高一數(shù)學(xué)函數(shù)的基本性質(zhì)-文庫吧資料
2025-01-13 11:54本頁面
【正文】 ＝－a ? 2 － 2 x ?＋ ax ＋ 1x － 1 ＝ 2 a －ax ＋ 1x － 1＝ 2 a － f ( x ) ， ∴ f ( x ) 的圖象關(guān)于點 ( 1 ， a ) 對稱，命題 ② 正確； 返回目錄 備考指南 考點演練 典例研習(xí) 基礎(chǔ)梳理 ③∵ f ( 0 ) ＝－ 1 ，因此 f ( x ) 不是奇函數(shù)， ③ 是正確命題； ④ 當(dāng) a ＝－ 1 時， f ( x ) ＝－ x ＋ 1x － 1＝－ 1 ( x ≠ 1 ) 因此 f ( x ) 不是偶函數(shù)，命題 ④ 不正確； ⑤ 當(dāng) 2 x1 x2， a ＝ 2 時， f ( x1) － f ( x2) ＝2 x1＋ 1x1－ 1－2 x2＋ 1x2－ 1 ＝? 2 x1x2＋ x2－ 2 x1－ 1 ? － ? 2 x1x2＋ x1－ 2 x2－ 1 ?? x1－ 1 ?? x2－ 1 ? ＝3 ? x2－ x1?? x1－ 1 ?? x2－ 1 ? 又 x1－ 1 1 ， x2－ 1 1 ，則 ( x1－ 1 )( x2－ 1 ) 1 ， 因此 f ( x1) － f ( x2) 3 ( x2－ x1) ，命題 ⑤ 正確 ． 答案： ②③⑤ 三 、 解答題 9． 已知函數(shù) f(x)＝ x2＋ (x≠0)． (1)判斷 f(x)的奇偶性 ， 并說明理由； (2)若 f(1)＝ 2， 試判斷 f(x)在 [2， ＋ ∞)上的單調(diào)性 解： ( 1 ) 當(dāng) a ＝ 0 時 ， f ( x ) ＝ x2， f ( － x ) ＝ f ( x ) ， 函數(shù)是偶函數(shù) ． 當(dāng) a ≠ 0 時 ， f ( x ) ＝ x2＋ax( x ≠ 0 ， 常數(shù) a ∈ R ) ， 取 x ＝ 177。 4 t2－ 2 t＋ 2＋－ 42 t2－ k ＋ 12 x 2 等 ． 另外還可考慮使用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性 ． ( 2 ) 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用主要表現(xiàn)在求最值、比較大小、解不等式等 ． 當(dāng)已知函數(shù) f ( x ) 的單調(diào)性時，可將抽象的不等式 f [ g ( x )] f [ h ( x )] 轉(zhuǎn)化為具體不等式 ． 變式探究 11 ： ( 2022 年溫州市調(diào)研 ) 函數(shù) f ( x ) ＝??? － x ＋ 3 a ? x ＜ 0 ?ax ? x ≥ 0 ?( a ＞ 0 且 a ≠ 1 ) 是 R 上的減函數(shù) ， 則 a 的取值范圍是 ( ) ( A )( 0 , 1 ) ( B )[13， 1 ) ( C )( 0 ，13] ( D )(13， 1 ) 解析： 由題意知， f ( x ) 為減函數(shù)，所以 ??? 0 ＜ a ＜ 13 a ≥ 1 ，解得13 ≤ a ＜ 1. 故選 B 函數(shù)的奇偶性及應(yīng)用 【例 2 】 已知 f ( x ) ， g ( x ) 分別是定義在 R 上的奇函數(shù)和偶函數(shù) ， 且 f ( x ) － g ( x ) ＝ ( 12 ) x ， 則 f ( 1 ) ，g ( 0 ) ， g ( － 1 ) 之間的大小關(guān)系是 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 思路點撥： 要比較三個函數(shù)值的大小，應(yīng)先求出 f ( x ) 與 g ( x ) 的解析式，可在已知等式中用－ x 代替 x ，再構(gòu)造關(guān)于 f ( x ) 、 g ( x ) 的關(guān)系式從而求解 f ( x ) 與 g ( x ) ． 解析： 在 f ( x ) － g ( x ) ＝ (12)x中，令 x ＝－ x ， 得 f ( － x ) － g ( － x ) ＝ 2x， 由于 f ( x ) ， g ( x ) 分別是奇函數(shù)和偶函數(shù)， 所以 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ， g ( － x ) ＝ g ( x ) ，因此得－ f ( x ) － g ( x ) ＝ 2x. 于是解得 f ( x ) ＝2－ x－ 2x2， g ( x ) ＝－2－ x＋ 2x2，于是 f ( 1 ) ＝－34， g ( 0 ) ＝－ 1 ， g ( － 1 ) ＝－54，故f ( 1 ) g ( 0 ) g ( － 1 ) ． 答案： f ( 1 ) g ( 0 ) g ( － 1 ) 本題采用變量替換的方法 ， 結(jié)合函數(shù)的奇偶性 ， 建立了關(guān)于函數(shù) f(x)、 g(x)的方程組 ， 從而可求得 f(x)與 g(x)的解析式 ， 然后再代入比較函數(shù)值的大小 ． 變式探究 21： (2022年高考廣東卷 )若函數(shù) f(x)＝ 3x＋ 3－ x與 g(x)＝ 3x－ 3－ x的定義域均為 R，則 ( ) (A)f(x)與 g(x)均為偶函數(shù) (B)f(x)為偶函數(shù) ， g(x)為奇函數(shù) (C)f(x)與 g(x)均為奇函數(shù) (D)f(x)為奇函數(shù) ， g(x)為偶函數(shù) 解析： ∵ f(x)與 g(x)的定義域都是 (－ ∞， ＋ ∞)， 且 f(－ x)＝ 3－ x＋ 3x＝ f(x)， g(－ x)＝ 3－ x－ 3x＝－ (3x－ 3－ x)＝－ g(x)， ∴ f(x)為偶函數(shù) ， g(x)為奇函數(shù) ， 故選 B. 函數(shù)單調(diào)性 與奇偶性的綜合應(yīng)用 【 例 3】 (2022年高考山東卷 )已知定義在 R上的奇函數(shù) f(x)滿足 f(x－ 4)＝－ f(x)， 且在區(qū)間 [0,2]上是增函數(shù) ． 若方程 f(x)＝ m(m0)在區(qū)間 [－ 8,8]上有四個不同的根 x1， x2， x3，x4， 則 x1＋ x2＋ x3＋ x4＝ ________. 思路點撥： 根據(jù)已知條件分析函數(shù) f(x)在 [－ 8,8]的單調(diào)性 ， 對稱性 ， 畫出圖象進(jìn)行求解 ． 解析： ∵ f(x)為奇函數(shù)并且 f(x－ 4)＝－ f(x)． ∴ f(x－ 4)＝－ f(4－ x)＝－ f(x)， 即 f(4－ x)＝ f(x)， 且 f(x－ 8)＝－ f(x－ 4)＝ f(x)， ∴ y＝ f(x)的圖象關(guān)于 x＝ 2對稱 ， 并且是周期為 8的周期函數(shù) ， ∵ f(x)＝ [0,2]上是增函數(shù) ， ∴ f(x)在 [－ 2,2]上是增函數(shù) ， 在 [2,6]上為減函數(shù) ， 據(jù)此可畫出y＝ f(x)的示意圖象 ， 其圖象也關(guān)于 x＝－ 6對稱 ， ∴ x 1 ＋ x 2 ＝－ 12 ， x 3 ＋ x 4 ＝ 4
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