【正文】 。三維旋轉(zhuǎn)變換可以看作是三個二維旋轉(zhuǎn)變換，且旋轉(zhuǎn)軸分別為 x， y， z軸。 1] 與二維旋轉(zhuǎn)變換類似 ， 三維旋轉(zhuǎn)變換可分為繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)變換和繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換 。 y39。 z39。 1] ⑸ 沿 z含 x錯切 變換矩陣： z( x )1 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1c?????????????T錯切變換： [x y z 1]Tz(x) = [x y z+cx 1] = [x39。 y39。 z39。 1] ⑶ 沿 y含 x錯切 變換矩陣 : ()1 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1yxb?????????????T錯切變換： [x y z 1]Ty(x) = [x y+bx z 1] = [x39。 y39。 z39。 ⑴ 沿 x含 y錯切 3. 錯切變換 變換矩陣： ()1 0 0 01 0 00 0 1 00 0 0 1xyd?????????????T錯切變換： [x y z 1]Tx(y) = [x+dy y z 1] = [x39。 z39。 Z X Y Z X Y Z X Y 分別對 XOY（左）、 XOZ（中）和 YOZ（右）平面的對稱變換結(jié)果 錯切變換是指三維立體沿 x， y， z三個方向產(chǎn)生錯切，錯切變換是畫斜軸測圖的基礎(chǔ)，其變換矩陣為： 1010100 0 0 1bcdfhi?????????????T [x y z 1]T = [x+dy+hz bx+y+iz cx+fy+z 1] = [x39。 z39。 1] = [x y z 1] Txoz = [x –y z 1] ⑶ 對 yoz平面的對稱變換 變換矩陣為： 1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1yo z??????????????T變換后點(diǎn)的坐標(biāo)： [x39。 y39。 z39。 1] ? 三維基本變換 1. 比例變換 三維對稱變換包括對原點(diǎn) 、 對坐標(biāo)軸和對坐標(biāo)平面的對稱 ， 常用的是對坐標(biāo)平面的變換 ， 我們對此加以討論： ⑴ 對 xoy平面的對稱變換 變換矩陣： 1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1xo y??????????T變換后點(diǎn)的坐標(biāo)： [x39。 y39。 對點(diǎn)進(jìn)行比例變換： [x y z 1] T = 三維基本變換矩陣左上角的 3 3矩陣的主對角線上的元素 a， e， j的作用是使物體產(chǎn)生比例變換。 p q 產(chǎn)生透視變換 。T 三維圖形變換 三維變換矩陣可表示為 ： a b c p d e f q h i j r l m n s 其中 ： a b c d e f 產(chǎn)生比例 、 錯切 、 鏡象和旋轉(zhuǎn)等基本變換 。 例 2：對任意直線的對稱變換（直線方程為 Ax + By + C = 0） 直線在 X軸和 Y軸上的截距分別為 –C/A和 –C/B，直線與 X軸的夾角為 α， α =arctg(–A/B)。這里特別要注意的是 矩陣級聯(lián)的順序 ，由于矩陣的乘法運(yùn)算不適用交換率，因此矩陣級聯(lián)的順序不同所得到的變換結(jié)果也不相同。 錯切變換前后的關(guān)系： 沿 X 軸方向關(guān)于 Y 的錯切 y 坐標(biāo)不變，而 x 坐標(biāo)與 原坐標(biāo)值 ( x , y )及變換矩陣中的 c 有關(guān)，即 x* = x + cy 沿 Y 軸方向關(guān)于 X 的錯切 x 坐標(biāo)不變，而 y 坐標(biāo)與 原坐標(biāo)值 ( x , y )及變換矩陣中的 b 有關(guān)，即 y* = y + bx 并且，當(dāng) c (或 b ) 0 時，圖形沿 X (或 Y )正向錯 切；當(dāng) c (或 b ) 0 時，圖形沿 X (或 Y )負(fù)向錯切。A = y x A B C A’ B’ C’ 0 10 20 10 20 30 平移變換結(jié)果 5. 平移變換 二維圖形變換中要注意的幾個問題： ： 逆時針旋轉(zhuǎn)為正，順時針旋轉(zhuǎn)為負(fù)。C39。 y39。 y39。 = 旋轉(zhuǎn) 60176。B39。 y39。 1] ???????????????1000c o ss in0s inc o s對三角形 ABC進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換（ θ = 60176。 假定圖形的旋轉(zhuǎn)是指繞 坐標(biāo)原點(diǎn) 旋轉(zhuǎn) θ 角，且逆時針為正，順時針為負(fù)，變換矩陣為 T = ???????????????1000c o ss in0s inc o s4. 旋轉(zhuǎn)變換 則對點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換： [x y 1] = [xcosθ –ysinθ xsinθ +ycosθ 1] = [x39。 當(dāng) b0時 ,沿 +Y向錯切； b0時沿 –Y向錯切 。 y39。B39。 CBA??????????111102010102610??????????100012001??????????11110401030266239。 設(shè) c = 2，對三角形 ABC進(jìn)行錯切變換得： x y x39。 1] (c≠0) 1 0 0100 0 1c????????1 0 0100 0 1c????????3. 錯切變換 如圖所示 ， 經(jīng)此變換后 ， Y坐標(biāo)不變 ， X坐標(biāo)有一增量CY， 這就相當(dāng)于原來平行于 Y軸的線向 X方向錯切成與 X軸成 α角的直線 ， 且有 tgα= y/cy = 1/c 。 1] ????????????100001010????????????100001010y x A B C 10 20 10 20 30 錯切變換的變換矩陣為： T = , 則： [X Y 1] = [x + cy bx + y 1 ] ??????????1000101cb??????????1000101cb(1)沿 X向錯切 令 b = 0，沿 X向錯切的變換矩陣為： T = ， 則 [X Y 1] = [x + cy y 1] = [x39。 = –X，變換矩陣為： T = ， 即 [X Y 1] = [–Y –X 1] = [X39。 線的對稱變換，應(yīng)有 X39。 Y39。 = Y， Y39。 線的對稱變換 點(diǎn)對 45176。 = –X， Y39。 Y39。 Y39。 = –X， Y39。 Y39。=X， Y39。 線和原點(diǎn)的對稱變換。CBAy x A B C A’ B’ C’ 10 20 30 10 20 30 40 等比例放大 (放大 2倍） 不等比例變換 對稱變換可分為對坐標(biāo)軸、 177。39。 y39。C39。CBA ⑶ 若 a≠ d，則變換后圖形將變形，如下圖所示，原三角形 ABC經(jīng)下式變換后成為三角形 A39。39。 x y x39。B39。 討論： ⑴ 若 a = d = 1, 為恒等變換 ， 即變換后點(diǎn)的坐標(biāo)不變 。 Y39。 = ax y39。 二維圖形變換 采用齊次坐標(biāo)可將二維圖形變換表示成如下形式 ： a b 0 c d 0 l m 1 P* = P ? M 二維變換矩陣中 ： a b c d [ l m] 是對圖形進(jìn)行平移變換 [ x* y* 1 ] = [ x y 1 ] 變換后的頂點(diǎn)坐標(biāo) 變換前的頂點(diǎn)坐標(biāo) 二維變換矩陣 是對圖形進(jìn)行縮放 、 旋轉(zhuǎn) 、 對稱 、 錯切等變換 。 齊次坐標(biāo)的概念可以推廣到 n維空間的向量 。 給定一個點(diǎn)的齊次坐標(biāo)表示 : (x， y， h)， 該 點(diǎn)的二維笛卡兒