華南理工大學數(shù)學分析-考研解答-文庫吧資料
2025-01-20 19:13本頁面
【正文】 9. ($1339。=\sev{\frac{g(x,y)g(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}\sin\frac{1}{x^2+y^2}}\\ amp。x^2+y^2\neq 0,\\ 0,amp。)$ 求極限 $$\bex \lim_{x\to 0+0}\frac{\sin\sqrt{x}}{\sqrt{1+x\tan x\sqrt{\cos x}}}. \eex$$解答: $$\bex \mbox{原極限}=\lim_{x\to 0+0}\sqrt{\frac{x}{1+x\tan x\sqrt{\cos x}}} =\sqrt{\lim_{x\to 0+0}\frac{1}{\tan x+x\sec^2x+\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}}}=+\infty. \eex$$ 7. ($1339。(x)1/2$. 由此, $\sed{x_n}$ 為壓縮數(shù)列, 是收斂的. 令 $x_n\to \alpha$, 則 $$\bex \alpha=\frac{1}{2}\sex{\alpha+\frac{\beta}{\alpha}} \ra \alpha=\sqrt{\beta}. \eex$$ 5. ($1239。$) 設 $\beta0$ 且 $$\bex x_1=\frac{1}{2}\sex{2+\frac{\beta}{2}},\quad x_{n+1}=\frac{1}{2}\sex{x_n+\frac{\beta}{x_n}},\ n=1,2,3,\cdots. \eex$$ 試證數(shù)列 $\sed{x_n}$ 收斂, 并求其極限.證明: (1) $$\bex x_n=\frac{1}{2}\sex{x_{n1}+\frac{\beta}{x_{n1}}} \geq \sqrt{\beta},\quad n=2,3,\cdots. \eex$$ (2) 設 $f(x)=(x+\beta/x)/2$, 則 $f39。39。(x+h)f39。39。$) 確定函數(shù)項級數(shù) $\dps{\sum_{n=1}^\infty \frac{x^2}{n}}$ 的收斂域, 并求其和函數(shù).解答: 由 $a_n=1/n$ 知收斂半徑為 $R=1$. 又 $\dps{\sum_{n=1}^\infty \frac{x^2}{n}}$ 當 $x=1$ 時收斂, 當 $x=1$ 時發(fā)散, 而收斂域為
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