【正文】 ∴ S△ OEG= ． （ 3）存在． ①當點 Q 在 AC 上時，點 Q 即為點 G， 如圖 1，作 ∠ FOQ 的角平分線交 CE 于點 P1， 由 △ OP1F≌△ OP1Q，則有 P1F⊥ x軸，由于點 P1在直線 AC 上，當 x=10 時， y=﹣ = ， ∴ 點 P1（ 10， ）． ②當點 Q 在 AB 上時， 如圖 2，有 OQ=OF，作 ∠ FOQ 的角平分線交 CE 于點 P2， 過點 Q 作 QH⊥ OB 于點 H，設(shè) OH=a， 則 BH=QH=14﹣ a， 在 Rt△ OQH 中， a2+（ 14﹣ a） 2=100， 解得： a1=6， a2=8， ∴ Q（﹣ 6， 8）或 Q（﹣ 8， 6）． 連接 QF 交 OP2于點 M． 當 Q（﹣ 6， 8）時，則點 M（ 2， 4）． 當 Q（﹣ 8， 6）時，則點 M（ 1， 3）． 設(shè)直線 OP2的解析式為 y=kx，則 2k=4， k=2． ∴ y=2x． 解方程組 ，得 ． ∴ P2（ ）； 當 Q（﹣ 8， 6）時，則點 M（ 1， 3）， 同理可求 P2′（ ）， P3（ ）； 如圖，有 QP4∥ OF， QP4=OF=10，點 P4在 E 點， 設(shè) P4的橫坐標為 x，則點 Q 的橫坐標為 x﹣ 10， ∵ yQ=yP，直線 AB 的函數(shù)解析式為 y=x+14， ∴ （ x﹣ 10） +14=﹣ x+2 ， 解得： x= ，可得： y= ， ∴ 點 P4（ ， ）， 當 Q 在 BC 邊上時，如圖， OQ=OF=10，點 P5在 E 點， ∴ P5（ 0， 2 ）， 綜上所述，滿足條件的 P 點坐標為（ 10， ）或（ ）或（ ）或（ ， ）或（ 0， 2 ）． 9．（ 2020?廣州）如圖，拋物線 y= 與 x軸交于 A、 B 兩點（點 A在點 B 的左側(cè)），與 y 軸交于點 C． （ 1）求點 A、 B 的坐標； （ 2）設(shè) D 為已知拋物線的 對稱軸上的任意一點，當 △ ACD 的面積等于 △ ACB 的面積時，求點 D 的坐標； （ 3）若直線 l過點 E（ 4， 0）， M 為直線 l上的動點，當以 A、 B、 M 為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線 l的解析式． 解題思路 ： （ 1） A、 B 點為拋物線與 x軸交點，令 y=0，解一元二次方程即可． （ 2）根據(jù)題意求出 △ ACD 中 AC 邊上的高，設(shè)為 h．在坐標平面內(nèi)，作 AC 的平行 線，平行線之間的距離等于 h．根據(jù)等底等高面積相等，可知平行線與坐標軸的交 點即為所求的 D 點． 從一次函數(shù)的觀點來看，這樣的平行線可以看做是直線 AC 向上或向下平移而形成．因此先求出直線 AC 的解析式，再求出平移距離，即可求得所作平行線的解析式，從而求得 D 點坐標． 注意：這樣的平行線有兩條，如答圖 1 所示． （ 3）本問關(guān)鍵是理解 “以 A、 B、 M為頂點所作的直角三角形有且只有三個 ”的含義． 因為過 A、 B點作 x軸的垂線，其與直線 l的兩個交點均可以與 A、 B點構(gòu)成直角三角形，這樣已經(jīng)有符合題意的兩個直角三角形；第三個直角三角形從直線與圓的位置關(guān)系方面考慮，以 AB 為直徑作圓，當直線與圓相切時，根據(jù)圓 周角定理，切點與 A、 B 點構(gòu)成直角三角形．從而問題得解． 注意：這樣的切線有兩條，如答圖 2 所示． 解答： 解：（ 1）令 y=0，即 =0， 解得 x1=﹣ 4， x2=2， ∴ A、 B 點的坐標為 A（﹣ 4， 0）、 B（ 2， 0）． （ 2） S△ ACB= AB?OC=9， 在 Rt△ AOC 中， AC= = =5， 設(shè) △ ACD 中 AC 邊上的高為 h，則有 AC?h=9，解得 h= ． 如答圖 1，在坐標平面內(nèi)作直線平行于 AC，且到 AC 的距離 =h= ，這樣的直線有2 條，分別是 l1和 l2，則直線與對稱軸 x=﹣ 1 的兩個交點即 為所求的點 D． 設(shè) l1交 y 軸于 E，過 C 作 CF⊥ l1于 F，則 CF=h= ， ∴ CE= = ． 設(shè)直線 AC 的解析式為 y=kx+b，將 A（﹣ 4， 0）， C（ 0， 3）坐標代入， 得到 ，解得 ， ∴ 直線 AC 解析式為 y= x+3． 