遼寧工業(yè)大學高數(shù)習題課(10)-文庫吧資料
2024-10-24 21:00本頁面
【正文】 ?????即 由于 .xQyP????? .0 ,s i n0 : ????? xxyD故利用格林公式，得 ?? ??????Ddx d yyPxQI )( ????Dx dxdyye?? ??? x x yd yedx s i n 0 0 ).1(51 ?e??【 例 4】 計算曲線積分 . 其中 為 ??????L yxdyyxdxyxI 22)()( L圓周 （按逆時針方向繞行） . 222 ayx ??分析 由于本題積分曲線 為圓周 , 故可首先寫 L 222 ayx ??出 的參數(shù)方程，然后將曲線積分轉化為定積分來計算，即可采用框圖中線路 2→23 的方法計算；另外，考慮到積分曲線為封閉曲線，故本題又可利用格林公式計算，即可采用框圖中線路 2→21 的方法計算；此時應注意首先要利用積分曲線方程將被積函數(shù)中的分母化簡，去掉奇點，使其滿足格林公式的條件。 xyx s i n0 ,0 ?????L又因 為封閉曲線（如圖）。0,0,1 : ???? yxyxDxoy???????????? dSyzyxI 11313131 ???? dS31???Ddxd y331 21?? ??Ddxd y分析 由于 , 故曲線積分與路徑有關。 1 0x從 變到 。2])1(1[0 1 ?????? ? dxx從 變到 。 ,1 ,0 : zzzyxBC ????。 【 例 2】 計算曲線積分 , 其中 為有向閉折線 ?? ??? y d zdydxI?, 這里的 依次為點 、 、 ABCA )0 ,0 ,1(A )0 ,1 ,0(B ).1 ,0 ,0(CCBA ,解法 1：化為定積分計算 . 由于 CABCABL ??? (如圖 )，這里 。 解：由于 所以 ,21 ,210 ,?????????xxxxy? ???? L dyyxdxyxI 2222 )()(? ? ? ???? ???????? 2 1 222 1 221 0 2 )()2()2(2 dxxxdxxxdxx? ??? 2 1 2)2(232 dxx .34)2(3232 213 ???? x分析 本題為沿空間曲線的積分，從所給曲線來看，可采用參數(shù)法轉化為定積分來計算，這里關鍵是要正確寫出積分曲線的參數(shù)方程。此時的計算方 法是，看積分曲線 是否封閉 . 若 為封閉曲線 , 則直接利用 L L若 不是封閉曲線 , 通常采用取特殊路徑的方法（如取平行于 L坐標軸的折線 )來計算所給積分，即 L?Green公式計算所給積分，即 ??? ????????DLdxdyyPx d yPd xI )( 若 不是封閉曲線 , 則計算方法一般有兩種 , 一種是將曲線 L.)( ??? ?????????DLLd x d yyPx d yPd x再計算 最后將兩式相減便得原曲線積分的值 ,即 , ? ? ?L Q dyPd x積分化為定積分來計算；另一方法是通過補特殊路徑 , 使 L?與 構成封閉曲線，然后在封閉曲線 上應用 Green L? L LL ??公式 , 即 Q d yP d xI LLL ??? ?? ??? )(六、典型例題 【 例 1】 計算曲線積分 其中 為曲線 ,)()( 2222? ????L dyyxdxyxIL|1|1 xy ??? )20( ?? x 沿 增大的方向 . x分析 由于 故曲線積分與路徑有關 . 又因為曲線 ,xQyP????? L不是封閉的，按解題方法流程圖，計算本題有兩種方法：一是將第二型曲線積分直接轉化為定積分計算；二是采用補特殊路徑，然后應用 Green公式計算。( : xyL ?? x a b? ?L dyyxQdxyxP ) ,() ,( ? ??? ba dxxxxQxxP
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