【正文】 1ln 0 ?x ，即 e0 ?x ， 此時(shí)， e21?a ， 210?y，公切線斜率為e1?k， 公切線方程為 )e(e121 ??? xy，化簡(jiǎn)得 021e1 ??? xy. 習(xí)題 2— 2（ A） 1． 下列論述是否正確，并 對(duì) 你的 回答 說明理由： （ 1） 在自變量的增量比較小時(shí)，函數(shù)的微分可以近似刻畫函數(shù)的增量，但是二者 是 不會(huì)相等的； （ 2）函數(shù) )(xfy? 在一點(diǎn) x 處 的微分 xxfxf ??? )()(d 僅與函數(shù)在這點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)有關(guān)； （ 3）函數(shù)在一點(diǎn)可微與在這點(diǎn)可導(dǎo)是等價(jià)的，在一點(diǎn)可微的函數(shù)在這點(diǎn)必然連續(xù)，但反過來不成立，即在一點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)在這點(diǎn)未必可微 ． 答： （ 1）前者正確，根據(jù)微分的定義 yxoyy d)(d ????? ； 后者不正確 ，如對(duì)線性函數(shù) baxy ?? ，恒有 )(d xayy ???? ． （ 2）不正確 ． 因?yàn)?xxfxfxx ???? )()(d 00，可見0)(d xxf ?不僅與 )( 0xf? 有關(guān)，還與自變量 x 在該點(diǎn)的增量 x? 有關(guān) ． （ 3）正確 ． 這就是本章 定理 與 定理 所述 ． 2．求下列函數(shù)在 x 點(diǎn)處的微分 yd ： （ 1） xy ln? ； （ 2） 3 xy? （ 0?x ）； （ 3）xy 1?（ 0?x ）； （ 4） 22 xxy ?? ． 解： （ 1）因?yàn)?xy 1?? ，所以 xxy dd ? ． （ 2）因?yàn)? 22 233 20330 31)()(1l i ml i m)(xxhxxhxhxhxxyhh ?????????????， 所以，3 23dd xxy ?? ． （ 3）因?yàn)閤xhxxxxhxh hxxh xhxxy hhh 2 11l i m1l i m/1/1l i m)( 0200 ???? ??? ??????? ???，所以，xxxy 2dd ??． （ 4）因?yàn)?)1(2)22(l i m)2(])()(2[l i m)(0220 xhxhxxhxhxxyhh ??????????????， 所以 xxy d)1(2d ?? ． 3． 求 下列函數(shù) 在 0xx? 點(diǎn)處的微分0d xxy ?： （ 1） xy cos? ， 20 ??x； （ 2） xxy 1?? ， 10?x ． 解： （ 1）因?yàn)?xy sin??? ，所以 xxxy xx dds i nd 2/2/ ????? ?? ?? ． （ 2）因?yàn)?11 xy ???，所以 0d0d]11[d121 ?????? ?? xxxy xx． 4．設(shè)函數(shù) yx? ，求當(dāng) 10?x ， ??x 時(shí)函數(shù)的微分 yd ． 解： 因?yàn)閤xhxh xhxy hh 2 11l i ml i m 00 ???????? ??， 所以 2d ??? ?????? xxxx xxy． 5． 用函數(shù)的局部線性化計(jì)算下列數(shù)值 的近似值 ： （ 1） 0330sin ?? ； （ 2） ； （ 3） ． 解： （ 1） 取 6/303 6 0/610330s i n)( 0 ?? ?????? ?? xxxxf ， ， xxf cos)( ?? ， 由 )())(()( 000 xfxxxfxf ???? ，得 3213606c os0330s i n ????????? ???? ． （ 2）取 )( 0 ??? xxxxf ， ， xf 2/1)( ?? ， 由 )())(()( 000 xfxxxfxf ???? ，得 ???? ． （ 3）取 )1ln()( xxf ?? ，當(dāng) 1??x 時(shí)，先證明 xx ?? )1ln( ， 事實(shí)上，取 00?x ，則 0)0()( 0 ?? fxf 10 0)1l n(l i m)0()(00 ?? ?????? ? x xfxf x， 由 )())(()( 000 xfxxxfxf ???? ，得 xxx ?????? 