【正文】 的速度向它注入水，試確定水面高為 )(21 mR 時(shí)，水面上升的瞬時(shí)速度 . 四、 (每題 7 分，共 3題，共 21 分 )1．設(shè)函數(shù) )(xyy? 由方程 yxxy ??)sin( 所確定，求 xydd . 2．設(shè)??? ?? ?? )cos1( )sin( tay ttax，求22dd xy. 3．將定長(zhǎng)為 L )(cm 的線段截為兩段，一段圍成邊長(zhǎng)為 x )(cm 的正三角形，另一段圍成正方形，問(wèn) x 為何值時(shí)，能使兩圖形的面積之和為最小 . 五、 (每題 7 分，共 14分 )1．證明方程 xex 3? 至少有一個(gè)小于 1 的正根 . 2．證明不等式 )10 ( )1(2ln)1( ????? xxxx 其中. 六、證明題 (5分 ) 設(shè) )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)， )(xf 在 ),( ba 內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，且 Mxf ?? )( ，求證：)()()( abMbfaf ??? . 09 級(jí) B 上期中 一、填空 題（每題 4分，共 5題，共 20分） 1． ????xxxx 1sin) 1c os1 ( lim . 2．函數(shù)1313)(11???xxxf 的間斷點(diǎn) 0?x ，其類(lèi)型為 . 3．曲線 1sin??x xy 的水平漸近線為 ，鉛直 漸近線為 . 4．設(shè)函數(shù) )1ln()( xxf ?? ，若 )]([ xffy ? ，則 ??1d xy . 5．函數(shù) )1ln()( xxf ?? 帶有皮亞諾余項(xiàng)的三階麥克勞林公式為 . 二、 單項(xiàng)選 擇題 （每題 4 分， 共 5題， 共 20分） 1．設(shè)?????????? 1 , 2 1,11)(2xxxxxf ，則在 1?x 處函數(shù) )(xf （ ） （ A）不連續(xù)；（ B）連續(xù)但不可導(dǎo)；（ C）可導(dǎo)，但導(dǎo)函數(shù)不連續(xù)；（ D）導(dǎo)函數(shù)連續(xù) . 2．設(shè)???????? 0 , 0,)( c o s)(1xa xxxf x， 在 0x? 處連續(xù)，則 a 等于 ( ) （ A） 0 ； （ B） 1； （ C） e ； （ D） 1? . 3．函數(shù)23)1( xxy??的極值點(diǎn)為（ ） （ A） 0?x ； （ B） 1?x ； （ C） 3?x ； （ D） 3 ,1 ,0?x . 4．設(shè)????????? 0 , 0 0,1)(2xxxexf x ，則 )0(f? 等于 （ ） （ A） 0 ； （ B） 1； （ C）不存在 ； （ D） 1? . 5．若 )(xf 在 (, )ab 內(nèi)可導(dǎo)， 21 xx ? 是 (, )ab 內(nèi)任意兩點(diǎn)，則至少存在一點(diǎn) ? ， 使 ( ) （ A） ))(()()( abfafbf ???? ?， ),( ba?? ； （ B） ))(()()( 11 xbfxfbf ???? ?， ),( 1 bx?? ； （ C） ))(()()( 1212 xxfxfxf ???? ?， ),( 21 xx?? ； （ D） ))(()()( 22 axfafxf ???? ?， ),( 2xa?? . 三、（每題 8分，共 3題，共 24 分） 1．求 ])1[(lim ?? nnn ????， 10 ??? . 2．求 )a rc ta n2(lim xxx ???? ?. 3． 設(shè)??????? ??)1ln(1122ty tx ，求 xydd ，22ddxy. 四、 (每題 8 分，共 3題，共 24 分 ) 1．設(shè) )0( )32( s i nl i m)( 2 ???? ?? xxt xtxxf tt， 求 )(xf? . 2．有一底半徑與高相等的直圓錐體受熱膨脹 .其高和底半徑的膨脹系數(shù)相等，當(dāng)?shù)装霃綖?cm5 時(shí)，問(wèn)：（ 1）體積關(guān)于底半徑的變化率如何？