直線 l1可以看做直線 AC 向下平移 CE 長度單位（ 個長度單位）而形成的， ∴ 直線 l1的解析式為 y= x+3﹣ = x﹣ ． 則 D1的縱坐標為 （﹣ 1）﹣ = ， ∴ D1（﹣ 1， ）． 同理，直線 AC 向上平移 個長度單位得到 l2，可求得 D2（﹣ 1， ） 綜上所述， D 點坐標為： D1（﹣ 1， ）， D2（﹣ 1， ）． （ 3）如答圖 2，以 AB 為直徑作 ⊙ F，圓心為 F．過 E點作 ⊙ F 的切線，這樣的 切線有 2 條． 連接 FM，過 M 作 MN⊥ x軸于點 N． ∵ A（﹣ 4， 0）， B（ 2， 0）， ∴ F（﹣ 1， 0）， ⊙ F 半徑 FM=FB=3． 又 FE=5，則在 Rt△ MEF 中， ME= =4， sin∠ MFE= ， cos∠ MFE= ． 在 Rt△ FMN 中， MN=MF?sin∠ MFE=3 = ， FN=MF?cos∠ MFE=3 = ，則 ON= ， ∴ M 點坐標為（ ， ） 直線 l過 M（ ， ）， E（ 4， 0）， 設(shè)直線 l的解析式為 y=kx+b，則有 ，解得 ， 所以直線 l的解析式為 y= x+3． 同理，可以求得另一條切線的解析式為 y= x﹣ 3． 綜上所述，直線 l的解析式為 y= x+3 或 y= x﹣ 3． 10．（ 2020?杭州）如圖， AE 切 ⊙ O于點 E， AT 交 ⊙ O于點 M， N，線段 OE 交 AT 于點 C，OB⊥ AT 于點 B，已知 ∠ EAT=30176。而 ∠ AGB=∠ AGH=90176。 AE′公共， ∴ Rt△ ABE≌ Rt△ AB′E′≌ Rt△ ADE′， ∴∠ DAE′=∠ B′AE′=∠ BAE=30176。 …（ 10 分） ∵ AB′=AD， ∠ AB′E′=∠ ADE39。 ∴∠ BAE=∠ CBF， 在 △ ABE 和 △ BCF 中， ∴△ ABE≌△ BCF． …（ 4 分） （ 2）解： ∵ 正方形面積為 3， ∴ AB= ， …（ 5 分） 在 △ BGE 與 △ ABE 中， ∵∠ GBE=∠ BAE， ∠ EGB=∠ EBA=90176。 AB=BC， ∴∠ ABF+∠ CBF=90176?？勺C得 △ BGE∽△ ABE，由相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得答案； （ 3）首先由正切函數(shù)，求得 ∠ BAE=30176。 ∠ AOR=∠ FOC， ∴△ AOR∽△ FOC， ∴ ， ∴ OF= ， ∴ 點 F（ ， 0）， 設(shè)點 B（ x， ）， 過點 B 作 BK⊥ AR 于點 K，則 △ AKB∽△ ARF， ∴ ， 即 ， 解得 x1=6， x2=3（舍去）， ∴ 點 B（ 6， 2）， ∴ BK=6﹣ 3=3， AK=6﹣ 2=4， ∴ AB=5 …（ 8 分）； （求 AB 也可采用下面的方法） 設(shè)直線 AF 為 y=kx+b（ k≠0）把點 A（ 3， 6），點 F（ ， 0）代入得 k= ， b=10， ∴ ， ∴ ， ∴ （舍去）， ， ∴ B（ 6， 2）， ∴ AB=5…（ 8 分） （其它方法求出 AB 的長酌情給分） 在 △ ABE 與 △ OED 中 ∵∠ BAE=∠ BED， ∴∠ ABE+∠ AEB=∠ DEO+∠ AEB， ∴∠ ABE=∠ DEO， ∵∠ BAE=∠ EOD， ∴△ ABE∽△ OED． …（ 9 分） 設(shè) OE=x，則 AE= ﹣ x （ ）， 由 △ ABE∽△ OED 得 ， ∴ ∴ （ ） …（ 10 分） ∴ 頂點為（ ， ） 如答圖 3，當 時， OE=x= ，此時 E 點有 1 個； 當 時，任取一個 m 的值都對應著兩個 x值，此時 E 點有 2 個． ∴ 當 時， E 點只有 1 個 …（ 11 分） 當 時， E 點有 2 個 …（ 12 分）． 7．（ 2020?益陽）已知：如圖 1，在面積為 3 的正方形 ABCD中， E、 F 分別是 BC 和 CD 邊上的兩點， AE⊥ BF 于點 G，且 BE=1． （ 1）求證： △ ABE≌△ BCF； （ 2）求出 △ ABE 和 △ BCF 重疊部分（即 △ BEG）的面積； （ 3）現(xiàn)將 △ ABE 繞點 A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到 △ AB′E′（如圖 2），使點 E落在 CD邊上的點 E′處，問 △ ABE 在旋轉(zhuǎn)前后與 △ BCF 重疊部分的面積是否發(fā)生了變化？