè)较虬鼑鶩(s)平面原點(diǎn)的次數(shù)，等于封閉曲線 Γs 內(nèi)包含 F(s)的極點(diǎn)數(shù) P與零點(diǎn)數(shù) Z之差。 圖 537 S平面上的點(diǎn)在 F(s)平面上的映射 76 如圖 5— 38所示， 如果解析點(diǎn) s1在 S平面上沿封閉曲線 （ 不經(jīng)過(guò) F(s)的奇點(diǎn)）按順時(shí)針?lè)较蜻B續(xù)變化一周 ，那么輔助函數(shù) F(s)在平面 F(s)上的映射 也是一條封閉曲線 ,但其變化方向可以是順時(shí)針的，也可以是逆時(shí)針的，這要依據(jù)輔助函數(shù) F(s)的性質(zhì)而定。 (5105) (5107) 一、幅角定理 74 (一 ) Ｓ平面與Ｆ (S)平面的映射關(guān)系 假設(shè)復(fù)變函數(shù) 為單值，且除了 S平面上有限的奇點(diǎn)外，處處都為連續(xù)的正則函數(shù) ,也就是 說(shuō)在 S平面上除奇點(diǎn)外處處解析，那么，對(duì)于 S平面上的每一個(gè)解析點(diǎn)，在 平面上必有一點(diǎn)（稱為映射點(diǎn)）與之對(duì)應(yīng)。 設(shè)有一復(fù)變函數(shù) : 稱之為輔助函數(shù)，其中 是系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞 函數(shù)通?？蓪?xiě)成如下形式 : 式中是系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，將式（ 5106）代入式（ 5105）得 （ 5106） 比較式（ 5107）和式（ 5106）可知， 輔助函數(shù) 的零點(diǎn)即閉環(huán)傳遞函數(shù) 的極點(diǎn)，即系統(tǒng)特征方程 的根。 54頻域穩(wěn)定性判據(jù) 73 幅角定理又稱映射定理 ，它是建立在復(fù)變函數(shù)理論基礎(chǔ)上的。由于系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)特性可用解析法或?qū)嶒?yàn)法獲得，因此，應(yīng)用奈氏判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性兼有方便和實(shí)用的優(yōu)點(diǎn)。 它是將系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性 與復(fù)變函數(shù) 位于 S平面右半部的零、極點(diǎn)數(shù)目聯(lián)系起來(lái)的一種判據(jù)。三階以上的高階系統(tǒng)，求解特征根通常都很困難，前面介紹了兩種判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，基于特征方程的根與系數(shù)關(guān)系的勞斯判據(jù)和根軌跡法。 71 作業(yè)： P210 53 54 72 第三章已經(jīng)介紹，閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性由系統(tǒng)特征方程根的性質(zhì)唯一確定。 然后將它們?cè)诳v軸方向上相加便得到系統(tǒng)開(kāi)環(huán)相頻特性曲線（ 3） 。當(dāng)轉(zhuǎn)折頻率為時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性如圖 530所示 . 70 (b) 對(duì)數(shù)相頻特性 在圖 529上分別畫(huà)出 積分環(huán)節(jié)相頻特性（ 1） 。 圖 529 例 53 Bode圖 該系統(tǒng)還含有一個(gè)積分節(jié)和放大環(huán)節(jié)，參照例 52，對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻段主要由積分環(huán)節(jié)和放大環(huán)節(jié)決定。由系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性可得 : 當(dāng) ω→0 時(shí)有 : 即漸近線是一條與實(shí)軸交點(diǎn)為－ 2ζ KvT且垂直于實(shí)軸的直線，圖 528繪制出該系統(tǒng)在不同阻尼比的漸近線（虛線 ) 及對(duì)應(yīng)開(kāi)環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖。 