【正文】 l2，所以PE∥l2，所以∠BPE＝∠PBD，所以∠APB＝∠BPE∠APE，即∠APB＝∠PBD－∠PAC. 【思考與分析】若P點在C、D之間運動時，我們只要過點P作出l1的平行線即可知道∠APB＝∠PAC+∠PBD；若點P在C、D兩點的外側(cè)運動時（P點與點C、D不重合），則可以分為如圖2和如圖3兩種情形，同樣分別過點P作出l1或l2的平行線，即有∠APB＝∠PBD－∠PAC或∠APB＝∠PAC－∠PBD. 【小結(jié)】 解本題的關(guān)鍵是將各個方塊通過平移嵌成一個長方形，需根據(jù)方塊和現(xiàn)有圖形選擇合理的平移方式.【例7】如圖1，已知直線l1∥l2，直線l3和直線ll2交于點C和D，在C、D之間有一點P，如果P點在C、D之間運動時，問∠PAC，∠APB，∠、D兩點的外側(cè)運動時（P點與點C、D不重合），試探索∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系又是如何？ 解： （1） 甲方塊可左移3個單位，下移7個單位放到屏幕左側(cè)；乙方塊需向右平移3個單位，下移8個單位，放到屏幕右側(cè).（可用其他平移方式） （2） 若你把甲方塊放到左側(cè)，發(fā)現(xiàn)屏幕已暗示出丙方塊為形狀，在這種情況下，丙方塊只需如何移動，便可得多少分？（注：屏幕上一共有10行10列） （1） 若按規(guī)定，想得分，甲方塊需要怎樣平移，才可能直接得分或為以后打下得分基礎(chǔ)？乙方塊呢？ 【小結(jié)】 平移變換不改變圖形的形狀、必須指出平移的方向和移動的距離．【例6】電腦游戲上有一種俄羅斯方塊的游戲，游戲規(guī)則：在所給各種各樣的方塊中，通過平移、旋轉(zhuǎn)的方式，羅列方塊使之排滿每一橫行，每排滿一行，便消去一行，得100分，依次類推（本題特殊規(guī)定，只準平移），小方塊在屏幕頂端居中出現(xiàn)（奇數(shù)列時居中偏左）．現(xiàn)在電腦屏幕上顯示（如圖所示）. 作法5： 連接EA，F(xiàn)D，過B點作EA的平行線，=EA，CH=FD（注意截取方向）.如圖（3）.連接EG，GH，HF，就得到平移后的正方形. 作法3： 過F作EF的垂線，截取FH＝EF，過H點作EF的平行線，截取GH＝EF（注意截取方向），（1）. 作法1： 過E作EF的垂線，截取EG＝EF，過G點作EF的平行線，截取GH＝EF（注意截取方向），（1）. 【思考與解】 我們可以把公路想象成直線，岔口想象成交點，由警察的人數(shù)及題意可知，平面上的10條直線，若兩兩相交，最多出現(xiàn)45個交點， 現(xiàn)在只要求出現(xiàn)31個交點，就要減去14個交點，這種情況下，通常采取兩種辦法：（1）多條直線共點；（2），方法（1）不能實現(xiàn)， 條直線互相平行，則減少10個交點，若6條直線平行，則可減少15個交點， 所以這個方向上最多可取5條平行線，這時還有4個點要去掉，換一個方向取3條平行線，即可再減少3個交點，這時還剩下2條直線與1個要減去的點，只須讓其在第三個方向上互相平行即可，如圖所示： 【思考與解】我們可將原圖分解為八個“三線八角”即“直線AB和CD 被直線EF所截”、“直線AB和CD 被直線GH所截”、“直線EF和GH被直線AB所截”、“直線EF和GH被直線CD所截”、“直線AB和EF被直線GH所截”、“直線EF和CD 被直線GH所截”、“直線AB和GH被直線EF所截”、“直線GH和CD 被直線EF所截”.每一個“三線八角”都有兩對同旁內(nèi)角，故原圖中共有16對，因此選擇D. B. 8對 A. 4對 反思：.【例3】 平行直線AB和CD與相交直線EF、GH相交，圖中的同旁內(nèi)角共有（ 解：（1）在平面上任取一點A， 上取兩點B、C，在m1上取兩點D、∥m1，過C作m3∥m1，過D作n2∥n1，過G作n3∥n1，這時mmnn3交得E、F、H、I四點，所以，圖中每條直線都恰與另3條直線相交. 