0)0(1)1ln ( ， 利用 xx ?? )1ln( ，得 ) ( ??? ． 6． 討論下列函數(shù)在 0?x 點(diǎn)的可微性： （ 1） 3 2)( xxf ? ； （ 2） xxxf ?)( ； （ 3）??? ??? .0sin 0)( 3 xx xxxf ， ， 解： （ 1） 因?yàn)????? ? ?? 303 201lim0 0lim xxxxx，則 3 2)( xxf ? 在 0?x 點(diǎn)不可導(dǎo)， 所以 3 2)( xxf ? 在 0?x 不可微 ． （ 2）因?yàn)?0lim00lim00 ?????? xxxxxx，則 xxxf ?)( 在 0?x 點(diǎn)可導(dǎo)， 所以 xxxf ?)( 在 0?x 點(diǎn) 可微 ． （ 3）因?yàn)?10 0s i nl i m)0(000l i m)0(030 ???????????? ???? xxfxxfxx ， )0()0( ?? ??? ff ， 得??? ??? 0sin 0)( 3 xx xxxf ， ， 在 0?x 點(diǎn)不可導(dǎo)，所以在 0?x 點(diǎn)也 不可微 ． 習(xí)題 2— 2（ B） 1．已知單擺的振動(dòng)周期glT ?2?，其中 980?g cm/s2 是重力加速度， l 是擺長(zhǎng)（單位：cm） ． 設(shè)原擺長(zhǎng)為 20 cm，為使周期 T 增加 s，問擺長(zhǎng)大約需要增加多少？ 解： 02 24 20201l i m220 /202/2l i mdd 202020 ??????? ??? glgl ggllT lll ???? 由 lTT ???? )20( ，得 022 )20( ?????? T Tl， 即為使周期 T 增加 s，擺長(zhǎng)大約需要加長(zhǎng) cm． 2．用卡尺測(cè)量圓鋼的直徑 D ，如果測(cè)得 ?D mm，且產(chǎn)生的誤差可能為 mm，求根據(jù)這樣的結(jié)果所計(jì)算出來的圓鋼截面積可能產(chǎn)生的誤差的大小 ． 解： 設(shè)圓鋼的截面積為 4/)( 2DDAA ??? ， 2)2(l i m44/]4/)([l i m)(0220DhDh DhDDAhh???? ?????????； 2/)( DDDDAA ??????? ?， 當(dāng) ??? DD ， 時(shí)， ????? A mm2， 所以絕對(duì)誤差大約為 mm2； ?????????? D DD DDAA ?? ，所以相對(duì)誤 差大約為 %． 3． 若函數(shù) )(xf 在 0?x 點(diǎn)連續(xù)，且 1)(lim0 ?? xxfx，求 0d ?xy ． 解： 由 1)(lim0 ?? xxfx，及分母極限 0lim0 ?? xx，得分子極限 0)(lim0 ?? xfx； 又因?yàn)?函數(shù) )(xf 在 0?x 點(diǎn)連續(xù)， 所以 ?)0(f 0)(lim0 ?? xfx， 1)(l i m0 )0()(l i m)0( 00 ?????? ?? xxfx fxff xx ， xxfy x dd)0(d 0 ???? ． 4． 設(shè)函數(shù) ??fx在點(diǎn) 0x 可微，且 2)( 0 ?? xf ，求極限yyx dlim0???． 解： 由已知，有 xy ??2d ，所以 101]2 )(1[l i md )(dl i mdl i m 000 ??????????? ?????? xxoy xoyyy xxx ． 習(xí)題 2— 3（ A） 1． 下列敘述是否正確？并根據(jù)你的回答說出理由： （ 1）求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí) 要根據(jù)復(fù)合函數(shù)的關(guān)系 ，由“外”到“里”分別對(duì)各層函數(shù)求導(dǎo)，再把它們相乘； （ 2）求任意函數(shù)的微分首先要求出該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后將該導(dǎo)數(shù)乘以自變量的微分． 答： （ 1）正確 ． 