【正文】 值的形式 ,對系數(shù)作如下變換： ② ’= ② 4*① ： 4X1 +X4 =16 4（ X1+X3X5 /2 =2 ) = 4X3+X4+2X5 =8 1 4 0 1 0 0 X1 2 1 0 1 0 1/2 X4 8 0 0 4 1 2 X2 3 0 1 0 0 1/4 用表表示： X1 +X3 X5 /2 =2 ① 4X1 +X4 =16 ② X2 +X5 /4 =3 ③ X1 X3 X1 +X3 X5 /2 =2 ① ’=① 4X3+X4+2X5 =8 ② ’=② 4*① X2 X5 /4 =3 ③ ’=③ 41 令 X3,X5=0,得 X=(2 3 0 8 0),將 X X2代入目標(biāo)函數(shù) ，并寫成只含非基變量形式 得： Z=2(2X3+X5/2)+3(3X5/4)=132X3+X5/4 。 ∵ X1 系數(shù) C1=20, ∴ 此解非最優(yōu) , 選 X1進(jìn)基。 第 3節(jié) 單純形法 (Gee Dantgig于 1947年提出 ) 35 Z=2X1+3X2,C1=20, C2=30, ∴ 此解非最優(yōu) , 選 X2進(jìn)基 . 令 X1,X2=0,稱非基變量 X1+2X2 +X3 =8 4X1 +X4 =16 4X2 +X5 =12 X=(0 0 8 16 12),Z=0 Max Z=2X1+3X2+0X3+0X4+0X5 X1+2X2 +X3 =8 4X1 +X4 =16 4X2 +X5 =12 X1,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ≥0 X3 8 1 2 1 0 0 X4 16 4 0 0 1 0 X5 12 0 4 0 0 1 X1+2X2 +X3 =8 4X1 +X4 =16 4X2 +X5 =12 用表表示： 36 當(dāng) X2=min(8/2,,12/4)=3時 , X5=0, ∴X 5出基。二是若不是最優(yōu)，要保證下一步得到的解不劣于當(dāng)前解。 33 第 3節(jié) 單純形法 (Gee Dantgig于 1947年提出 ) 由線性代數(shù)知，對標(biāo)準(zhǔn)形 LP問題，理論上可以求出所有基解（枚舉法），再通過觀察找出其中的可行解（基可行解），進(jìn)而找出最優(yōu)解。 ????nj jjjxbxp10,32 證明： 設(shè) X(1)﹑...﹑X (k)為可行域頂點(diǎn)，相應(yīng)目標(biāo)值 Z(1)﹑...﹑Z (k) ，其中第 m個頂點(diǎn) X(m)處目標(biāo)值最大，記為 Z(m) ，若 X(0) 不是頂點(diǎn)但其目標(biāo)值最優(yōu)，則： X(0) = α i X(i) ， α i≥0 ， α i =1 CX(0)= α i CX(i)= α iZ(i)≤ α iZ(m)= Z(m) 據(jù)假使 CX(0) 為最優(yōu)值， ∴ X(m)處也能達(dá)到最優(yōu)。 31 第 2節(jié) LP理論基礎(chǔ)： (定理 2*、 3） 證明： 設(shè) X(1)﹑X (2)為 LP可行域 D內(nèi)任意兩點(diǎn)， X(1)≠X (2) ， 則 AX(1)=b， AX(2)=b， X(1)≥0 ， X(2)≥0 令 X為 X(1)﹑X (2) 連線上任意一點(diǎn)， 即 X=αX (1)+（ 1α ） X(2) ，（ 0≤α≤1 ） 代入約束 AX=αAX (1)+（ 1α ） AX(2) =αb+ （ 1α ） b=b， 又 ∵ α≥0 ，（ 1α ） ≥ 0， ∴ X≥0 ，即 X(1)﹑X (2) 連線上任意一點(diǎn)也在 D內(nèi)，由凸集定義， D為凸集。 使 X=μ 1 X(1)+μ 2 X(2) … +μ k X(k) 則稱 X為 X(1)， X(2) … X(k)的凸組合。 30 第 2節(jié) LP理論基礎(chǔ)： (凸集、凸組合、頂點(diǎn)） 凸集 ：設(shè) K為 En的一點(diǎn)集，若對于任意 X(1)﹑X (2) € K，都有 αX (1)+（ 1α ） X(2) € K ，（ 0≤α≤1 ）；則稱K為凸集。 ?定理： 若線性規(guī)劃問題存在最優(yōu)解，則必定能在其基可行解中得到。 ?可行基： 對應(yīng)于可行解的基。 ?基解： 根據(jù)某個基，令非基變量 =0而求出的解。 ?基 (B)： 約束方程系數(shù)矩陣 Am*n (m為方程個數(shù)，n為變量個數(shù) )中滿足行列式 ≠ 0的 m階方陣。 ? 在 5個可行解中，第 5個解的目標(biāo)函數(shù)值最大，故又稱這個解的可行基為 最優(yōu)基 。 