立體幾何解題技巧例說-文庫吧資料
2025-01-12 20:06本頁面
【正文】 且∠ A′ O′ O為二面角 A′－ DE－ B的平面角， ∴∠ A′ O′ O=60176。 ∶ ∶ ，△ △V V = ( 13 S h ) ( 13 S h ) = h h = 1 3O G E F C G E F G E F G E F1 2 1 2? ? 在 △ 中，斜邊 上的高 ∶ ，∴∠ ，即異面直線 與 所成的角為 ．FK =12AE =34a CF =32a CK =74a c os C F K ==23C F K = a r c c os23AE CFa r c c os23CF FK CKCF FK2 2 22? ? (2)∵各棱長均相等， E為 BC中點，∴ BC⊥ AE， BC⊥ DE ∴ BC⊥面 AED∴面 AED⊥面 ABC，過 F作 FH⊥ ED 于 H，則 FH⊥面 BCD， ∴∠ FCH是 CF與面 BCD 所成的角． FH AO FH = 66 as i n F C H = FHCF = 23是四面體的高 的一半，∴∴ ∠ ， ∴∠故 與面 所成的角為 ．F C H = a r c s i n 23CF A B C a r c s i n 23 【例 3】 已知 D、 E分別是正三棱柱 ABC－ A1B1C1的側棱 AA1和 BB1上的點，且A1D=2B1E=B1C1(如圖 ) 求過 D、 E、 C1的平面與棱柱的下底面 A1B1C1 所成二面角的大小． 點撥： 在圖上，過 D、 E、 C1的面與棱柱底面只給出一個公共點 C1，而沒有畫出它與棱柱底面所成二面角的棱，因此還需找出它與底面的另一個公共點，進而再求二面角的大?。? 解 ： 在平面 AA1B1B內延長 DE和 A1B1交于 F，則 F是面 DEC1與面 A1B1C1的公共點，C1F為這兩個平面的交線，所求的二面角就是 D－ C1F－ A1的平面角． ∵ A1D∥ B1E，且 A1D=2B1E． ∴ E、 B1分別為 DF 和 A1F的中點， ∵ A1B1=B1C1=A1C1， ∴ FC1⊥A 1C1，又面 AA1C1C⊥面 A1B1C1， FC1 在面 A1B1C1內 ∴ FC1⊥ 面 AA1C1C，而 DC1在面 AA1C1C內， ∴ PC1⊥DC 1， ∴∠DC 1A1是二面角 D－ FC1－ A1 的平面角． 由已知 ，∴∠ π ．故所求二面角的大小 為 π ．A D = B C = A C DC A = 41 1 1 1 1 1 4 點評： 當所求的二面角沒有給出它的棱時，可通過公理 1和公理 2，找出二面角的兩個面的兩個公共點，從而找出它的棱，進而求其平面角 的大小即可．若利用 θ 求 θ ， 其中 θ 為二面角的大小 ，△△c os = S S ( )A 1 B 1 C 1DE C 1 作為解答題，高考中是要扣分的，因為它不是定理． (三 )有關空間距離問題 【例 4】 如圖， ABCD 是邊長為 4的正方形， E、 F分別為 AB、 AD的中點， GC⊥面 ABCD且 CG=2． 求點 B到平面 GEF的距離． 點撥： 因點 B在面 GEF 的射影不好確定，所以不宜直接求其距離，由已知容易得出BD∥ GEF，故可將求 B到面 GEF的距離問題轉化為求直線 BD與面 GEF的距離來解決． 解法 1： 連接 BD，∵ E、 F分別為 AB、 AD 的中點，∴ EF∥ BD，又∵ EF在面 GEF內，而BD 不在面 GEF內，∴ BD∥面 GEF．∴ B到面 GEF的距離等于直線 BD到面的距離，連接 AC，分別 交 EF和 BD于 K， O，連 GK，∵ EF⊥ AC， EF⊥ GC，∴ EF⊥
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