類曲面積分ppt課件-文庫吧資料
2025-01-21 07:00本頁面
【正文】 ??dxdyzyxR ),( , 即 ????????nixyiiii SRd x d yzyxR10))(,(lim),( ????被積函數(shù) 積分曲面 類似可定義 ????????niyziiii SPd y d zzyxP10))(,(lim),( ????????????nizxiiii SQd z d xzyxQ10))(,(lim),( ????Email: 定義 設(shè) ? 是空間內(nèi)一個光滑的曲面 ? n ? ( c o s ? ? c o s ? ? c o s ? ) 是其上的單位法向量 ? V ( x ? y ? z ) ? ( P ( x ? y ? z ) ? Q ( x ? y ? z ) ? R ( x ? y ? z )) 是確在 ? 上的向量場 ? 如果下列各式右端的積分存在 ? 我們定義 ( , , ) ( , , ) c os( , , ) ( , , ) c os( , , ) ( , , ) c osP x y z dy dz P x y z dSQ x y z dzdx Q x y z dSR x y z dx dy R x y z dS?????????????? ???? ???? ?? 并稱???dy dzzyxP ),(為 P 在曲面 ? 上對坐標(biāo) y 、 z 的曲面積分 ? ???dz dxzyxQ ),(為 Q 在曲面 ? 上對坐標(biāo) z 、 x 的曲面積分 ? ???dx dyzyxR ),(為 R 在曲面 ? 上對坐標(biāo) y 、 z 的曲面積分 ? 其中 P 、 Q 、 R 叫做被積函數(shù) ? ? 叫做積分曲面 ? Email: 存在條件 : 當(dāng) ),(),(),( zyxRzyxQzyxP 在有向光滑曲面 Σ 上連續(xù)時 , 對坐標(biāo)的曲面積分存在 . 組合形式 : d x d yzyxRd z d xzyxQd ydzzyxP ),(),(),( ?????物理意義 : 表示流向 Σ 指定的流量 d x d yzyxRd z d xzyxQd ydzzyxP ),(),(),( ???? ???Email: 注意： 1 、前面我們所規(guī)定的 Σ 的正側(cè)時就???dx dyzyxR ),(而言的 ,對于( , , ) , ( , , )P x y z d y d z Q x y z d zd x???? ??中 Σ 的正側(cè) , 我們分別規(guī)定 : 前正后負(fù) , 右正左負(fù) . 事實(shí)上 , 是分別用與 x 軸正向 , y 正向夾角為銳角 的法向量的指向?yàn)檎齻?cè) . 2 、???dx dyzyxR ),(中 的 d x d y 與??Dd x d yyxf ),(中的 d x d y 不同 .前者可正可負(fù) , 是xyiS )( ?的象征 , 后者恒正 , 是i?? 的象征 . 一個規(guī)定： 如果是分片光滑的有向曲面 ? 我們規(guī) 定函數(shù)在 ?上對坐標(biāo)的曲面積分等于函數(shù)在各片光滑曲面上對坐標(biāo)的曲面積分之和 ? Email: 對坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì) : 12121.Pd y dz Q dzd x Rd x dyPd y dz Q dzd x Rd x dy Pd y dz Q dzd x Rd x dy? ? ?????? ? ? ? ? ????? ??（ 曲 面 可 加 性 ） 2.P d y d z Q d zd x R d x d y P d y d z Q d zd x R d x d y? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ??? ??（ 方 向 性 ） 設(shè) 是 有 向 曲 面 ， － 表 示 與 取 相 反 側(cè) 的 有 向 曲 面 ， 則Email: 對坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì) : 3 . F G( + G ) + GF n d S F n d S n d S??? ? ? ?? ? ??? ? ? ??? ?? ??（ 線 性 性 ） 若 和 在 有 向 曲 面 上 的 第 二 類 曲 面 積 分 存 在 ， 、 是 任 意 常 數(shù) ， 則Email: n? 設(shè)積分曲面 Σ 是由方程 ),( yxzz ? 所給出的曲面上側(cè) , Σ 在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)閤yD , 函數(shù)),( yxzz ? 在xyD 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,被積函數(shù) ),( zyxR 在Σ 上連續(xù) . ?),( yxfz ?xyDxyzoxys)(??二、對坐標(biāo)的曲面積分的計算 逐個投影法 【 將曲面積分化為二重積分 】 Email: ????????nixyiiii SRd x d yzyxR10))(,(lim),( ????),(,)()(,0c o s,iiixyxyizS??????????????又取上側(cè)??????????nixyiiiiinixyiiiizRSR1010)))(,(,(lim))(,(lim?????????????? ?? xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR )],(,[),(即Email: ,)()(,0c os, xyxyiS ?? ??????? 取下側(cè)若???? ??? xyDd x d yyxzyxRd x d yzyxR )],(,[),(則有給出由如果 ,),( zyxx ?????? ??? yzDd yd zzyzyxPd yd zzyxP ],),([),(則有給出由如果 ,),( xzyy ?????? ??? zxDd z d xzxzyxQd z d xzyxQ ]),(,[),(注意 :對坐標(biāo)的曲面積分 ,必須注意曲面所取的側(cè) . Email: 逐個投影法思路清晰 ,計算量大，一般不多用 轉(zhuǎn)換投影法 【 將曲面積分同應(yīng)到別的坐標(biāo)面 】 S xoy設(shè) 在 平 面 上 的 投 影 滿 足 “ 投 影 點(diǎn) 不 重 合 ” ，xyD區(qū) 域 較 容 易 求 得 ， 則 ：S( , , ) ( , , ( , ) )xyDzP x y z dy dz P x y z x y dxdyx??????? ????? ??＝S( , , ) ( , , ( , ) )xyDzQ x y z dzdx Q x y z x y dxdyy?? ????? ????? ??＝S( , , ) ( , , )xyDR x y z d x d y R x y z d x d y??? ??＝Email: S [ 0, ] ,2 + , [ , ] , ,2nz???
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