解 :系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可寫(xiě)成 : 它由一個(gè)放大環(huán)節(jié)、一個(gè)積分環(huán)節(jié)和一個(gè)振蕩環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，對(duì)應(yīng)的頻率特性表達(dá)式為 : 67 （ 1）極坐標(biāo)圖 由于系統(tǒng)含有一積分環(huán)節(jié)，當(dāng) ω→0 時(shí)，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅頻特性 |G(jω) H(jω)|→∞ 。這在下面的示例中將得到進(jìn)一步應(yīng)用。 (593) (594) 65 反之，通過(guò)對(duì)數(shù)幅頻特性，也可以用上述兩種方法的逆過(guò)程，求出式（ 593）和式（ 594）中的開(kāi)環(huán)放大系數(shù) Kv和 Ka。 (593) (594) 64 方法一：對(duì)于式（ 593），先過(guò)橫軸上 ω=1 點(diǎn)作橫軸的垂直線，過(guò)縱軸上 20lgKv點(diǎn)作橫軸的平行線，這兩條直線交于 A點(diǎn)，然后過(guò) A點(diǎn)作斜率為 20dB/dec的直線即為所求的對(duì)數(shù)幅頻特性（圖 526）；對(duì)于式（ 594），過(guò)橫軸上 ω=1 點(diǎn)作橫軸的垂線過(guò)縱軸上 20lgKa 點(diǎn)作橫軸的平行線，這兩條直線交于A點(diǎn)，然后過(guò) A點(diǎn)作斜率為 40dB/dec的直線即為所求的對(duì)數(shù)幅頻特性（圖 527）。 考慮到 KV和 Ka的作用，上述兩條直線應(yīng)分別在縱軸方向上平移 20lgKv和 20lgKa分貝（如圖中實(shí)線所示），即ω=1 所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)值應(yīng)分別為 20lgKv和 20lgKa分貝。 (593) (594) 62 解：有 n個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)，對(duì)數(shù)幅頻特性應(yīng)是一條過(guò)橫軸上 ω=1 且斜率為 n 20dB/dec的直線。 （ b）對(duì)數(shù)相頻特性 在圖 525上分別畫(huà)出三個(gè)環(huán)節(jié)的相頻特性曲線，（ 1）為放大環(huán)節(jié)，（ 2）為慣性環(huán)節(jié) 1和（ 3）為慣性環(huán)節(jié) 2 ，然后將它們?cè)诳v軸方向上相加得到系統(tǒng)開(kāi)環(huán)相頻特性曲線（ 4）。頻率特性與負(fù)虛軸 的交點(diǎn)頻率為 ,交點(diǎn)坐標(biāo)是 其極坐標(biāo)圖 524所示。 57 二、繪制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性伯德圖的步驟 （即串聯(lián)）的形式； ，在 ω 軸上標(biāo)出轉(zhuǎn)折頻率的坐標(biāo)位置； 幅頻特性的漸近線； ，畫(huà)出比較精確的對(duì)數(shù)幅頻特性； ，將它們相加后得到系統(tǒng)開(kāi)環(huán)相頻特性。 56 一、繪制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖的步驟 ； 。 自動(dòng)控制系統(tǒng)通常由若干環(huán)節(jié)組成，根據(jù)它們的基本特性，可以把系統(tǒng)分解成一些典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)，再按照串聯(lián)的規(guī)律將這些典型環(huán)節(jié)的頻率特性組合起來(lái)得到整個(gè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性。滯后相角由式（ 592）計(jì)算，分別與滯后時(shí)間常數(shù) τ 和角頻率 ω 成正比。 Bode如圖 522所示 圖 522 不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的 Bode圖 51 (八）滯后環(huán)節(jié) 滯后環(huán)節(jié)的頻率特性是 : 滯后環(huán)節(jié)伯德圖如圖 523所示。漸近線的轉(zhuǎn)折頻率為，相角變化范圍是 00至 +1800。