【正文】 下的不等式，即 ,1iix y i n? ? ? 。 大多數(shù)用效用函數(shù)討論的問題都涉及到效應函數(shù)的最大化，因此涉及到效用函數(shù)的連續(xù)性與可導性。 定理中的效用函數(shù) U 起到了區(qū)分選擇優(yōu)劣的作用。 （１） 如果 21zz，存在 12,??? ，使得： ? ?1 , 1 , 2i i ix y z i??????? ? ??? 由公理 4， 21??? ，即 ? ? ? ?21U z U z? 。由公理 13 可知， U是 S 上確定的函數(shù)。如果 xy??，則 xz? 對任意的 zS? 成立，此時可定義 :US? 為常數(shù)，顯然條件（ 1）、（ 2）成立。 序數(shù)效用函數(shù)的存在性定理： 如果選擇集 S 上的偏好關系 滿足公理 16，則 S 上存在效用函數(shù) :US? ，滿足： （ 1） ? ? ? ?x y U x U y?? （ 2） ? ? ? ?x y U x U y?? 證明：我們具體的構(gòu)造一個滿足條件（ 1）、（ 2）的效用函數(shù)。 公理 6： 存在 ,x y S??? 滿足： 對任意的 zS? ， x z y??成立。 公理 5： 對任意的 ,x y z S? ，如果 x y z ，則存在唯一的 ? ?0,1?? ，使得： ? ?1x y z???????? 17 注：在 2 上定義序關系： 1 1 1 1 2 2,x y x y x y x y? ? ? ?或；稱這個序關系為 2 上的字典序；顯然，字典序可以推廣到 n 上。為此，我們需要增加公理以保證 S 總存在效用函數(shù)。 （ 2）偏好關系“ ”是個體決定的，相同的選擇集 S 上有多個偏好關系；類似的，下面的效用函數(shù)也有多個。 公理 2： 對任意的 ,xy S? ， xy與 yx至少有一個成立。如果 xy，且 xy不成立，則稱 x 嚴格優(yōu)于 y ，記為： xy。 對任意的 ,xy S? ， xy意味著 x 至少不比 y 差。我們將個體面臨的所有選擇構(gòu)成的集合稱為選擇集，以下記 選擇集 為S 。顯然，效用最大化是投資者和 消費者的目的。以下我們分別給出序數(shù)效用和基數(shù)效用的基本理論。消費者對某種商品的選擇的全體構(gòu)成了社會 16 對商品的總需求；廠商也根據(jù)自己的效用函數(shù)制定該商品的產(chǎn)量，所有廠商的總產(chǎn)量構(gòu)成了社會對該商品的總共給，當總供給與總需求相等時，該商品的價格就確定下來。 第四 講 期望效用與隨機占優(yōu) 效用理論理論是經(jīng) 濟學的基本概念，它可以被用來解釋商品的定價問題。 二者間的關系是： ? ?? ?jjmjEm??? ? 注意 ：在二叉樹模型中，我們沒有得出風險中性概率與客觀概率間的 具體表達式。 五、風險中性概率測度與隨機折線因子的關系 設 1 rfre??，則對任意未定權(quán)益 x ， ? ? ? ?rQp x e E x?? 成立。 定理： 存在唯一的非零 m?? ，使得對任意的 x?? ， ? ? ? ?p x E mx? 定理中的 m 成為隨機折現(xiàn)因子，從表達式中可以看出其意義。 （ 2）在內(nèi)積 ? ? ? ?,x y E xy 下， ? 成為一個 Hilbert 空間。不完全市場的定價問題轉(zhuǎn)化為 ? 的子空間上的線性函數(shù)是否可以擴張到 ? 上去。 我們假定基本證券是可定價的，因此它們的線性組合（ 可交易資產(chǎn) ）也是可定價的，如果市場上所有的證券都是基本證券的線性組合，則市場中的證券都是可定價的，此時市場是 完全 的，否則是 不完全 的。 對隨機環(huán)境的情形，無套利的幾種定義仍成立。 策略的未來價值仍是：1niiixx??????。 用隨機向量 12( , , , )nx x x x ?? 表示資產(chǎn)未來的價格，這里每個資產(chǎn)的價格是非負的。（證明見 P26） 定理的含義 是：如果市場不存在任何不確定性，則所有的資產(chǎn)都是無風險資產(chǎn)，因而收益率都相等 。 我們用： ? ?iixpx 表示 i 證券的收益率，注意該定義與一般的收益率的區(qū)別。表明未來值錢的資產(chǎn)當前也值錢。 （ 4） 線性定價法則 ： 指 :p ? 是一個線性函數(shù)；表明組合的當前價值等于其成分的當前價值之 和。 （ 3） 齊次定價法則： 指 :p ? 是一個齊次函數(shù)， ? ? ? ?p x p x??? 。 （ 2） 正齊次定價法則 ：指 :p ? 是一個正齊次函數(shù)， ? ? ? ?,0p x p x? ? ???。 無套利定價的五種方式為 ： （ 1） 可定價法則 ：存在定價函數(shù) :p ? 。 1niiixx?????? 為該策略的未來的市值。 13 用 12( , , , )n? ? ? ? ?? 表示 資產(chǎn)的持有量。 此時的定價問題是一個簡單的貼現(xiàn)問題。 第三講 離散時間證券市場 模型與線形定價法則 一、 確定環(huán)境下的無套利假設 我們以下假定模型是單期的。） 對任一資產(chǎn) j ，它的期望收益率 jr 為： ? ?1 ,kj f ij i i i iir r b f f E F ??? ? ? ??。 對于第 j 種資產(chǎn)，其收益率為1kj j ij i jiR b F???? ? ??，因此： 21kj ij i jiDR b DF D????? 第一部分是系統(tǒng)風險，第二部分為非系統(tǒng)風險。 12 那么：1co v , 0ki i iiFF??????????，即 0i?? ， 0?? 。則因子模型可以表述為： ? ?? ?? ?? ?? ?12121212,TnTnij nkTkTnR a bFR R R Ra a a abbF F F F?? ? ? ??? ? ?????? 