系統(tǒng)辨識(shí)及其在軟測(cè)量技術(shù)中的應(yīng)用-文庫(kù)吧資料
2024-12-14 11:37本頁(yè)面
【正文】 ），現(xiàn)時(shí)刻采得數(shù)據(jù)為 ，則一次遞推過程的步驟如下： (1) 對(duì)新數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，即： 并構(gòu)成濾波后的輸入輸出數(shù)據(jù)向量 廣義最小二乘法 ? 廣義最小二乘法的遞推算法（ RGLS）： (2) 對(duì)濾波后的輸入輸出數(shù)據(jù)做 RLS估計(jì)，修正系統(tǒng)模型參數(shù)，計(jì)算公式為： (3) 由新得到的 計(jì)算出新的殘差估計(jì)值 式中 廣義最小二乘法 ? 廣義最小二乘法的遞推算法（ RGLS）： (4) 對(duì)新殘差數(shù)據(jù)向量 做 RLS算法估計(jì)，修正噪聲模型參數(shù)，算法為： 多步最小二乘法 ? 多步最小二乘法（ MSLS）把復(fù)雜的辨識(shí)問題分成 3個(gè)階段來(lái)處理，而且每個(gè)階段只用到簡(jiǎn)單的最小二乘法，省去了廣義最小二乘法的迭代過程，簡(jiǎn)化了計(jì)算，并且可以得到參數(shù)的 一致無(wú)偏估計(jì)。若 已知，這樣可估計(jì)出 。 廣義最小二乘法 ? 設(shè) SISO系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為： 假定 為具有有理譜密度的平穩(wěn)隨機(jī)序列，對(duì) 總可以表示為一個(gè)白噪聲序列 為輸入的線性系統(tǒng)的輸出，也即它滿足自回歸模型 其中 若假定模型的階次 n， m已經(jīng)確定，則這類問題的辨識(shí)可用廣義最小二乘法（ GLS），以便獲得無(wú)偏一致估計(jì)。如濾波模型選得合適，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了較好的白化處理，則直接利用基本的最小二乘法就能得到無(wú)偏一致估計(jì)。 增廣最小二乘法 ? 如果 是可量測(cè)的，則模型可寫為 : 式中 上式可采用最小二乘法求參數(shù)的估計(jì)值。遺忘因子法的遞推算法（ RFF）可歸納為： 最小二乘法的各種改進(jìn) ? 增廣最小二乘法 ? 廣義最小二乘法 ? 多步最小二乘法 增廣最小二乘法 ? 增廣最小二乘法（ ELS）是最小二乘法的一種簡(jiǎn)單推廣，它只是擴(kuò)充了參數(shù)向量 θ 和數(shù)據(jù)向量 φ(k) 的維數(shù)，在辨識(shí)過程中同時(shí)考慮了噪聲模型的參數(shù)。隨著遞推次數(shù)的增加，會(huì)導(dǎo)致 ，所以增益陣 GN+1也將隨著 N的增加而逐漸趨于零向量，從而使 RLS算法失去修正能力 最小二乘遺忘因子法 ? 遺忘因子法： 基本思想：對(duì)舊數(shù)據(jù)加上遺忘因子，按指數(shù)加權(quán)來(lái)使得舊數(shù)據(jù)的作用衰減。對(duì)時(shí)變過程來(lái)說，它將導(dǎo)致參數(shù)估計(jì)值不能跟蹤時(shí)變參數(shù)的變化。 最小二乘遺忘因子法 ? 數(shù)據(jù)飽和現(xiàn)象： 所謂數(shù)據(jù)飽和現(xiàn)象，就是隨著時(shí)間的推移，采集的數(shù)據(jù)越來(lái)越多，新數(shù)據(jù)提供的信息被舊數(shù)據(jù)所淹沒。 最小二乘估計(jì)的統(tǒng)計(jì)特性 ? 一致性： 如果估計(jì)值具有一致性，說明它將以概率 1收斂于真值，即： 當(dāng) 是零均值白噪聲序列時(shí)，最小二乘估計(jì)值 是一致估計(jì)： 遞推最小二乘法 ? 一次完成算法的缺陷： ◆ 矩陣 求逆的計(jì)算量大，存儲(chǔ)量也大 ◆ 每增加一次觀測(cè)量，都必須重新計(jì)算 ◆ 如果出現(xiàn) Φ列相關(guān)，即不滿秩的情況， 為病態(tài)矩陣，則不能得到最小二乘估計(jì)值 ? 解決這些問題的辦法是把它化成 遞推算法 ，依觀測(cè)次序的遞推算法就是每獲得一次新的觀測(cè)數(shù)據(jù)就修正一次參數(shù)估計(jì)值，新的估計(jì)值在老的估計(jì)值基礎(chǔ)上修正而成，這樣不僅無(wú)需矩陣求逆，減少計(jì)算量和存儲(chǔ)量，而且可以實(shí)現(xiàn)在線辨識(shí)。 最小二乘估計(jì)值的協(xié)方差陣為： 其中 稱為噪聲向量的方差矩陣。同理可證加權(quán)最小二乘估計(jì)值 也是無(wú)偏的。 最小二乘估計(jì)的統(tǒng)計(jì)特性 ? 無(wú)偏性： 無(wú)偏性用來(lái)衡量估計(jì)值是否圍繞真值波動(dòng)，是估計(jì)值的一個(gè)重要統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。求 J對(duì) 的偏導(dǎo)數(shù)并令其等于 0，得： 即： 上式稱為正則方程，當(dāng) 非奇異時(shí)，可得最小二乘估計(jì)值： 加權(quán)最小二乘法 ? 如果準(zhǔn)則函數(shù)取為加權(quán)函數(shù)，即： 其中 稱為加權(quán)因子，對(duì)所有的 k， 都必須是正數(shù)。 21()Liek?? 一般最小二乘法 ? 最小二乘求解： 將模型寫成最小二乘的形式： 其中： 令 ，共 N次觀測(cè)，可得矩陣形式如下： 其中 一般最小二乘法 ? 最小二乘求解： 引入最小二乘準(zhǔn)則： 其中： 稱為模型殘差或方程誤差。 最小二乘法 ? 一般最小二乘法 ? 加權(quán)最小二乘法 ? 最小二乘法的統(tǒng)計(jì)特性 ? 遞推最小二乘法 ? 最小二乘遺忘因子法
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