【正文】 ................................................................................... 7 程序清單 ............................................................................................................. 7 運行 結果 ............................................................................................................ 9 結果分析與設計總結 ............................................................................................ 9 [設計題三 ] ..................................................................................................................... 10 問題分析與設計思路 .......................................................................................... 10 程序清單 ........................................................................................................... 10 運行結果 .......................................................................................................... 12 結果分析與設計總結 .......................................................................................... 12 [設計題五 ] ..................................................................................................................... 13 問題分析與設計思路 .......................................................................................... 13 程序清單 ........................................................................................................... 14 運行結果 .......................................................................................................... 19 結果分析 ........................................................................................................... 20 【數(shù)值分析課程設計總結】 ............................................................................................ 21 3 11121 1 12 3 11 1 11 2 1nnH nn n n??????? ??????? [設計題一 ] 設計實驗驗證 Hilbert 矩陣的病態(tài)性。 問題分析與設計思路 在求解任何反問題的過程中通常會遇到病態(tài)矩陣問題，而且病態(tài)矩陣問題還未有很好的解決方法， 尤其是長方形、大型矩陣。 求解方程組時對數(shù)據(jù)的小擾動很敏感的矩陣就是病態(tài)矩陣 。方程組的近似解 χ一般都不可能恰好使剩余 r=bAχ為零，這時 χ亦可看作小擾動問題 Aχ=br(即δA=0， δb=r)的解 ,所以當 A為病態(tài)時 ,即使剩余很小 ,仍可能得到一個與真解相差很大的近似解。截圖是取了幾個 n（程序中設置為 1 至 30） 去計算，看一下隨著 n 的增大誤差的變化情況。 由此可以看出，此矩陣 求解方程組時對數(shù)據(jù)的 小擾動很敏感 實驗驗證 Hilbert 矩陣的病 態(tài)性 成立。 （ 3） 取幾 個點進行誤差記錄 （ 4） 繪制 誤差的散點圖，形象分析 [設計題二 ] 1225 年，達芬奇研究了方程322 10 200x x x????并得到它的一個近似根 7 ?? ?1 () ( 0 , 1 , 2 , ) ( 2 . 1 )39。沒有人知道他用什么方法得到它。 問題分析與設計思路 f(x)=0的根 (或 f(x)的零點 )，當 f(x)復雜時，很難求，需要找到有效簡單的近似方法去求： （ 1） 二分法理論 : f(x)∈ C[a,b],單調 ,f(a)f(b)0， f(x)=0在 (a,b)中有惟一根。第一種方法是二分法，得到的近似根與精確解的誤差小于 。 二分法 優(yōu)點：條件和方法簡單 (只要求 f(x)連續(xù)即可 )，方法收斂；缺點：收斂速度慢，不易求偶數(shù) 重根（如圖） . Newton 迭代法迭代公式 程序清單 二分法程序： Newton 迭代法程序： (在 中調用 ) 8 二分法 Newton 迭代法 9 運行結果 二分法： Newton 迭代法 結果分析與設計總結 通過二分法與 Newton 迭代法得出的答案相同。 ； Newton迭代法的收斂階 。繪出模擬曲線的圖形。 （二） 進行變量變換 ， 使變換后的兩個變量呈直線關系。 若在節(jié)點 x j 上給定函數(shù)值 Yj= f (Xj).( j =0, 1, , n) ，并成立 S(xj ) =yj .( j= 0, 1, , n) ，則稱S(x)為三次樣條插值函數(shù)。 實際計算是還需要引入邊界條件才能完成計算。 Matlab 把非扭結邊界條件作為默認的邊界條件。(0) 0gl? ?? ???? ? ? 其中 g=,l=25. (1) 取初始偏離角度0 10 ??? (2) 取初始偏離角度0 3 .5236 其精確解為0() cos , gtt l? ? ??。 （方案 I） 歐拉法，步長 h = , h = ； （ 方案 II） 改進的歐拉法，步長 h = , h = ； （方案 III） 四階經(jīng)典龍格 — 庫塔法，步長 h = 。 歐拉法： 14 改進的歐拉法： 龍格庫塔法： 程序清單 15 16 17 18 19 運