請說明理由． 解題思路 ： （ 1）由四邊形 ABCD 是正方形，可得 ∠ ABE=∠ BCF=90176。 即 P、 O、 B 三點在同一直線上， ∴ y=2 不符合題意，舍去， ∴ 點 P 的坐標為（ 2，﹣ 2 ） ②若 OB=PB，則 42+|y+2 |2=42， 解得 y=﹣ 2 ， 故點 P 的坐標為（ 2，﹣ 2 ）， ③若 OP=BP，則 22+|y|2=42+|y+2 |2， 解得 y=﹣ 2 ， 故點 P 的坐標為（ 2，﹣ 2 ）， 綜上所述，符合條件的點 P 只有一個，其坐標為（ 2，﹣ 2 ）， 5．（ 2020?煙臺）如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形 ABCD 的三個頂點 B（ 1， 0）， C（ 3，0）， D（ 3， 4）．以 A為頂點的拋物線 y=ax2+bx+c 過點 C．動點 P 從點 A出發(fā)，沿線段 AB向點 B 運動．同時動點 Q 從點 C 出發(fā)，沿線段 CD 向點 D 運動．點 P， Q 的運動速度均為每秒 1 個單位．運動時間為 t 秒．過點 P 作 PE⊥ AB 交 AC 于點 E． （ 1）直接寫出點 A的坐標， 并求出拋物線的解析式； （ 2）過點 E 作 EF⊥ AD 于 F，交拋物線于點 G，當 t 為何值時， △ ACG的面積最大？最大值為多少？ （ 3）在動點 P， Q 運動的過程中，當 t 為何值時，在矩形 ABCD內(nèi)（包括邊界）存在點 H，使以 C， Q， E， H 為頂點的四邊形為菱形？請直接寫出 t 的值． 解題思路 ： （ 1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可以寫出點 A得到坐標；由頂點 A的坐標可設(shè)該拋物線的頂點式方程為 y=a（ x﹣ 1） 2+4，然后將點 C 的坐標代入，即可求得系數(shù) a 的值（ 利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式）； （ 2）利用待定系數(shù)法求得直線 AC 的方程 y=﹣ 2x+6；由圖形與坐標變換可以求得點P 的坐標（ 1， 4﹣ t），據(jù)此可以求得點 E 的縱坐標，將其代入直線 AC 方程可以求得點 E 或點 G 的橫坐標；然后結(jié)合拋物線方程、圖形與坐標變換可以求得 GE=4﹣ 、點 A到 GE 的距離為 ， C 到 GE 的距離為 2﹣ ；最后根據(jù)三角形的面積公式可以 求得 S△ ACG=S△ AEG+S△ CEG=﹣ （ t﹣ 2） 2+1，由二次函數(shù)的最值可以解得 t=2 時， S△ ACG的最大值為 1； （ 3）因為菱形是鄰邊相等的平行四邊形，所以點 H 在直線 EF 上． 解答： 解：（ 1） A（ 1， 4）． …（ 1 分） 由題意知，可設(shè)拋物線解析式為 y=a（ x﹣ 1） 2+4 ∵ 拋物線過點 C（ 3， 0）， ∴ 0=a（ 3﹣ 1） 2+4， 解得， a=﹣ 1， ∴ 拋物線的解析式為 y=﹣（ x﹣ 1） 2+4，即 y=﹣ x2+2x+3． …（ 2 分） （ 2） ∵ A（ 1， 4）， C（ 3， 0）， ∴ 可求直線 AC 的解析式為 y=﹣ 2x+6． ∵ 點 P（ 1， 4﹣ t）． …（ 3 分） ∴ 將 y=4﹣ t 代入 y=﹣ 2x+6 中，解得點 E 的橫坐標為 x=1+ ． …（ 4 分） ∴ 點 G 的橫坐標為 1+ ，代入拋物線的解析式中，可求點 G 的縱坐標為 4﹣ ． ∴ GE=（ 4﹣ ）﹣（ 4﹣ t） =t﹣ ． …（ 5 分） 又點 A到 GE 的距離為 ， C 到 GE 的距離為 2﹣ ， 即 S△ ACG=S△ AEG+S△ CEG= ?EG? + ?EG（ 2﹣ ） = ?2（ t﹣ ） =﹣ （ t﹣ 2） 2+1． …（ 7 分） 當 t=2 時， S△ ACG的最大值為 1． …（ 8 分） （ 3） t= 或 t=20﹣ 8 ． …（ 12 分） （說明：每值各占（ 2 分），多出的值未舍去，每個扣 1 分） 6．（ 2020?義烏市）如圖 1，已知直線 y=kx與拋物線 y= 交于點 A（ 3， 6）． （ 1）求直線 y=kx的解析