【正文】 解： xxexd10? 1)1(10101010 ????????? ?? eeeedxexex de xxxx 4． ??0 d2sin xxx 解： ??0 d2sin xxx ?? ?????00 2c os2)2(2s i n2 xxdxdxx dxxdxxxx ?? ???? ???000 2c os2)2c os2c os(2 42s in4)2(2c os4 00 ??? ??? xxdx 5． ??20 dsin xxx 解： ??20 dsin xxx )c osc os(c os 202020 ?? ???????? x dxxxxxd 1sin 20 ?? ?x 6．求微分方程 12 ???? xxyy 滿足初始條件 47)1( ?y 的特解． 解：微分方程的通解為 ? ???? ? ])([ )()( cdxexqey dxxpdxxp 15 這里 xxp 1)( ?， 1)( 2 ?? xxq 代入得微分方程的通解為 )2141(1 24 cxxxy ??? 將初始條件47)1( ?y代入上式，解得 1?c 所以微分方程的特解為 )12141(1 24 ??? xxxy 7．求微分方程 xxxyy 2sin2???的通解。 2． 欲用圍墻圍成面積為 216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長和寬選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 解：設(shè)矩形的長為 x 米，則矩形的寬為 x216 米，從而所用建筑材料為： xxL 21632 ??? ，即： xxL 6482 ?? 26482 xdxdL ??，令 0?dxdL 得： 18?x （取正值），這時 12216?x 由于根據(jù)實際問題，確實有最小值，故當矩形的長為 18 米，寬為 12 米時，才能使所用建筑材料最省 五、證明題（本題 5 分） 函數(shù) xexxf ??)( 在（ )0,?? 是單調(diào)增加的． 證明：因為 xexf ??? 1)( ，當 ?x （ )0,?? 時， xexf ??? 1)( 0? 所以函數(shù) xexxf ??)( 在（ )0,?? 是單調(diào)增加的． 微積分初步形成性考核作業(yè)（四）解答（選擇題除外） ——— 定積分及應(yīng)用、微分方程 一、填空題（每小題 2 分，共 20 分） 12 1． .______d)2c os(s i n11 2 ???? xxxx 解：3222c oss i nd)2c os(s i n 10 21 1 21 11 1 2 ??????? ???? ??? dxxdxxx dxxxxxx 2． .______d)c os4(225 ????? xxxx?? 解： ?????? ????? 2 22 25225 c os)4(d)c os4( ?????? x dxdxxxxxxx 2s in2c os2 2020 ??? ? ?? xx dx 3． 已知曲線 )(xfy? 在任意點 x 處切線的斜率為 x ，且曲線過 )5,4( ，則該曲線的方程是 。試求矩形的邊長為多少時，才能使圓柱體的體積最大。 2． 若 )(xf 的一個原函數(shù)為 xx 2e?? ，則 ?? )(xf 24 xe?? 。故應(yīng)選 A 3．函數(shù) 2 22)( xxxxf ??? 的圖形是關(guān)于（ ）對稱． A． xy? B． x 軸 C． y 軸 D．坐標原點 解：因為 )(2 222 22)()( )( xfxxxf xxxx ?????????? ???? 所以函數(shù) 2 22)( xxxf ??? 是奇函數(shù) 從而函數(shù) 2 22)( xxxxf ??? 的圖形是關(guān)于坐標原點對稱的 因此應(yīng)選 D 4．下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（ ）． A． xxsin B． xln C． )1ln( 2xx ?? D． 2xx? 解：應(yīng)選 C 5．函數(shù) )5ln(41 ???? xxy 的定義域為（ ）． A． 5??x B． 4??x C． 5??x 且 0?x D． 5??x 且 4??x 解：??? ?? ?? 05 04xx，??? ???? 54xx，所以應(yīng)選 D 6．函數(shù))1ln( 1)( ?? xxf的定義域是（ ）． A． ),1( ?? B． ),1()1,0( ??? C． ),2()2,0( ??? D． ),2()2,1( ??? 3 解：??? ?? ?? 01 0)1ln(xx，??? ??12xx， 函數(shù))1ln( 1)( ?? xxf的定義域是 ),2()2,1( ??? ，故應(yīng)選 D 7．設(shè) 1)1( 2 ??? xxf ，則 ?)(xf （ ） A． )1( ?xx B． 2x C． )2( ?xx D． )1)(2( ?? xx 解： 1)1( 2 ??? xxf ]2)1)[(1()1)(1( ??????? xxxx )2()( ?? xxxf ，故應(yīng)選 C 8．下列各函數(shù)對中，（ ）中的兩個函數(shù)相等． A． 2)()( xxf ? ， xxg ?)( B． 2)( xxf ? ， xxg ?)( C． 2ln)( xxf ? ， xxg ln2)( ? D． 3ln)( xxf ? ， xxg ln3)( ? 解：兩個函數(shù)相等必須滿足①定義域相同②函數(shù)表達式相同 ， 所以應(yīng)選 D 9．當 0?x 時，下列變量中為無窮小量的是（ ） . A． x1 B． xxsin C． )1ln( x? D．2xx 解：因為 0)1ln(lim0 ??? xx，所以當 0?x 時， )1ln( x? 為無窮小量 ， 所以應(yīng)選 C 10．當 ?k （ ）時，函數(shù)??? ???? 0, 0,1)( 2 xk xxxf ，在 0? 處連續(xù) . A． 0 B． 1 C． 2 D． 1? 解：因為 1)1(lim)(lim 200 ??? ?? xxf xx， kf ?)0( 若函數(shù)??? ???? 0, 0,1)( 2 xk xxxf ，在 0? 處連續(xù) ， 則 )(lim)0( 0 xff x?? ，因此 1?k 。 1 微積分初步形成性考核作業(yè)（一）解答 ———— 函數(shù)，極限和連續(xù) 一、填空題（每小題 2 分，共 20 分） 1． 函數(shù))2ln( 1)( ?? xxf的定義域是 ． 解：02 0)2ln({ ?? ??xx， 23{??xx 所以函數(shù))2ln( 1)( ?? xxf的定義域是 ),3()3,2( ??? 2． 函數(shù)xxf ?? 51)(的定義域是 ． 解： 05 ??x ， 5?x 所以函數(shù)xxf ?? 51)(的定義域是 )5,(?? 3．函數(shù) 24)2ln( 1)( xxxf ????的定義域是 ． 解：???????????04020)2ln(2xxx ，????????????2221xxx 所以函數(shù)24)2ln( 1)( xxxf ???? 的定義域是 ]2,1()1,2( ???? 4． 函數(shù) 72)1( 2 ???? xxxf ，則 ?)(xf ． 解： 72)1( 2 ???? xxxf 6)1(612 22 ??????? xxx 所以 ?)(xf 62?x 5． 函數(shù)??? ???? 0e 02)( 2 xxxxfx，則 ?)0(f ． 解： ?)0(f 2202 ?? 6．函數(shù) xxxf 2)1( 2 ??? ，則 ?)(xf ． 解： xxxf 2)1( 2 ??? 1)1(112 22 ??????? xxx ， ?)(xf 12?x 7． 函數(shù) 1 322 ? ??? x xxy 的間斷點是 ． 解：因為當 01??x ，即 1??x 時函數(shù)無意義 所以函數(shù) 1 322 ? ??? x xxy 的間斷點是