【正文】 并且線(xiàn)性插值和拋物線(xiàn)插值在所考慮區(qū)間內(nèi)插值得到的數(shù)值精確度比在考慮區(qū)間外所得到的數(shù)值的精確度要高，這說(shuō)明了內(nèi)插比外推插值效果要好。 } cout所求函數(shù)值為 fendl。 else tmp=tmp*(xa[j])/(a[i]a[j])。j=2。i++) { tmp=1。 } loop:for(i=0。in1。 if(xa[1])goto loop。 cinx。i++) { cina[i]b[i]。 for(i=0。 cinn。 double a[10],b[10],x,f,tmp。 } 分段拋物線(xiàn)插值法程序源代碼 includeiostream includecmath using namespace std。 } cout所求函數(shù)值為 fendl。 else tmp=tmp*(xa[j])/(a[i]a[j])。j=1。i++) { tmp=1。 } loop:for(i=0。in1。 if(xa[1])goto loop。 cinx。i++) { cina[i]b[i]。 for(i=0。 cinn。 double a[10],b[10],x,f,tmp。 編程計(jì)算 f(x)= 的近似值 （一）分段插值： 分段線(xiàn)性插值法程序源代碼 includeiostream includecmath using namespace std。拉格朗日法形式對(duì)稱(chēng)，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，便于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，只 是計(jì)算量大。 } return 0。 f=f+tmp*b[i+1]。in。 f=b[0]。j) { b[j]=(b[j]b[j1])/(a[j]a[j1i])。i++) for(j=n。 for(i=0。 cout請(qǐng)輸入所求函數(shù)值對(duì)應(yīng)的 x 點(diǎn) endl。i++) { cina[i]b[i]。 for(i=0。 cinn。 double a[100],b[100]。 （二） Newton 插值： 牛頓插值法程序源代碼 includeiostream includecmath using namespace std。 } cout所求函數(shù)值為 f_x=fendl。 else tmp=tmp*(xa[j])/(a[i]a[j])。j=n。i++) { tmp=1。 for(i=0。 cinx。 } double f,x,tmp。i=n。 cout請(qǐng)輸入 n+1 個(gè)插值點(diǎn) :endl。 開(kāi)始 插值節(jié)點(diǎn)序列，對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值 根據(jù)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)確定插值次數(shù)然后 for i 0 to n a=(12*(xxi))/(xixk)*Li(x)*Li(x)) b=(xxi)* Li(x)*Li(x) 根據(jù)插值公式計(jì)算插值點(diǎn)的值 for i 0 to n H(x)=yi((12（ xxi） *a） +mi*b*b) 輸出插值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的值 結(jié)束 cout請(qǐng)輸入插值節(jié)點(diǎn)控制數(shù) :nendl。 int main() { int i,j,n。 f=f+tmp*b[i+1]。f=f+tmp*b[i+1]。 f=f+tmp*b[i]。圖在課本第 64 面 （ 4） 用不同方式方法編程給出計(jì)算 Lagrange 插值和 Newton 插值的算法，分析和比較兩種算法的編程難易以及算法的效率差異和總計(jì)算量之間的關(guān)系。 （ 2） 分別用 Lagrange 插值公式和 Newton 插值公式通過(guò)編程計(jì)算函數(shù) f（ x）的近似值。 （ 4） 通過(guò)各種方法對(duì)同意題目的求解，體會(huì)各種方法的精度差異。 （ 2） 通過(guò)編程計(jì)算實(shí)踐，搞清 Lagrange 插值， Newton 插值，分段插值和 Hermite 插值的基本計(jì)算流程。因此應(yīng)該了解每一種方法的來(lái)龍去脈，尤其是它的困難所在，并通過(guò)計(jì)算機(jī)實(shí)習(xí)來(lái)熟悉和掌權(quán)這些方法 .。 實(shí)驗(yàn)小結(jié)及體會(huì)： 在含根區(qū)間內(nèi)求單根最簡(jiǎn)單最可靠的方法是二分法； Newton 法實(shí)質(zhì)上是一種線(xiàn)性化方法，基本思想是將非線(xiàn)性方程逐步歸結(jié)為某種線(xiàn)性方程來(lái)求解；弦割法的基本思想是避免計(jì)算導(dǎo)數(shù)，直接用兩個(gè)連續(xù)的近似根的線(xiàn)性插值來(lái)近似。 return 0。 cout近似根 x=xendl。 x1=x2。 x2=x1s(x1)*(x1x0)/(s(x1)s(x0))。 i=0。 cout請(qǐng)輸入迭代初始值 x0,x1,和控制精度 eendl。 int main() { int i。 