湖南師大附中20xx第五次月考數(shù)學(xué)試題-文庫吧資料
2024-08-31 20:03本頁面
【正文】 ( , ), ( , ),M x y N x y則 21 2 1 2 1 228 , ( 2 )34 kx x y y k x xk? ? ? ? ? ?? 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( 2 , )P M P N x m y x m y x x m y y? ? ? ? ? ? ? ? ? 由于菱形的對角線垂直，故 ( ) 0 ,PM PN M N? ? ? 故 1 2 1 2( ) 2 0k y y x x m? ? ? ? ?，即 2 1 2 1 2( 2) 2 0k x x x x m? ? ? ? ? ? 即： 222 88( 2 ) 2 03 4 3 4kkkm? ? ? ??? 由已知條件知 0k? 且 22211,033 4 44kk R m mk k? ? ? ? ? ? ?? ? 故存在滿足的是 ( ,0)Pm 且 m 的取值范圍是 1(0, )4. 2（本小題滿分 13 分） 已知函數(shù) ( )( ) ln 1f x x=+， 21()2g x ax bx=+（ 0a185。 所有顧客在三次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金總額的期望值是 1 3 3 10 2 3 1 .58 8 8 8E X m m m m? ? ? ? ? ? ? ? ?。假設(shè)顧客每次抽獎(jiǎng)時(shí)獲獎(jiǎng)與否的概率都是 12，請問：商場應(yīng)將每次中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)額 m 最高定為多少元，才能使促銷方案 對商場有利？ 解析：（ 1）從 2 種服裝， 2 種家電， 3 種日用品中，任選出 3 中商品一共有 37C 種選法，選出的 3 種商品中沒有日用品的選法有 34C 種，所以選出的 3 種商品中至少有一種日用商品的概率為 3437 311 35CP C? ? ?。CMBS NE? ， ∴ h? CMBCMNS NES??? = 423 .即點(diǎn) B 到平面 CMN 的距離為 423 . 解法二：（Ⅰ）取 AC 中點(diǎn) O ，連結(jié) OS 、 OB .∵ SA SC? ， AB BC? ，∴ AC SO? 且 AC BO? . ∵平面 SAC ⊥平面 ABC ， 平面 SAC ∩平面 ABC AC? . ∴ SO⊥面 ABC ，∴ SO BO? . 如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz? 則 (2,0,0)A ， (0,2 3,0)B ， (2,0,0)C ， (0,0,2 2)S ， (1, 3,0)M ， (0, 3, 2)N ∴ ( 4,0,0)AC ?? ， (0, 2 3 , 2 2 )SB ? ， ∵ 0AC SB??， ∴ AC SB? . （Ⅱ）由（Ⅰ）得 (3,3 3, 0)CM ? ， ( 1, 0, 2 )MN ?? ，設(shè) ( , , )n x y z? 為平面 CMN 的一個(gè)法向量，則 3 3 020C M n x yMN n x z? ? ? ? ???? ? ? ? ??? 取 1z? ，則 2x? ， 6y?? ， ∴ ( 2, 6,1)n ??， 又 (0, 0, 2 2 )OS ? 為平面 ABC 的一個(gè)法向量， 1co s ,3n O Sn O S n O S?? ? ?? ??.∴ 二面角 N CM B??的余弦值為 13. （Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得 ( 1, 3, 0)MB ?? ， ( 2, 6,1)n ??為平面 CMN 的一個(gè)法向量， ∴點(diǎn) B 到平面 CMN 的距離 423n MBdn???. 18． (本小題滿分 12 分 ) 某商場 準(zhǔn)備在春節(jié)期間舉行促銷活動(dòng)，根據(jù)市場調(diào)查，該商場決定從 2 種服裝， 2 種家電，3 種日用品這 3 類商品中，任意選出 3 種商品進(jìn)行促銷活動(dòng)。 解：（ 1） OP OQ∥ ? ?2 si n c o s 1 c o s ( )22xx x f x? ? ? ? ? ? ( ) ( si n c o s ) 2 si n ( )4f x x x x ?? ? ? ? ? ? ? ()fx的遞減區(qū)間，即 為函數(shù) 2 sin( )4x ?? 的遞增區(qū)間 2 2 )2 4 2k x k k Z? ? ???? ? ? ? ? ? ?（， 32 2 )44k x k Z????? ? ? ? ?（ ? ()fx的遞減區(qū)間為 3[ 2 2 ] )44k k k Z????? ? ?， （ （ 2） (2fA??） ， 2 s in ( ) 24A ?? ? ? ? ?. 242Ak???? ? ? ?kZ? 又因?yàn)?0,2A ????????， 4A ??? 在 ABC? 中， 2 2 2 2 c osa b c bc A? ? ? 即 2 2 2) 2 ( 2 2 )b c bc bc? ? ? ? ?(2 2 22bc? ? ? （當(dāng)且僅當(dāng) bc? 時(shí)取等號(hào)） 1 1 2 2 1s in ( 2 2 )2 2 2 2 2S b c A? ? ? ? ? ? ? ? ? ABC? 的面積的最大值為 2122? 1（本小題滿分 12 分） 在三棱錐 S ABC? 中，△ ABC 是邊長為 4 的正三角形，平面 SAC ⊥平面 ABC ， 23SA SC?? ， M 、 N 分別為 AB 、 SB 的中點(diǎn) . （Ⅰ）證明： AC SB? ； （Ⅱ）求二面角 N CM B??的 余弦 值； （Ⅲ）求點(diǎn) B 到 平面 CMN 的距離 . 解析 ： 解法一 ： （Ⅰ）取 AC 中點(diǎn) D ，連結(jié) SD 、 BD . ∵ SA SC AB BC AC SD? ? ? ?， ， ， AC BD? 又 BD SD D? ， ∴ AC? 平面 SDB ，又 SB? 平面SDB ， AC SB??. （Ⅱ）∵ AC? 平面 SDB ， AC? 平面 ABC ∴平面 SDB? 平面 ABC . 過 N 作 NE BD? 于 E ， 則 NE? 平面 ABC ， 過 E 作 EF CM? 于 F ，連結(jié) NF ，則 NF CM? . ∴ NFE? 為二面角
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