【正文】 數(shù)的圖象及其性質(zhì)是解有關(guān)反比例函數(shù)概念題的重要依據(jù)，其主要內(nèi)容為：（ 1）反比例函數(shù)ky x? （ k 為常數(shù)， k≠ 0）的圖象是雙曲線；（ 2）當(dāng) k＞ 0 時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi) y 值隨 x 值的增大而減小；（ 3）當(dāng) k＜ 0 時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y 值隨 x 值的增大而增大 ． 問(wèn)題 2 指出當(dāng) k＞ 0 時(shí)，下 列圖象中哪些可能是 y kx? 與 ky x? 在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是下面四個(gè)中的（ ） 名師指導(dǎo) 七年級(jí)數(shù)學(xué)（八） 第 24 頁(yè) 共 98 頁(yè) 對(duì)于正比例函數(shù) y kx? 來(lái)說(shuō)，當(dāng) k＞ 0 時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)一、三象限，當(dāng) k＜ 0 時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)二、四象限；對(duì)于反比例函數(shù) ky x? 來(lái)說(shuō)，當(dāng) k＞ 0 時(shí)，圖象位于第一、三象限，當(dāng) k＜ 0 時(shí)，圖象位于第二、四象限，所以答案應(yīng)選 B． 問(wèn)題 3 如圖 ，經(jīng)過(guò)反比例函數(shù) xy 1? （ x＞ 0）的圖象上任意兩點(diǎn) A、 B分別作 x 軸的垂線，垂足分別為 C、 D，連接 OA、 OB，設(shè)△ AOC 和△ BOD的面積分別是 S S2，比較它們的大小，可得 （ ） A． S1＞ S2 B． S1＝ S2 C． S1＜ S2 D． 大小關(guān)系不能確定 名師指導(dǎo) 從反比例函數(shù) xky? （ k≠ 0）的圖象上任一點(diǎn) P（ x， y）向 x 軸、 y 軸作垂線段，與 x 軸、 y 軸所圍成的矩形面 積 kxyS ?? ，由此可得 S1＝ S2 ＝ 21 ，所以答案選 B． 歸納提煉 由反比例函數(shù)解析式 xky? （ k ≠ 0） ，經(jīng)過(guò)變形可以得到 k xy? ，因?yàn)?k 是一個(gè)常數(shù)，所以在同一個(gè)反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的乘積是一個(gè)定值．利用這一結(jié)論，可以解決許多與反比例函數(shù)圖象有關(guān)的三角形、矩形等幾何圖形面積問(wèn)題 ． 【 自主檢測(cè) 】 1． 函數(shù) 5y x?? 的圖象是 ，圖象位于 象限，在每一象限內(nèi)，函數(shù) y 隨著 x 的增大而 ． 2． 反比例函數(shù) xy 2?? ，當(dāng) x＝－ 2 時(shí)， y＝ ；當(dāng) x＜－ 2 時(shí)；y 的取值范圍是 ；當(dāng) x＞－ 2 時(shí)； y 的取值范圍是 ． 3． 如圖 是反比例函數(shù) xky? 的圖象，則 k 與 0 的大小關(guān)系是 k 0． 4． 已知正比例函數(shù) kxy? 與反比例函數(shù) 3y x? 的圖象都過(guò) A（ m ， 1）， 則 m ＝ ，正比例函數(shù)的解析式是 ． 5． 若函數(shù) ky x? 的圖象經(jīng)過(guò) （ 3，－ 4），則 k＝ ，此圖象位于 象限，在每一個(gè)象限內(nèi) y隨 x 的減小而 ． 6． 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，過(guò)反比例函數(shù) xky? （ k＞ 0）的圖象上的一點(diǎn)分別作 x 軸、 y 軸的垂線段，與 第 3 題 y x 七年級(jí)數(shù)學(xué)（八） 第 25 頁(yè) 共 98 頁(yè) x 軸、 y 軸所圍成的矩形面積是 6，則函數(shù)解析式為 ． 7． 