不同阻尼比 ξ 的相頻特性如圖 520 所示。由式（ 581）可知，當(dāng)阻尼比 ξ 愈小諧振頻率 ω r愈接近無(wú)阻尼自然振蕩頻率 ω n，當(dāng) ξ=0 時(shí)， ω r=ω n 振蕩環(huán)節(jié)的相頻特性是 : (581) (582) (583) 48 除上面三種特殊情況外，振蕩環(huán)節(jié)相頻特性還是阻尼比 ξ 的函數(shù)，隨阻尼比 ξ 變化，相頻特性在轉(zhuǎn)折頻率 附近的變化速率也發(fā)生變化，阻尼比 ξ 越小，變化速率越大，反之愈小。 由圖 519可看出，振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性在轉(zhuǎn)折頻率 附近產(chǎn)生諧振峰值 ，這是該環(huán)節(jié)固有振蕩性能在頻率特性上的反映。通常大于（或小于）十倍轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，誤差可忽略不計(jì)。 當(dāng) ξ= 時(shí)為 +6(dB)；誤差曲線如圖 518所示。 (579) (580) 45 漸近線與精確對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的誤差分析如下： 當(dāng) 時(shí)， ，它是阻尼比ξ 的函數(shù)； 當(dāng) ξ=1 時(shí)為 6（ dB） 。兩段折線構(gòu)成振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線，它們的轉(zhuǎn)折頻率為 。 圖 516 一階微分環(huán)節(jié)的 Bode圖 一階微分環(huán)節(jié)的相頻特性如圖 516 所示，相角變化范圍是 00至 900，轉(zhuǎn)折頻率1/T處的相角為 450。它是一條由 至 范圍內(nèi)變化的反正切函數(shù)曲線，且以 和 的交點(diǎn)為斜對(duì)稱 . 42 （四）一階微分環(huán)節(jié) 一階微分環(huán)節(jié)頻率特性為 : 其對(duì)數(shù)幅頻特性是 : 一階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性如圖 516所示，漸近線的轉(zhuǎn)折頻率為 ，轉(zhuǎn)折頻率處漸近特性與精確特性的誤差為 ，其誤差均為正分貝數(shù)，誤差范圍與慣性環(huán)節(jié)類似。經(jīng)過(guò)修正后的精確對(duì)數(shù)幅頻特性如圖 514所示。由圖 515可知，慣性環(huán)節(jié)漸近線特性與精確特性的誤差主要在交接頻率 上下十倍頻程范圍內(nèi)。 (573) (574) 39 很明顯， 距離轉(zhuǎn)折頻率 愈遠(yuǎn) , 愈能滿足近似條件 ，用漸近線表示對(duì)數(shù)幅頻特性的精度就愈高；反之， 距離轉(zhuǎn)折頻率愈近，漸近線的誤差愈大 。 兩條直線在 處相交， 稱為轉(zhuǎn)折頻率，由這兩條直線構(gòu)成的折線稱為對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線。兩個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)的 Bode圖如圖 513所示。 (568) (569) 37 其對(duì)數(shù)幅頻特性為 : 是一條斜率為 n 20dB/dec，且在 ω=1 （弧度 /秒）處過(guò)零分貝線（ ω 軸）的直線。 積分環(huán)節(jié)的相頻特性是 : 是一條與 ω 無(wú)關(guān)，值為 900 且平行于 ω 軸的直線。 當(dāng)有 n個(gè)放大環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，即 : 幅值的總分貝數(shù)為 : 放大環(huán)節(jié)的相頻特性是 : 如圖 511所示，它是一條與角頻率 ω 無(wú)關(guān)且與 ω 軸重合的直線。 31 幅頻特性 相頻特性 32 用伯德圖分析系統(tǒng)有如下優(yōu)點(diǎn)： （ 1）將幅頻特性和相頻特性分別作圖，使系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的幅值和相角與頻率之間的關(guān)系更加清晰； (2）幅值用分貝數(shù)表示，可將串聯(lián)環(huán)節(jié)的幅值相乘變?yōu)橄嗉舆\(yùn)算，可簡(jiǎn)化計(jì)算； （ 3）用漸近線表示幅頻特性，使作圖更為簡(jiǎn)單方便； （ 4）橫軸（ ω 軸）用對(duì)數(shù)分度，擴(kuò)展了低頻段，同時(shí)也兼顧了中、高頻段，有利于系統(tǒng)的分析與綜合。 