這就是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)定理推廣到多重復(fù)合的情形，通常稱為復(fù)合函數(shù)的“鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則”，又形象地俗稱為“扒皮法” ，要注意不能漏項(xiàng) ． （ 2） 不一定 ． 還可以用微分法則及一階微分形式不變性求函數(shù)的微分 ． 2． 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （ 1） 32 32 ???xxy； （ 2） )1(2xxxy ??； （ 3） 32(1 )xy x??； （ 4） lny x x? ； （ 5） x xxy x sintan2 ??? ； （ 6） cos1 cosxy x? ? ． 解： （ 1） )3()1(2)( 32 ???????xxy xxxxxx 12022 ?????． （ 2） 25212323 2323)()( ?? ??????? xxxxy )11(233xx ??． （ 3） 132)33(2312 ?????????? ?? xxxxxy． （ 4） 1ln/ln)( l nln ????????? xxxxxxxxy ． （ 5）2 s i n)(s i n)(t a n)2( x xxxxxy x ???????? 22 s i nc oss e c2ln2 x xxxx ????． （ 6）22 )c os1( s i n)c os1( )c os1(c os)c os1()(c os xxx xxxxy ???? ???????． 3． 求下列函數(shù)在指定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)或微分： （ 1） xxxf co ssin)( ?? ，求 ()3f ?? 與 ()2f ?? ； （ 2） 35 2 3xxy ??? ，求 0d ?xy 與 2d ?xy ． 解： （ 1） xxxf sinco s)( ??? ， ()3f ?? 2 313s in3c os ???? ?? ， ()2f ?? 12sin2cos ??? ?? ． （ 2） 22223)5( 2)5( )1(2)3()5 2( xxxxxxy ????? ?????????， 因?yàn)?938492)2(252)0( ?????? yy ， ，所以 ??0d xy xd252 ， ??2d xy xd938 ． 4． 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （ 1） 7(2 )yx?? ； （ 2） cos(3 2)yx??； （ 3） xy arctane? ； （ 4） xy ?? 1tan ； （ 5） xy 2earcsin? ； （ 6） 1arccosy x? ； （ 7） 21 sinyx?? ； （ 8） 21sin xy ?? ； （ 9） )2ln1(cos 2 xy ?? ； （ 10） ln( 2 )y x x?? ． 解： （ 1） 66 )2(7)2()2(7 xxxy ???????? ． （ 2） )23s i n (3)23)(23s i n ( ????????? xxxy ． （ 3）2a r c t a na r c t a n 1e)(a rc t a ne xxy xx ????? ． （ 4）x xxx xxxy ? ?????? ??????? 12 1s e c)1(12 1s e c)1(1s e c222 ． （ 5）xxxxxx xy4242222e1 e2e1 )2(e)e(1 )e( ????????? ． （ 6）111)/1(1)/1(2222 ??????????xxxxxxxy ． （ 7）xxxxxxxxy 2222s i n1 c oss i ns i n12 )(s i ns i n2s i n12 )(s i n ??? ??? ???． （ 8） 2222222 1c os11c os12 )()1(1c os xxxxxxxxy ????? ???????． （ 9） )2ln1)(2ln1s i n ()2ln1c o s (2])2ln1) [ c o s (2ln1c o s (2 ??????????? xxxxxy x xxxx )2ln22s i n(]2 )2(0)[2ln22s i n( ???????? ． （ 10）xxx xxxxxx xxy ??????? ???? 2 1)11(212 )2(． 5．