若反比例函數(shù) 22)12( ??? mxmy 的圖像在第二、四象限，則 m 的值 （ ） A．等于 － 1 或 1 B．是小于 21 的任意實(shí)數(shù) C．等于 － 1 D．不能確定 8． 函數(shù) y＝－ ax＋ a 與 xay ?? （ a≠ 0）在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是 （ ） 9． 如果矩形的面積為 12cm2 ，那么它的長(zhǎng) y cm 與寬 x cm 之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示大 致為（ ） 10． 如圖， A 為反比例函數(shù) xky? 圖象上一點(diǎn)， AB 垂直 x 軸于 B 點(diǎn)3AOBS? ? ，則 k 的值 （ ） A． 6 B． 3 C． 23 D．不能確定 11．已知 0m? ，如果點(diǎn)（ ,3mm? ）在雙曲線 xky? 上，那么 k 的取值范圍是什么？ 12．在一個(gè)封閉的電路中，當(dāng)電源電壓是 6V 時(shí)，請(qǐng)回答下列問(wèn)題： （ 1）寫出電路中的電流 I（ A）與電阻 R（ ? ）之間的函數(shù)關(guān)系式； （ 2）畫出該函數(shù)的圖像； （ 3）如果一個(gè)用電器的 電阻是 5? ，其最大允許通過(guò)的電流為 1A，那么只把這個(gè)用電器接在這個(gè)封閉電路中，會(huì)不會(huì)燒壞？試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由． A． B． C． D． y y y y x x x x y x O O y x y x O y x O A． B． C． D． A B O x y 第 10 題 七年級(jí)數(shù)學(xué)（八） 第 26 頁(yè) 共 98 頁(yè) 【自主評(píng)價(jià)】 一、 自主檢測(cè)提示 4．因?yàn)榉幢壤瘮?shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A，所以把點(diǎn) A（ m ， 1）代入解析式 3y x? 可求得 3m? ．又因?yàn)檎壤瘮?shù)圖象也經(jīng)過(guò)點(diǎn) A，所以再把 A（ 3， 1）代入 kxy? 可求得 k 值，從而求出解析式． 6．由題意，可設(shè)雙曲線上的一點(diǎn) P 坐標(biāo)為（ ,xy），因?yàn)檫^(guò)點(diǎn) P 分別作 x 軸、 y 軸的垂線段與 x 軸、 y 軸所圍成的矩形面積是 6，所以有 6xy? ，因?yàn)?k ＞ 0， 從而化得 6y x? ． 7． 22)12( ??? mxmy 是反比例函數(shù)，所以 2 21m ? ?? ，解得 1m?? ，又因?yàn)楹瘮?shù)圖像在第二、四象限，所以需滿足 21m? ＜ 0，從而求得結(jié)果． 8．可先根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的直線所經(jīng)過(guò)的象限，判斷系數(shù) a 的符號(hào)，然后再結(jié)合雙曲線的分布情況判斷是否成立 12．根據(jù)物理中的電壓、電流及電阻之間的關(guān)系公式，即 U IR? ，可得 UI R? ，從而完成解題． 二、 自我反思 1． 錯(cuò)因分析 2． 矯正錯(cuò)誤 3． 檢測(cè)體會(huì) 4． 拓展延伸 反比例函數(shù) ky x? （ k≠ 0） 中 的比例系數(shù) k 的幾何意義 如圖，過(guò)雙曲線上任一點(diǎn)作 x 軸、 y 軸的垂線 PM、 PN，所得的矩形 PMON的面積 S P M P N y x x y? ? ?． 因?yàn)?ky x? ，所以 xy k? ， 所以 Sk? ，即過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)作 x 軸、 y 軸的垂線，所得的長(zhǎng)方形面積為定值 k ． 【 例題 】 1．如圖， P 是反比例函數(shù)圖象在第二象限上的一點(diǎn)，且矩形 PEOF 的面積為 8，則反比例函數(shù)的表達(dá)式是 ______ ___． 2．