【例2】 （1）請你在平面上畫出6條直線（沒有三條共點），使得它們中的每條直線都恰與另3條直線相交，并簡單說明畫法. （如果按第一種情況進行分類研究，又該如何呢？請大家思考一下.） （4）如圖4，其中兩條直線平行，都與第三條直線相交，此時交點個數(shù)為2. （2）如圖2，三條直線相交于同一點，此時交點個數(shù)為1； 【思考與分析】 本題有多種分類，如以兩條直線的位置關(guān)系分類，再考慮第三條直線的位置；. 【小結(jié)】這道題的思路與我們做的上題是相同的，也可以連結(jié)BD來解.第五節(jié)、競賽數(shù)學在競賽試題中，平行和垂直是做為基礎(chǔ)知識應(yīng)用在一些綜合性的題目之中，單獨出題的情況很少，但當平行和垂直的性質(zhì)與實際情況結(jié)合時，往往也會被做為新題型來考查.. 又因為AB∥ED， 所以∠α＝∠A+∠E＝180176。 理由是：過C作CF∥AB，即有β＝2α. 【思考與分析】我們由已知條件AB∥ED可知α＝∠A+∠E＝180176。 【例10】如圖3，已知AB∥ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠，并說明你的理由. 反思：，.＝360176。 所以∠AEO+∠CFO+∠EOF=∠AEO+∠EOM＋∠MOF+∠CFO＝180176。∠MOF+∠CFO=180176。 所以CD∥MN. 解：過點O作MN∥AB. 【思考與分析】由于∠BEO、∠EOF、∠DFO三個角的位置較散，設(shè)法通過輔助線使之相對集中，我們可以考慮AB∥CD，可以過點O作MN∥AB，∠AEO+∠CFO+∠EOF=360176。那么只要求出∠AGB的度數(shù)，就可求∠A的度數(shù)..＝22176。 所以∠BAC＝∠DAC－∠DAB＝50176。 所以∠DAB＝∠ABE＝28176。 又因為a∥b， 解：過點A作AD∥b，則∠DAC＝∠ACF＝50176。求∠A的大小. 【例8】如圖1所示，直線a∥b，∠ACF＝50176。.兩個式子相加可得∠1＋∠2＝180176。90176。 反思：我們難以理解的是為什么∠1＋∠2＝180176。－∠4＝55176。 所以l1∥l2. 所以∠1＋∠2＝180176。 .則∠3＝ .大家可以試一試. 反思：∠D＝∠1＝∠B＝50176?！螪=50176。 又因為∠B＝∠2，所以AD∥BC，∠BCD=130176。 解：因為∠B＝∠1，所以AB∥DC， 【思考與分析】我們通過觀察圖形，由∠B＝∠1=∠2＝50176。那么∠D＝105176?！螦∠AFE=180176。.75176。 所以∠AFE=180176。 所以∠BFE=∠C=75176。.90176。 所以∠P=180176。 又因為EP、FP分別平分∠BEF和∠EFD. 所以根據(jù)平行線的性質(zhì)得：∠BEF+∠EFD=180176。. 又因為BD∥AC.=40176?！螦=90176。.90176。.所以∠CBD=180176。 .∠A=25176。 （2）已知：如圖2，直線AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點E、F，∠BEF的平分線與∠DFE 的平分線相交于點P．你能說明∠P=90176。. ∠A=50176。 【思考與解】我們可將原圖分解為八個“三線八角”即“直線AB和CD 被直線EF所截”、“直線AB和CD 被直線GH所截”、“直線EF和GH被直線AB所截”、“直線EF和GH被直線CD所截”、“直線AB和EF被直線GH所截”、“直線EF和CD 被直線GH所截”、“直線AB和GH被直線EF所截”、“直線GH和CD 被直線EF所截”.每一個“三線八角”都有兩對同旁內(nèi)角，故原圖中共有16對，因此選擇D. B. 8對 A. 4對 【小結(jié)】這類題目的特點是有條件