【正文】 ???????????? ????????? ? ???iiiii xxXkXnnkXkXnn22222222221??? ????? ??????????? ??iiiii xnXxnXnxxXn（ 2）證明最小方差性 假設(shè) *1?? 是其他估計方法得到的關(guān)于 ? 1 的線性無偏估計量： ?? iiYc*1??其中 ， ci=ki+di， di為不全為零的常數(shù) 則容易證明 )?v a r ()?v a r ( 1*1 ?? ?同理， 可 證 明 ? 0 的 最 小 二 乘 估 計 量 0?? 具 有 最 的 小 方 差 普通最小二乘估計量 （ ordinary least Squares Estimators）稱為 最佳線性無偏估計量 （ best linear unbiased estimator, BLUE） 由于最小二乘估計量擁有一個 “ 好 ” 的估計量所應(yīng)具備的小樣本特性，它自然也擁有大樣本特性 。 當(dāng)不滿足小樣本性質(zhì)時，需進(jìn)一步考察估計量的大樣本 或 漸近性質(zhì) ： 高斯 — 馬爾可夫定理 (GaussMarkov theorem) 在給定經(jīng)典線性回歸的假定下 ， 最小二乘估計量是具有最小方差的線性無偏估計量 。 這三個準(zhǔn)則也稱作估計量的 小樣本性質(zhì)。 一個用于考察總體的估計量，可從如下幾個方面考察其優(yōu)劣性： （ 1）線性性 ，即它是否是另一隨機變量的線性函數(shù)； （ 2）無偏性 ，即它的均值或期望值是否等于總體的真實值； （ 3）有效性 ，即它是否在所有線性無偏估計量中具有最小方差。 例 ： 在上述家庭 可支配收入 消費支出 例中，對于所抽出的一組樣本數(shù)，參數(shù)估計的計算可通過下面的表 。 那么 Yi服從如下的正態(tài)分布： ),??(~ 210 ??? ii XNY ?于是， Y的概率函數(shù)為 2102 )??(2121)( ii XYi eYP????????? （ i=1,2,…n ） 假如模型的參數(shù)估計量已經(jīng)求得，為 因為 Yi是相互獨立的，所以的所有樣本觀測值的聯(lián)合概率，也即 或然函數(shù) (likelihood function)為： ),(),?,?( 21210 nYYYPL ???????21022)??(21)2(1 iinXYne?????????? 將該或然函數(shù)極大化 ， 即可求得到模型參數(shù)的極大或然估計量 。 基本原理 ： 對于 最大或然法 ，當(dāng)從模型總體隨機抽取 n組樣本觀測值后，最合理的參數(shù)估計量應(yīng)該使得從模型中抽取該 n組樣本觀測值的概率最大。 （ **） 注意： 在計量經(jīng)濟學(xué)中，往往以小寫字母表示對均值的離差。 由于參數(shù)的估計結(jié)果是通過最小二乘法得到的，故稱為 普通 最小二乘估計量 （ ordinary least squares estimators） 。 方程組（ *）稱為 正規(guī)方程組 （ normal equations） 。 即 ????? nQnXX i ,/)( 2 假設(shè) 6：回歸模型是正確設(shè)定的 假設(shè) 5旨在排除時間序列數(shù)據(jù)出現(xiàn)持續(xù)上升或下降的變量作為解釋變量，因為這類數(shù)據(jù)不僅使大樣本統(tǒng)計推斷變得無效，而且往往產(chǎn)生所謂的 偽回歸問題 （ spurious regression problem）。 注意： 以上假設(shè)也稱為線性回歸模型的 經(jīng)典假設(shè)或 高斯（ Gauss）假設(shè) ，滿足該假設(shè)的線性回歸模型，也稱為 經(jīng)典線性回歸模型 （ Classical Linear Regression Model, CLRM）。 一、線性回歸模型的基本假設(shè) 假設(shè) 解釋變量 X是確定性變量 ， 不是隨機變量； 假設(shè) 隨機誤差項 ?具有零均值 、 同方差和不序列相關(guān)性： E(?i)=0 i=1,2, … ,n Var (?i)=??2 i=1,2, … ,n Cov(?i, ?j)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 假設(shè) 隨機誤差項 ?與解釋變量 X之間不相關(guān)： Cov(Xi, ?i)=0 i=1,2, …,n 假設(shè) ?服從零均值、同方差、零協(xié)方差的正態(tài)分布 ?i~N(0, ??2 ) i=1,2, …,n 如果假設(shè) 2滿足，則假設(shè) 3也滿足 。 