正比例函數(shù) y=x 與反比例函數(shù) y=1x 的圖象相交于 A、 C 兩點(diǎn)， AB⊥ x 軸于 B， CD ⊥ x 軸于 D，如圖所示，則四邊形 ABCD 的面積為 ___ ____． P N M O y x y x 七年級(jí)數(shù)學(xué)（八） 第 27 頁(yè) 共 98 頁(yè) 第六講 反比例函數(shù) 反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)（二） 【 自主領(lǐng)悟 】 1． 4y x?? 圖象位于 象限，在每一象限內(nèi)，函數(shù)值 y 隨自變量 x 的 增大而 ． 2． 如圖， A、 B 是函數(shù) y=1x的圖象上關(guān)于原點(diǎn) O 對(duì) 稱的任意兩點(diǎn)， AC 平行于y 軸， BC 平行于 x 軸，△ ABC 的面積為 ________. 3． 函數(shù) 2xy ?? 和函數(shù) xy 2? 的圖像有 個(gè)交點(diǎn) ． 4． 反比例函數(shù) 5myx??的圖象的兩個(gè)分支分別在第二、四象限內(nèi)，那么 m 的取值范圍是額 ( ) A． m＜ 0 B． m＞ 0 C． m＜ 5 D． m＞ 5 5． 已知一次函數(shù) y=kx+b 的圖象經(jīng)過(guò) 第一、二、四象限，則函數(shù) y=kbx的圖象位于 ( ) A． 第一、三象限 B． 第二、四象限 C． 第三、四象限 D． 第一、二象限 6． 已知一次函數(shù) y kx k??的圖象與反比例函數(shù) 8yx?的圖象在第一象限交于 B(4， n)，求 一次函數(shù)的解析式． 【 自主探究 】 問(wèn)題 1 已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（ 2， 6） ． （ 1） 這個(gè)函數(shù)的圖象分布在哪些象限？函 數(shù)值隨自變量的增大如何變化？ （ 2）點(diǎn) B（ 3， 4）、 C（ 544,212 ?? ）和 D（ 2， 5）是否在這個(gè)函數(shù)圖象上？ 名師指導(dǎo) 先利用待定系數(shù)法，根據(jù)圖象所經(jīng)過(guò)的已知點(diǎn)的坐標(biāo)求出函數(shù)解析式，確定象限分布及函數(shù)值的增減變化情況，然后再把所給點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式判斷是否在這個(gè)函數(shù)圖象上 ． 解題示范 解：（ 1）設(shè)這個(gè)反比例函數(shù)為 xky? ，因?yàn)樗膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A，把點(diǎn) A 的坐標(biāo)（ 2， 6）代入函數(shù)解析式，得 26 k? ，解得 k=12，所以這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為 xy 12? ． y A B O x C 第 2 題 七年級(jí)數(shù)學(xué)（八） 第 28 頁(yè) 共 98 頁(yè) 因?yàn)?k＞ 0，所以這個(gè)函數(shù)的圖象在第一、第三象限內(nèi)， y 隨 x 的增大而減小 ． （ 2）把點(diǎn) B、 C 和 D 的坐標(biāo)代入 xy 12? ，通過(guò)計(jì)算可知點(diǎn) B、點(diǎn) C 的坐標(biāo)滿足函數(shù)關(guān)系式 ， 點(diǎn) D 的坐標(biāo)不滿足函數(shù)關(guān)系式，所以點(diǎn) B、點(diǎn) C 在函數(shù) xy 12? 的圖象上，點(diǎn) D 不在函數(shù)的圖象上 ． 歸納提煉 求反比例函數(shù)解析式常用的方法是待定系數(shù)法，即先設(shè)反比例函數(shù)解析式為 xky? ，因?yàn)槠渲兄挥幸粋€(gè)待定系數(shù)，所以只需要一個(gè)能反映其圖象上某一點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)關(guān)系的條件即可 ．確定好函數(shù)解析式后，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，便可明確雙曲線兩支的分布情況，以及函數(shù)值隨自變量的變化情況． 