（ 2）若此時(shí)體積的膨脹速率為 )( .50 3 scm ，則底半徑的膨脹速率如何？ 3．問(wèn) A 為何值時(shí)， 3c o sc o s2)( xAxxf ?? 在 6 ??x 處具有極值？是極大值還是極小值？并 求此極值 . 五、 (每題 6 分，共 2題，共 12 分 ) 1．設(shè) e???? ，證明不等式 ?? ?? ? . 2．證明：若函數(shù) )(xf 在 ],[ ba 上滿(mǎn)足羅爾定理，且不恒等于常數(shù)，則至少存在一點(diǎn) ),( ba?? ，使 0)( ???f . 10 級(jí) B 上期中 一、填空 題（每題 4分，共 5題，共 20分） 1．函數(shù)3 1a rc s in11)( ????? xxxxf的定義域用區(qū)間的并可表示為 . 2． ??????? ???????? nn nnnn 222 2211l i m ?? . 3 ． 若 )(xf 可微， 3)2( ?f ，且 22 )2()2(l i m0 ???? x fxfx，則曲線 )(xfy? 在點(diǎn) )3,2( 處的切線方程為 . 4． 設(shè) xexxf 1sin2 2)( ? ，則 ???????? ?4f . 5． d ? ?dxxx 2cos3 ?? 二、單項(xiàng)選擇題 （每題 4分，共 5題，共 20分） 1．設(shè) 2cos1)( xxf ?? , xxg 2cos1)( ?? , 3 87)( xxxh ?? ， 則 0?x 時(shí)， （ ） （ A）無(wú)窮小 )(xf 的階最低；（ B）無(wú)窮小 )(xg 的階最低； （ C）無(wú)窮小 )(xh 的階最低；（ D）無(wú)窮小 )()()( xhxgxf ?? 的階最高 . 2．下列敘述中正確的是 ( ) （ A）若數(shù)列 }{nx 有界，則 }{nx 收斂 ； （ B）若數(shù)列 }{nx 發(fā)散，則 }{nx 無(wú)界； （ C）若函數(shù) )(xf 連續(xù)，則 )(xf 有界 ； （ D）敘述（ A）、（ B）、（ C）都不對(duì) . 3．曲線 112 1 ???? xexxy 的漸近線一共有 （ ） （ A） 一條； （ B） 兩條 ； （ C） 三條； （ D） 四條 . 4．設(shè) ]1,0[,0)( ???? xxf ，則 （ ） （ A） )0()1()0()1( ffff ????? ； （ B） )0()0()1()1( fff ????? ； （ C） )0()1()0()1( ffff ????? ； （ D） )1()0()1()0( ffff ????? . 5．設(shè) xxAx 1sinlim0?? ， xxBx 1sinlim??? ，則 ( ) （ A） 0,1 ?? BA ； （ B） 1,0 ?? BA ； （ C） 0??BA ； （ D） 1??BA . 三、（每題 8分， 共 3題，共 24 分） 1．計(jì)算極限： ○ 17223)31( )53()12(lim xxxx ? ???? ， ○ 2 )1( 10 cos1lim ?? ?????? xxx x . 2．計(jì)算導(dǎo)數(shù) dxdy ： ○ 1 xyexy ?? ， ○ 2??????????)1ln (a r c ta n 2s intttytx t . 3． 設(shè) ? ? ? ?1ln1)( 2 ???? xxxf ，求 )()8( xf 、 )1()8(f . 四、 (每題 8 分，共 3題，共 24 分 ) 1．設(shè) ? ???? ?? ???? 01ln 0)( 2 xx xcbxaxxf ，求 a 、 b 、 c ，使 )0(f? 存在 . 2．設(shè) 51?x ， ??,3,2,151 ???? nxx nn ，證明數(shù)列 }{nx 收斂，并求極限nn x??lim.. 3．正午時(shí)甲輪位于乙輪正東 75 海里處以時(shí)速 12 海里朝西航行，而乙輪以時(shí)速 6 海里向正北航行，問(wèn)下午幾時(shí)兩輪距離最近？ 五、 (每題 6 分，共 2題，共 12 分 ) 1．若存在正數(shù) 1,0 ?? ?L ，使得 ),()()( 000 ?? xNxxxLxfxf ???? ，證明 )( 0xf? 存在 . 2．