型曲面積分ppt課件-文庫(kù)吧資料
2025-01-20 13:20本頁(yè)面
【正文】 x 偏積分得： )(31),( 223 yxyyxxyxu ????? ， ∵ 222 2)(2 yxyxyxyxyu???? ??????， 解法 2（ 偏積分法 ） 令 22 2),( yxyxyxP ??? ， 22 2),( yxyxyxQ ??? ， ∴ 2)( yy ??? ? ， 1331)( Cyy ???? ， ∴ 132233131),( Cyxyyxxyxu ????? ， 故方程的通解為 Cxyyxyx ???? 2233 3131 。 ∵xQyxyP???????22 ， ∴此方程為 全微分方程。 令 22 2),( yxyxyxP ??? ， 22 2),( yxyxyxQ ??? ， ∵xQyxyP??????? 22 ，∴此方程為 全微分方程。 六、 全微分方程 定義 2 若存在函數(shù) ),( yxu ，使 dyyxQdxyxPdu ),(),( ?? ， 則稱 0),(),( ?? dyyxQdxyxP 為全微分方程或恰當(dāng)方程。此時(shí)，全微分方程的通解為 Cyxu ?),( 或 CdyyxQdxyxPyyxx?? ?? ),(),(??? 。 若 ),(),( yxQyxP 在單連通域 D 內(nèi) 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 則 方程 0),(),( ?? dyyxQdxyxP 為全微分方程的充要條件是 在 D 內(nèi) 恒有 xQyP?????。 例 10 ．求解方程 0)2()2( 2222 ?????? dyyxyxdxyxyx 。 ? ?????? ),( )0,0( 2222 )2()2(),( yx dyyxyxdxyxyxyxu解法 1 ： （曲線積分法） 33)2(3223 0 22 0 2 yxyyxxdyyxyxdxx yx ???????? ??∴方程的通解為 Cxyyxyx ???? 2233 3131 （ C 為任意常數(shù)）。 ∴ 使 ), ,( yxu? dyyxyxdxyxyxdu )2()2( 2222 ?????? ， Pyxyxxu?????? 222 ， Qyxyxyu?????? 222 。 dyyxyxdxyxyx )2()2( 2222 ?????)2()2()3131( 2233 xy dydxydyxxy dxyxd ??????)()()3131( 2233 xydyxdyxd ?????)3131( 2233 xyyxyxd ????∴通解為 Cxyyxyx ???? 22333131 （ C 為任意常數(shù)）。 (2)單側(cè)曲面 . 典型雙側(cè)曲面 動(dòng)點(diǎn)在雙側(cè)曲面上連續(xù)移動(dòng) (不跨越曲面的邊界 )并返回到起始點(diǎn)時(shí) ,其法向量的指向不變 . 莫比烏斯帶 典型單側(cè)曲面 : 莫比烏斯帶 對(duì)于雙側(cè)曲面，可通過(guò)曲面上法向量的指向來(lái) 確定曲面的側(cè)。 n??上側(cè) xyzo對(duì)于 ? ： 軸的正向成銳角與若法向量 ),( znyxfz ?? ， 則取定了曲面的上側(cè)。 n??下側(cè) xyzo 曲面 ? ： ),( yxzz ? 有上側(cè)與下側(cè)之分； 曲面 ? ： ),( zyxx ? 有前側(cè)與后側(cè)之分； 曲面 ? ： ),( zxyy ? 有左側(cè)與右側(cè)之分。 規(guī)定： 定向曲面上任一點(diǎn)處的 法向量 總是 指向 曲面取定的一側(cè) . 注： 在定向曲面的范圍里， 是不同的曲面與 ??????為則其相反側(cè)的曲面就記向曲面，表示選定了側(cè)的一個(gè)定朝下取下側(cè)，則法向量若 n? )2( ?),( yxzz ?? ：若)1,( yx zzn ?????? 朝上取上側(cè)，則法向量若 n? )1( ?)1,( ???? yx zzn?),( zyxx ?? ：若),1( zy xxn ?????? 朝前取前側(cè)，則法向量若 n? )1( ?朝后取后側(cè)，則法向量若 n? )2( ? ),1( zy xxn ?????),( xzyy ?? ：若),1,( zx yyn ????? 朝左取左側(cè)，則法向量若 n? )1( ?朝右取右側(cè)，則法向量若 n? )2( ? ),1,( zx yyn ??????其方向 用法向量指向 表示 : 方向余弦 ?cos ?cos ?cos 0 為前側(cè) 0 為后側(cè) 封閉曲面 0 為右側(cè) 0 為左側(cè) 0 為上側(cè) 0 為下側(cè) 外側(cè) 內(nèi)側(cè) ? 設(shè) ? 為有向曲面 , ,)( yxS?S??? yxS )(側(cè)的規(guī)定 ? 指定了側(cè)的曲面叫 有向曲面 , 其面元 在 xOy 面上的投影記為 的面積為 則規(guī)定 ,)( yx??,)( yx???,0時(shí)當(dāng) 0c os ??時(shí)當(dāng) 0c os ??時(shí)當(dāng) 0c os ??類似可規(guī)定 zxyz SS )(,)( ??流向曲面一側(cè)的 流量 . 流量 實(shí)例 (斜柱體體積 ) (1) 流速場(chǎng)為 常向量 ,v? 有向 平面 區(qū)域 ?, 求單位時(shí)間流過(guò) ?的流體的質(zhì)量 ? (假定密度為 1). 二、 概念引入 n v?SS?分析 : 若 ? 是 面積為 S 的平面 , 則 流量 單位法向量 : 流速為常向量 : n v(2) 設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體 kzyxRjzyxQizyxPzyxv ???? ),()
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