問(wèn)題 2 若點(diǎn) A（－ 2， a）、 B（－ 1， b）、 C（ 3， c）在反比例函數(shù) xky? （ k＜ 0）的圖象上，則 a、 b、c 的大小關(guān)系怎樣？ 名師指導(dǎo) 由 k＜ 0 可知，雙曲線位于第二、四象限，且在每一象限內(nèi)， y 隨 x 的增大而增大，因?yàn)?A、 B 在第二象限，且－ 1＞－ 2，故 b＞ a＞ 0；又 C 在 第四象限，則 c＜ 0，所以 b＞ a＞ 0＞ c． 歸納提煉 由于雙曲線的兩個(gè)分支分別位于兩個(gè)不同的象限內(nèi)，因此函數(shù)值 y 隨自變量 x 變化的增減性就不是連續(xù)的，一定要強(qiáng)調(diào)“在每一象限內(nèi)”，否則，如果籠統(tǒng)說(shuō) k＜ 0 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大，本題就會(huì)誤認(rèn)為 3最大，則 c 最大，從而出現(xiàn)錯(cuò)誤 ． 另外，此題還可以畫出函數(shù)圖象（草圖即可），比較 a、 b、 c 的大小，利用圖象更加直觀易懂，不易出錯(cuò)，應(yīng)注意掌握并學(xué)會(huì)使用 ． 問(wèn)題 3 如圖，一次函數(shù) y kx b??的圖象與反比例函數(shù) xmy? 的圖象交于 A（－ 2， 1）、 B（ 1， n）兩點(diǎn) ． （ 1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式； （ 2）根據(jù)圖象寫出一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的 x 的取值范圍 ． 名師指導(dǎo) （ 1）因?yàn)?A 點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，可先由點(diǎn) A（－ 2， 1）求出反比例函數(shù)的解析式 xy 2?? ，又由 B 點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，把 B（ 1， n）代入解析式即可求出 n 的值，最后再由 A、 B 兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式 y kx b??求出一次函數(shù)解析式 y＝－ x－ 1． （ 2）根據(jù)圖象以 及已知條件可得 x 的取值范圍 x＜－ 2 或 0＜ x＜ 1，這是因?yàn)楸容^兩個(gè)不同函數(shù)的值的大小時(shí)，就是看這兩個(gè)函數(shù)圖象在同一段 x 的取值范圍內(nèi)，哪個(gè)在上方，哪個(gè)在下方 ． 歸納提煉 對(duì)于一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)，從 形 ． 的角度理解，是指交點(diǎn)既在直線上，同時(shí)也在雙曲A O y x B 七年級(jí)數(shù)學(xué)（八） 第 29 頁(yè) 共 98 頁(yè) 線上；從 數(shù) ． 的角度理解，交點(diǎn)的坐標(biāo)是一次函數(shù)與反比例函數(shù)聯(lián)立所組成的二元方程組的解．所以，如果兩個(gè)函數(shù)圖象有交點(diǎn)，則聯(lián)立所成方程組有解；反之，若兩個(gè)函數(shù)圖象無(wú)交點(diǎn)，則聯(lián)立方程組無(wú)解． 此外，對(duì)于某些特殊情況，也可從一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的象限及反比例函數(shù)圖象的象限 分布情形分析兩個(gè)函數(shù)圖象有無(wú)交點(diǎn)．如函數(shù) 3yx? 與 2y x?? 的圖象就不存在交點(diǎn)，因?yàn)檎壤瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)一、三象限，反比例函數(shù)的圖象則位于二、四象限． 問(wèn)題 4 如圖，點(diǎn) A、 B 在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn) A、 B 的橫坐標(biāo)分別為 a， 2a（ a＞ 0）