將牛頓迭代法應(yīng)用于以下方程求根： 1 x=(2e^x+x*x)/3 2 3*x*xe^x=0 弦截法程序源代碼： includeiostream includecmath double s(double t) { return t*t*tt1。在精度要求相同時(shí)，牛頓迭代法迭代次數(shù)比二分法 ,簡(jiǎn)單迭代法， Aitken 迭代法都要少，牛頓迭代法是一種更快的迭代法。這兩句順序不能換過(guò)來(lái)，當(dāng)換過(guò)來(lái)時(shí)，錯(cuò)誤如下 c:\program files\microsoft visual studio\myprojects\erww\(26) : fatal error C1004: unexpected end of file found 執(zhí)行 時(shí)出錯(cuò) .： 這是因?yàn)樵趫?zhí)行循環(huán)體之前沒(méi)有對(duì) x2 賦值，系統(tǒng)無(wú)法識(shí)別賦值到 x1 的值是多少，因此也無(wú)法的到想要的結(jié)果。 00001 時(shí)，牛頓迭代法迭代次數(shù)為 3 x2=s(x1)。 } 調(diào)試過(guò)程，實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析： 計(jì)算 x*x*xx1=0 在 [1,2]內(nèi)的近似根。 cout所需迭代次數(shù) i=iendl。 } x=(x1+x2)/2。 x2=s(x1)。 x1=x0。 cin x0e。 double x,x0,x1,x2,e。 } using namespace std。 Aitken 迭代法和二分法的比較： 當(dāng)精度都是 時(shí)， Aitken 迭代法迭代次數(shù)為 5.，比二分法少 9 次，而且 Aitken 迭代法所求出的近似根為： 1， 32472，更接近理想值， Aitken 迭代法是將迭代值在迭代一次從迭代次數(shù)和所求根的差異上可以看出 Aitken 迭代法 是一種加速迭代法。執(zhí)行順序決定的近似根式子應(yīng)該是x=x0。 x2=s(x1)。改成 x=x1，輸出結(jié)果近似根為 ，迭代次數(shù)為 5，這與要求得到的試驗(yàn)結(jié)果 有一些差距，這是有循環(huán)語(yǔ)句 i++。 } 調(diào)試過(guò)程，實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析： 計(jì)算 x*x*xx1=0 在 [1,2]內(nèi)的近似根 。 cout所需迭代次數(shù) i=iendl。 } x=x0。 x2=s(x1)。 while(fabs(x0*x0*x0x01)e) { i++。 cinx0e。 double x,x0,x1,x2,e。 } using namespace std。 簡(jiǎn)單迭代法的迭代過(guò)程可能是收斂的也可能是發(fā)散的，簡(jiǎn)單迭代法對(duì)迭代公式有要求，迭代公式必須是收斂的，即結(jié)果逐漸趨近于某個(gè)極限。 簡(jiǎn)單迭代法逼近速度比二分法好，計(jì)算的效率比二分法提高了很多精度要求越高，簡(jiǎn)單迭代法的優(yōu)勢(shì)也越明顯。這種不收斂的迭代過(guò)程是發(fā)散的，一個(gè)發(fā)散的迭代過(guò)程，顯然其結(jié)果是毫無(wú)價(jià)值的。 簡(jiǎn)單迭代法歸結(jié)于找直線(xiàn)和曲線(xiàn)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其中迭代法的效果并不是總能令人滿(mǎn)意的。導(dǎo)致 x1=pow(s(x0),1/3)不再是三次求根的函數(shù)式 由運(yùn)行結(jié)果看出： 精度達(dá)到 時(shí)，簡(jiǎn)單迭代法迭代次數(shù)為 6 精度達(dá)到 時(shí)，簡(jiǎn)單迭代法迭代次數(shù)為 8。 x1=pow(s(x0),1/3)。 精度達(dá)到 時(shí)，程序運(yùn)行如下圖： 當(dāng)精度達(dá)到 時(shí)，程序運(yùn)行如下圖： 當(dāng)循環(huán)體程序代碼如下： x1=pow(s(x0),1/3)。 return 0。 cout近似根 x=xendl。 x1=pow(s(x0),)。 x1=pow(s(x0),)。 i=0。 cout請(qǐng)輸入迭代初始值 x0,和控制精度 eendl。 int main() { int i。 簡(jiǎn)單迭代法程序源代碼： includeiostream includecmath double s(double t) { return (t+1)。 二分法對(duì)有根區(qū)間逐步逼近得到更精確的近似根，二分法不采用等步長(zhǎng)掃描，而是在有根區(qū)間 [a,b]中，取中點(diǎn)，然后計(jì)算中點(diǎn)值，判斷中點(diǎn)對(duì)應(yīng)函數(shù)值和端點(diǎn)函數(shù)值乘積的正負(fù)來(lái)確定新的端點(diǎn)，當(dāng)有根區(qū)間長(zhǎng)度小于精確度時(shí)得到近似根。 精度要求越高，二分法次數(shù)越多。 由運(yùn)行結(jié)果看出： 精度達(dá)到 時(shí)，二分法次數(shù)為 10。 當(dāng)精度達(dá)到 時(shí)，程