為保證參數(shù)估計量具有良好的性質(zhì)，通常對模型提出若干基本假設(shè)。 一元線性回歸模型的參數(shù)估計 一、一元線性回歸模型的基本假設(shè) 二、參數(shù)的普通最小二乘估計（ OLS） 三、參數(shù)估計的最大或然法 (ML) 四、最小二乘估計量的性質(zhì) 五、參數(shù)估計量的概率分布及隨機干 擾項方差的估計 單方程計量經(jīng)濟學(xué)模型分為兩大類： 線性模型 和 非線性模型 ?線性模型中，變量之間的關(guān)系呈線性關(guān)系 ?非線性模型中，變量之間的關(guān)系呈非線性關(guān)系 一元線性回歸模型 ：只有一個解釋變量 iii XY ??? ??? 10 i=1,2,…,n Y為被解釋變量， X為解釋變量， ?0與 ?1為 待估參數(shù) ， ?為 隨機干擾項 回歸分析的主要目的 是要通過樣本回歸函數(shù)（模型） SRF盡可能準(zhǔn)確地估計總體回歸函數(shù)（模型） PRF。 注意： 這里 PRF可能永遠(yuǎn)無法知道。 由于方程中引入了隨機項，成為計量經(jīng)濟模型，因此也稱為 樣本回歸模型 （ sample regression model） 。 記樣本回歸線的函數(shù)形式為： iii XXfY 10 ??)(? ?? ???稱為 樣本回歸函數(shù) （ sample regression function， SRF） 。 核樣本的 散點圖 （ scatter diagram)： 樣本散點圖近似于一條直線，畫一條直線以盡好地擬合該散點圖，由于樣本取自總體，可以該線近似地代表總體回歸線。 產(chǎn)生并設(shè)計隨機誤差項的主要原因： 1）理論的含糊性； 2）數(shù)據(jù)的欠缺； 3）節(jié)省原則。 即，給定收入水平 Xi ,個別家庭的支出可表示為兩部分之和 : (*) 由于方程中引入了隨機項，成為計量經(jīng)濟學(xué)模型，因此也稱為 總體回歸模型 。 （ 1）該收入水平下所有家庭的平均消費支出 E(Y|Xi)，稱為系統(tǒng)性（ systematic） 或 確定性 （ deterministic)部分 。 記 例 ，個別家庭的消費支出為： （ *）式稱為 總體回歸函數(shù) （方程） PRF的隨機設(shè)定形式。 但對某一個別的家庭，其消費支出可能與該平均水平有偏差。 。 例 ， 將居民消費支出看成是其可支配收入的線性函數(shù)時 : ii XXYE 10)|( ?? ??為一 線性函數(shù)。 相應(yīng)的函數(shù)： 回歸函數(shù)（ PRF）說明被解釋變量 Y的平均狀態(tài)（總體條件期望）隨解釋變量 X變化的規(guī)律。 0 500 1000 1500 2021 2500 3000 3500 500 1000 1500 2021 2500 3000 3500 4000 每月可支配收入 X（元） 每 月 消 費 支 出 Y （元） ? 概念： 在給定解釋變量 Xi條件下被解釋變量 Yi的期望軌跡稱為 總體回歸線 （ population regression line），或更一般地稱為 總體回歸曲線 （ population regression curve）。 因此，給定收入 X的值 Xi，可得消費支出 Y的 條件均值 （ conditional mean）或 條件期望 （ conditional expectation）： E(Y|X=Xi) 該例中： E(Y | X=800)=605 分析： 描出散點圖發(fā)現(xiàn)：隨著收入的增加，消費“ 平均地說 ” 也在增加，且 Y的條件均值均落在一根正斜率的直線上。 二、總體回歸函數(shù) 為達(dá)到此目的，將該 100戶家庭劃分為組內(nèi)收入差不多的 10組，以分析每一收入組的家庭消費支出。 例 ： 一個假想的社區(qū)有 100戶家庭組成，要研究該社區(qū)每月 家庭消費支出 Y與每月 家庭可支配收入 X的關(guān)系。 回歸分析的基本概念 回歸分析構(gòu)成計量經(jīng)濟學(xué)的方法論基礎(chǔ)，其主要內(nèi)容包括： （ 1）根據(jù)樣本觀察值對經(jīng)濟計量模型參數(shù)進(jìn)行估計，求得 回歸方程； （ 2） 對回歸方程、參數(shù)估計值進(jìn)行顯著性檢驗； （ 3）利用回歸方程進(jìn)行分析、評價及預(yù)測。 其用意 ： 在于通過后者的已知或設(shè)定值，去估計和（或）預(yù)測前者的（總體）均值 。 回歸分析 對變量的處理方法存在不對稱性，即區(qū)分應(yīng)變量（被解釋變量）和自變量（解釋變量）：前者是隨機變量，后者不是。