假定： ? ? ? ? ? ? ? ?c o v , c o v , c o v , 0i j i j i j iF F F E? ? ? ?? ? ? ?。因子的選取方法可以通過主成分分析以消除因子間的相關性。 m 的 期望收益率 為： ? ?? ?? ?? ?1111mmmffffffr E RERVra crVra crb ara cr????????????????????? 方差為： ? ?? ? ? ?? ?21221112m m mfmffffffffVra crr V ra cr a crb r a r ca cr? ? ?????????????????????? 風險資產(chǎn)收益率向量 R 與 mR 的 斜方差 為： ? ? ? ?? ?1 1c ov , c ov ,1fmfffVrR R R Ra c rra c r???????????????? 因此： ? ? ? ?1 c o v ,f f mr a cr R R? ? ? ? 又因： 11 ? ?? ?? ?? ?? ?2cov ,cov ,cov ,1m m mmmmmfmfmffRRRRRRra crrra cr????????????????? 所以 2： ? ? ? ?2c o v ,1 mf m fmRRr r r??? ? ? 定義 ? ?2cov , mmRR???為 風險資產(chǎn)的 ? 向量 ，則： ? ?1f m fr r r??? ? ? 從： ? ?f f f m fr r r r?? ? ? 三、套利定價模型 APT 是 1976年由 Ross 提出來的，它與 CAPM 的區(qū)別是： 不假定投資者按照均值方差模型選取投資組合， 只假定市場是無套利的 。 當投資者的最優(yōu)選擇在 m 的上方時，意味著投資者以 fr 借入 0p? 比例的資金并有資于 m ，此時稱投資者的組合為 杠桿組合。從圖象上看， m 是直線 ? ? ? ? ? ? 1111p p f f fr r r V r? ? ??????? ? ? ?????與風險資產(chǎn)組合的 Markowitz 邊界的 切點 。我們選的第一個組合是完全投資于無風險資產(chǎn)，即 fr 對應的組合；第二個組合是完全投資于風險資產(chǎn)，即與 0 0p? ? 對應的組合。 9 ? ?? ?1010p p fTp f p fVrr r r? ? ???? ? ?? ? ? ? 因此： ? ?1 1p p fVr? ? ???? pp r c ad? ?? 這里的 , , ,abcd 的含義與（ A）相同，組合中無風險資產(chǎn)的比例為： 0 11pp????? 最小方差組合的方差為： ? ? ? ?? ? ? ?211211111p p pp f p fp f fVr V V V rr V r? ? ?? ? ? ?? ? ???????? ? ??? ? ? 又因： ? ?? ? ? ?1111Tp f p fp f fr r rr V r??? ? ??? ? ??? ? ? 因此： ? ? ? ? ? ? 1221 11p p f f fr r r V r? ? ??????? ? ? ????? 所以最小方差組合在 r?? 坐標系中對應兩條直線： ? ? ? ? ? ? 1111p p f f fr r r V r? ? ??????? ? ? ? ????? 這兩條直線是從點 ? ?0,fr 出發(fā)的斜率為 ? ? ? ? 1111ffr V r???????? ? ?????的兩條直線。 由基金分離定律，對任意的最小方差組合 s ，我們可以通過正交的最小方差組合 ,pp? 分解它： 12s p p? ? ? ? ? ??? 因此： ? ?? ?? ?121c ov ,c ov ,v a rspp p ppRRR R RR??????? 故 1 sp??? ，類似的 2 sp???? 于是： 1sp sp????? 如果 s 不是最小方差組合，我們可以通過線 性回歸得到如下的： s sp p sp p sR R R? ? ???? ? ? 其中： 1sp sp?????， ? ? ? ?0 , c o v , c o v , 0s s p s pE R R? ? ? ?? ? ?1 所以存在表示式： ? ?s sp p sp pr r r?????? 其次， 我們求解（ B）。 8 最小方差組合的一個 重要性質(zhì) 是：除 mvp 外的任一個最小方差組合 p ，有且僅有一個最小方差組合 q 滿足 ? ?cov , 0pqRR ? 。 mvp 的權(quán)重為： 11 1mvp ag h Vcc? ?? ? ? 定義分散化組合 d 為： 11d Va???? 由 ： p p d p mvpac? ? ? ? ???，及 1ppac????可知：任意的最小方差組合 p 是 d 與 mvp 的組合。 設 ,pq為兩個組合，其中 p 為最小方差組合；則： 7 ? ?? ?? ?c o v ,111pqTqpTq p pp q pp q p qpqRRVrcr r a r r bdc a arrd c c c??? ? ? ??????????? ? ? ???? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ? 設 pq? ，則最小方差組合的標準差與期望收益間的關系為： 22 1ppcard c c? ??? ? ????? 化簡后得到： ? ?222/ 11 / /pp r a cc d c? ??? 這是以 0,ac??????為中心，以p ar c?為對稱軸的 雙曲線 。 ,p q p qrr?? ，假定pqrr? ； 由前面的分析我們可以得到： ppg r h? ?? ， qqg rh? ?? 由于任意的最小方差組合 s 都可以表示為： ssg rh? ?? ；又因 pqrr? ，所以選取適當?shù)臋?quán)重可以使得 s 是 ,pq的組合。由此，我們可以得到重要的： 基金分離定律 ：所有的最小方差組合都可以通過任意選定的兩個最小方差組合的再組合得到 。 定義： 1 ( 1 1 ) ( )2