[理學(xué)]東南大學(xué)高數(shù)習(xí)題-文庫(kù)吧資料
2024-12-14 00:46本頁(yè)面
【正文】 () ixLP x e?? ?與第一項(xiàng)成共軛， 所以與成共軛 1?y的函數(shù)xiLk eQxy )(2???? ?必然是方程 ()() ixLay by c y P x e?? ??? ?? ? ?的特解，這里L(fēng)L 表示與 成共軛的次多項(xiàng)式L， 故方程]s i n)(c o s)([ xxPxxPecyybya nmx ????????? ?具有如下形式 的特解：.)()(21 xiLkxiLk eQxeQxyyy ????????? ????xiLkxiLk eQxeQxy )()( ??????? ??)]s i n( c o s)s i n( c o s[ xixQxixQex LLxk ???????? ? 由于括號(hào)內(nèi)的兩項(xiàng)是互成共軛的，相加后即無虛部，所以可以寫成實(shí)函數(shù)形式：)s i n)(c o s)(( )2()1( xxRxxRexy LLxk ???? ??綜上所述，有如下結(jié)論：方程]s i n)(c o s)([ xxPxxPecyybya nmx ????????? ?具有形如 的特解，)s i n)(c o s)(( )2()1( xxRxxRexy LLxk ???? ??其中 次多項(xiàng)式是 )( ),()2()1(LxRxRLL， },m a x { nmL ? ， 按而 k 不是 ??? i 特征方程的根、或是特征方程的 單根依次取 0 或 1 。 xxxexAxAexAxAeAxAy)( )46()26()(213121???????????? ， 應(yīng)用歐拉公式 ， 2c o sixix eex???ieex ixix2s in???把三角函數(shù)表示為復(fù)變量指數(shù)函數(shù)的形式，有]s i nc os[)( xPxPexf nmx ???? ?]22[ ieePeePexixinxiximx ??????? ????xinmxinm eiPPeiPP )()( )22()22(?????? ????.)()( )()( xixi exPexP ?????? ??] sin ) ( cos ) ( [ ) ( . 2 x x P x x P e x f n m x ? ? ? ? ? 對(duì)于中的)( xf第一項(xiàng)()() ixLP x e?? ?，可求出一個(gè)次多 L )( xQ L項(xiàng)式，使得 xiLk eQxy )(1???? ? 為方程()() ixLay by c y P x e?? ??? ?? ? ?的特解，而??? ik 按 不是特征方程的根、或是特征方程的單根依次取 0 或 1 。 代入原方程，有 xx xeeAxA ?? )26( 1? ，解之得 61??A ， 01 ?A 。 ∵ xxexf ?)( ，屬 xm exPxf ?? )()( 型 ( 1 ,1 ???m ) ， 而 1?? 是特征方程的重根， ∴設(shè) xeAxAxy )( 12 ??? ? ， xx exAxAexAxAy )()23()( 21312 ?????? ?? ， 例 4 ．求方程 xxeyyy ????? 39。 解：∵特征方程為 0122 ??? rr ， 12,1 ?r 。 解：∵特征方程為 042 ??r ， 2 ,2 21 ??? rr ， ∴對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 xx eCeCY 2221 ?? ? 。 例 1 寫出下列方程的特解形式 ： ,36)1( 2 xeyyy ??????,323)2( 2 xexyyy ???????例 2 ．求方程 3265 ??????? xyyy 的特解。 )()()()()2()( 2 xPxQcbaxQbaxQam???????????? ④ , 2 )( , )( 次多項(xiàng)式應(yīng)為次多項(xiàng)式應(yīng)為 ??? mxQmxQ綜上所述， 方程xm exPqyypy ??????? )(具有如下形式的特解：xmk exQxy ?? ? )( 。 （ 1 ）當(dāng) 02 ????? cba ，即 不是方程? ①的特征根時(shí)， 則 )( )( xQmxQ m次多項(xiàng)式另一個(gè)必定是 ， 把 代入 )( xQ m ④ 式，比較等式兩端 同次冪 x 的系數(shù)， )()()()()2()( 2 xPxQcbaxQbaxQam???????????? ④ ∵ 次多項(xiàng)式一個(gè)是 )( mxp m ，要使 ④ 式 的兩端恒等， )()()()()2()( 2 xPxQcbaxQbaxQam???????????? ④ )()()2()( xPxQbaxQa m???????（ 2 ）當(dāng) 02 ????? cba ，而 02 ??? ba 時(shí)， 即 是方程? ①的單特征根時(shí)， ④式成為 故可設(shè) )( )( xQxxQ m? ， , 1 )( , )( 次多項(xiàng)式應(yīng)為次多項(xiàng)式應(yīng)為 ?? mxQmxQ并用同樣的方法來確定 中的系數(shù) )( xQ m ) , ,1 ,0( miA i ?? 。 ∴設(shè) mmmmm AxAxAxAxQ ????? ?? 111)( ?? 。 是方程若?y ②的一個(gè)特解， 是方程 Y ①的通解， 則??? yYy是方程②的通解。 （三）二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的解法設(shè) 二階常系數(shù)線性齊次方程為 0?????? cyybya ① 二階常系數(shù)線性非齊次方程為 )( xfcyybya ?????? ② 求方程 ② 的通解關(guān)鍵在于求其一個(gè)特解。 解：特征方程為 052 234 ??? rrr ， 即 0)52( 22 ??? rrr ， 故方程的通解為特征根為 02,1 ?r （ 2 重）； ir 214,3 ?? 。 類似二階常系 數(shù)線性齊次方程，相應(yīng)地可得到 方程 ①的 個(gè)線性無關(guān) n 的解，把這 個(gè)線性無
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