兩個(gè)坐標(biāo)平面橫軸 (ω 軸 )用對(duì)數(shù)分度，對(duì)數(shù)幅頻特性的縱軸用線性分度，它表示幅值的分貝數(shù)， 即 L(ω)=20lg|G(jω)|(dB) ；對(duì)數(shù)相頻特性的縱軸也是線性分度，它表示相角的度數(shù)，即 φ(ω)=∠G(jω)( 度 )。 圖 5－ 9不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的頻率特性 圖 54 慣性環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng) 27 （八）滯后環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 滯后環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 : 其對(duì)應(yīng)的頻率特性是 : 幅頻特性和相頻特性分別為 : 如圖 510所示，滯后環(huán)節(jié)的頻率特性在平面上是一個(gè)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的單位圓。 ?180（七）不穩(wěn)定環(huán)節(jié) 不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 : 不穩(wěn)定環(huán)節(jié)有一個(gè)正實(shí)極點(diǎn)， 對(duì)應(yīng)的頻率特性是 : 圖 58 二階微分環(huán)節(jié)頻率特性圖 26 幅頻特性和相頻特性分別為 : 不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的頻率特性如圖 59。純微分環(huán)節(jié)的頻率特性與正虛軸重合。 推廣：當(dāng)振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的分子是常數(shù) K時(shí)，即 ，其對(duì)應(yīng)頻率特性 的起點(diǎn)為 23 頻率特性如圖 57所示。 22 振蕩環(huán)節(jié)為相位滯后環(huán)節(jié)，最大滯后相角是 。 在 的范圍內(nèi)，隨著 ω的增加， 緩慢增大 。 圖 55 振蕩環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng) 將 ωr代入 |G(jω)| 得到諧振峰值 Mr為 : (540) 將 ωr代入 ∠ G(jω) 得到 諧振相移 為 : 21 當(dāng)阻尼比 時(shí)，此時(shí)振蕩環(huán)節(jié)可等效成兩個(gè)不同時(shí)間常數(shù)的慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，即 : T1,T2為一大一小兩個(gè)不同的時(shí)間常數(shù)，小時(shí)間常數(shù)對(duì)應(yīng)的負(fù)實(shí)極點(diǎn)離虛軸較遠(yuǎn)，對(duì)瞬態(tài)響應(yīng)的影響較小。 當(dāng)阻尼比較小時(shí)，會(huì)產(chǎn)生諧振，諧振峰值 Mr(Mr1)和諧振頻率 ωr 由幅頻特性的極值方程解出。 ??0 )( ?jG? 00 900 ??? ?)( ?jG(532) (533) 則有 : 18 推廣：當(dāng)慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的分子是常數(shù) K時(shí)， 即 G(jω)=k/(jTω+1) 時(shí)，其頻率特性是圓心為 :[k/2,0]，半徑為 k/2的實(shí)軸下方半個(gè)圓周。 21這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓方程，其圓心坐標(biāo)是 ，半徑為 。 28)(5 11|)(|22 ??TjG??26)(5 11)( ?? TSSG27)(5 11)( ?? ?? jTjG?? a r c tg TjG ??? )( (529) 16 ?? a r c tg TjG ??? )( (529) 當(dāng) ω 由零至無(wú)窮大變化時(shí)，慣性環(huán)節(jié)的頻率特性在[G(jω)]平面上是正實(shí)軸下方的半個(gè)圓周，證明如下： 令 : 0