25 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 基本變量 非基變量1 0 1 0 0 x 1 x 3 x 4 x 2 x 50 2 0 1 03 4 0 0 1x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 基本變量 非基變量1 0 1 0 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 50 2 0 1 03 4 0 0 1令 x4,x5=0，得： X=(4 6 4 0 0) z=42 5 令 x2,x5=0，得： X=(12 0 4 12 0) z=36 6 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 基本變量 非基變量1 0 1 0 0 x 2 x 3 x 5 x 1 x 40 2 0 1 03 4 0 0 1x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 基本變量 非基變量1 0 1 0 0 x 1 x 2 x 4 x 3 x 50 2 1 03 4 0 0 1令 x1,x4=0，得： X=(0 6 8 0 12) z=30 3 令 x3,x5=0，得： X=(8 3 0 6 0) z=39 4 26 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 基本變量 非基變量1 0 1 0 0 x 2 x 3 x 4 x 1 x 50 2 0 1 03 4 0 0 1x 1 x 2 3 x 4 x 5 基本變量 非基變量1 0 1 0 0 x 1 x 2 x 5 x 3 x 40 2 1 03 4 0 0 1令 x1,x5=0，得： X=(0 9 8 6 0) z=45 7 令 x3,x4=0，得： X=(8 6 0 0 12) z=54 8 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 基本變量 非基變量1 0 1 0 0 x 2 x 4 x 5 x 1 x 30 2 0 1 03 4 0 0 1x 1 x 2 3 x 4 x 5 基本變量 非基變量1 0 1 0 0 x 1 x 3 x 5 x 2 x 40 2 1 03 4 0 0 1 ∵ 0 0 0 2 1 0 =0 4 0 1 ∴ 無解 9 ∵ 1 1 0 0 0 0 =0 3 0 1 ∴ 無解 10 27 小 結(jié) ? 本例 3階系數(shù)行列式共有 10個，其中有 8個行列式 ≠ 0，它們稱為 基 ，其中的每一列 Pj (j=1,2,… ,m)稱基向量，另 2個行列式 =0，無意義。移到右邊并令為零的變量稱非基變量。 X4 =(0,45/16,7/16,0) X5 =(0,68/29,0,7/29) 。 = X12X2+3（ X4X5） +0X60X7 X1+X2 +（ X4X5） +X6 =7 X1 X2 +（ X4X5） X7 =2 3X1+X2+ 2（ X4X5） =5 X1﹑ X2 ﹑ X4﹑ X5 ﹑ X6﹑ X7≥0 20 LP問題解的概念 （可行解 ﹑ 基 ﹑ 基可行解 ﹑ 可行基） Max Z=2X1+3X2+4X3+7X4 2X1+3X2 X34X4 =8 X12X2+6X37X4 =3 X1﹑X 2 ﹑X 3﹑X 4≥0 24C?????????????????????????????????????????????????????? ????????????7641,7243,62137142,6112,2132654321BBBBBB及對應(yīng)解：個基共有 iBCA67461213224 ??????????????21 X1=(1,14/7,0,0)。39。, xK39。xK39。, xK39。 2） 若為不等式約束： ? 若為 ≤ ，在方程左邊加一非負(fù)新變量，稱松弛 （ Slack）變量 ? 若為 ≥ ，在方程左邊減一非負(fù)新變量，稱剩余 （ Surpius）變量或松弛變量 四個特點(diǎn) ：極大化目標(biāo) ﹑ 等式約束 ﹑ 約束右端常數(shù)bi≥0﹑ 決策變量 Xj≥0 。 a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n A= ┆ ┆ ┆ am1 am2 ... amn =[P1， P2 ... Pn] C = [c1 c2 ...] b1 x1 b2 x2 b= ┆ X= ┆ bm xn Max Z=CX | AX=b， X≥0 17 非標(biāo)準(zhǔn)形 LP問題化為標(biāo)準(zhǔn)形： 1）若目標(biāo)函數(shù)為 MinZ，令 Z39。 C— 目標(biāo)函數(shù)價值系數(shù)行向量。 12 0 4 8 12 x1 9 6 3 x2 ① ③ ② 可行域 Z=36 4, 6 多重解舉例 Max Z=3X1+4X2 X1 ≤8 ① 2X2 ≤12 ② 3X1+4X2≤36 ③ X1﹑ X2≥0 此線段上的點(diǎn) 均為最優(yōu)點(diǎn) 13 1 0 1 2 3 x1 2 1