第四節(jié)定積分的應(yīng)用舉例-文庫吧資料
2024-10-06 12:23本頁面
【正文】 O x x+dx 圖 612 x y a a b 例 3 求由拋物線 2 2及 直 線 所 圍 成 的 平 面 圖 形 的 面 積 。 ( 2 , 0) ( 2 , 0)A ? ， B 選擇積分變量為橫坐標(biāo) x，積分區(qū)間為 ， 對應(yīng)于小區(qū)間 的窄條面積的近似值，即 面積微元 ，即陰影部分小矩形的 面積，于是 與 x軸所圍圖形面積為 ? ?2,2?? ?,x x dx?2( 4 )d A x d x??24yx??22232 21 3 2( 4 ) 433A x d x x x? ???? ? ? ? ?????? 例 2 求橢圓周 圍城圖形的面積。 二、平面圖形的面積 例 1 求由拋物線 與直線 圍成的圖形的面積。 這里我們指出（但不作證明）， 作為 的近似值，其 誤差應(yīng)是小區(qū)間長度 的高階無窮小，即 應(yīng)滿足 Q?()f x dxdQ()dQ f x dx?dQ Q dQ??x?( ) ( )dQ f x dx f x x? ? ?( ) ( ) ( )Q dQ o x f x x o x? ? ? ? ? ? ? ? 第三步，列積分。并取 ，求出部分量 的近似值 。 ? ?ab，第二步，求微元 。取極限得 0l im ( ) ( )bii aiQ f x f x d x? ??? ? ? ? ?實用上通常把上列四個步驟簡化成三步，其步驟如下： 第一步，選變量 。 。對變力作功 ，在小位移區(qū)間 上 ()if ? ()fx W ()i i iW f x?? ? ?用常力 代替變力 ，得 的部分量 ，類似地， iQ? ()iifx? ?部分量 的近似值也應(yīng)表成 的形式?？疾烊我恍^(qū)間 上 的部分量 近 似值 。對變力所作的功 W，選擇質(zhì)點位置作為被分割變量， 被分割區(qū)間是質(zhì)點的位移區(qū)間。第四節(jié) 定積分的應(yīng)用舉例 ? 一、定積分的元素法 ? 二、平面圖形的面積 ? 三、體積 ? 四、平面曲線的弧長 ? 五、定積分的其他應(yīng)用 一 一、 定積分的元素法 由第一節(jié)的實例（曲邊梯形面積和變力作功）分析可見，用定積分表達(dá)某個量 分為四個步驟： Q 第一步，分割 .把所求的量 分割成許多部分量 ，這需要選擇 一個被分割的變量 和被分割的區(qū)間 。例如，對曲邊梯形面 積 A，選擇曲邊 中的自變量 作為被分割的變量，被分割的 區(qū)間是 。 Q Qi?x ? ?ab，2yx? x ? ?10， 第二步，近似 。對曲邊梯形面積，在小區(qū)間 上，用直線 ? ?,1iixx? Q iQ?A ? ?,1iixx?代替曲線 ，即以小矩形面積 ()iyf??()y f x? ()iifx? ?iA? ()i i iA f x?? ? ? W ? ?,1iixx?代替小曲邊梯形面積 ，得 。 第三步，求和 。 ()i i iiiQ Q f x?? ? ? ? ? ?第四步，逼近 。選
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