設(shè) )(xg 二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)， 1)0( ?g ，?????????00c o s)()(xaxx xxgxf ， ○ 1 a 取何值時(shí)， )(xf 處處連續(xù)； ○ 2 當(dāng) )(xf 連續(xù)時(shí)，證明 )(xf? 也連續(xù) . 11 級(jí) B 上期中 一、填空題（每題 4分，共 4題，共 16分） 1． ?? ???? xxxxx 233151lim 20 。 2．若 )(xf 可微， 2)3( ?f ，且 22 )3()3(l i m0 ???? x fxfx，則曲線 )(xfy? 在點(diǎn) )2,3( 處的法線方程為 。 4．設(shè) 1x0 ?? ，則 ?? )2lna r c s in( xxd xd 。 2．設(shè) xxx sintan2 ???? ，則當(dāng) 0?x 時(shí)， （ A） ? 是 x 的等價(jià)無(wú)窮??；（ B） ? 是 x 的同階無(wú)窮小； （ C） ? 是 2x 的同階無(wú)窮?。唬?D） ? 是 3x 的同階無(wú)窮小。 4．設(shè)????????????1ln2111c o s)1(2)(2 xxxxxxxf ，則 1?x 是 )(xf 的 （ A）可去間斷點(diǎn)； （ B）第一類(lèi)間斷點(diǎn)； （ C）第二 類(lèi)間斷點(diǎn)； （ D）連續(xù)點(diǎn)。 2. 計(jì)算極限： xx xx ?????? ???? 23lim 。 4．設(shè) )]2)(1ln [ ()( ??? xxxf ，求 )()7( xf 。 2．設(shè)參數(shù)方程 ? ???? ???21lnarctanty tx ，求 dxdy ， 22dxyd 。 五、 (第一題 8 分，第二題 5分，共 13分 ) 1．設(shè) 11?x ， ?3,2,15211 ????????? ??? nxxx nnn，證明：數(shù)列 }{nx 收斂。 07級(jí) B 上期末 一、填空題（ 每題 4分，共 20 分 ） 1．函數(shù) 13 23 ??? xxy 在 ]3 ,1[ 上的最大值是 . 2．當(dāng) 0?x 時(shí)， 函數(shù) )(2)0()( xoxfxf ??? ，則 ?? )0(f . 3． Cxdxxfx ??? 2)(a rc s in)( ，則 ?)(xf . 4． ????? ? ????? drr )2c os21 s in( 2 2 2 . 5．設(shè) )(1xy ， )(2xy 是一階線性非齊次方程 )()( xqyxpy ??? 的兩個(gè)不同的特解，則對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為?y . 二、單項(xiàng)選擇題 （ 分分 1644 ?? ） 1． 設(shè)函數(shù)??? ????? ????? 10,11 01),1l n()( xxx xxxf， 則 )(xf 在 0?x 處 （ ） . （ A）無(wú)極限；（ B）有極限但不連續(xù) ；（ C）連續(xù)但不可導(dǎo)；（ D）可導(dǎo) . 2． 曲線 xxy 1?? （ ） （ A）有水平和鉛直漸近線，而無(wú)斜漸近線； （ B）有水平和斜漸近線，而無(wú)鉛直漸近線； （ C）有鉛直和斜漸近線，而無(wú)水平 漸近線； （ D）有鉛直漸近線，而無(wú)水平和斜漸近線 . 3． 設(shè) xxf 22 sin)(cos ?? ，且 0)0( ?f ，則 ?)(xf （ ） （ A） xx 2cos21cos ? ；（ B） xx 42 cos21cos ? ；（ C） 221xx? ；（ D） 221xx? . 4．微分方程 1????? xeyy 的待定特解為 （ ） （ A） baey x ??? ； （ B） baxey x ??? ； （ C） bxaey x ??? ； （ D） bxaxey x ??? . 三、 （ 分分 2438 ?? ） 1．求出 a 的取值范圍，使 曲線 123 234 ???? xaxxy 在整個(gè)定義區(qū)間向下凸 . 2．求 ????? xx x dttttdtt0030 )sin()(a rc sinlim 2 . 3．計(jì)算 ??4 1 )1( xx dx