【正文】 EC+S△ABE=S△ABC，是定值．作AH⊥BC于H點(diǎn)，則BH=2，S四邊形AECF=S△ABC===；（3）解：由“垂線段最短”可知，當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短．故△AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時(shí)，正三角形AEF的面積會最小，又S△CEF=S四邊形AECF﹣S△AEF，則△CEF的面積就會最大．由（2）得，S△CEF=S四邊形AECF﹣S△AEF=﹣=．點(diǎn)睛：本題考查了菱形每一條對角線平分一組對角的性質(zhì)，考查了全等三角形的證明和全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了三角形面積的計(jì)算，本題中求證△ABE≌△ACF是解題的關(guān)鍵．8．如圖，點(diǎn)O是正方形ABCD兩條對角線的交點(diǎn)，分別延長CO到點(diǎn)G，OC到點(diǎn)E，使OG=2OD、OE=2OC，然后以O(shè)G、OE為鄰邊作正方形OEFG．（1）如圖1，若正方形OEFG的對角線交點(diǎn)為M，求證：四邊形CDME是平行四邊形．（2）正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到正方形OE′F′G′，如圖2，連接AG′，DE′，求證：AG′=DE′，AG′⊥DE′；（3）在（2）的條件下，正方形OE′F′G′的邊OG′與正方形ABCD的邊相交于點(diǎn)N，如圖3，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0176?！唷螦BC=∠ADC=60176?！?+∠2=60176?！鰽EF為正三角形，E、F在菱形的邊BC，CD上．（1）證明：BE=CF．（2）當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上移動時(shí)（△AEF保持為正三角形），請?zhí)骄克倪呅蜛ECF的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出這個定值；如果變化，求出其最大值．（3）在（2）的情況下，請?zhí)骄俊鰿EF的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出這個定值；如果變化，求出其最大值．【答案】(1)見解析；（2）；（3）見解析【解析】試題分析：（1）先求證AB=AC，進(jìn)而求證△ABC、△ACD為等邊三角形，得∠4=60176。AG＝CM，∴∠ECM＝90176。∵∠ADF＝∠CDM，∴∠CDM+∠CDE＝45176?！螦DC＝90176。得到△DCM，∵∠FAD+∠DEF＝90176?！唷螰IH＝30176。∴△JIF是等邊三角形，在Rt△IHF中，∵∠IHF＝90176?！唷螹IJ+∠BIF＝120176?！唷鱉EJ是等邊三角形，∴MJ＝EM＝NI，∠M＝∠B＝60176。．（2）結(jié)論：IH＝FH．理由：如圖2中，延長BE到M，使得EM＝EJ，連接MJ．∵四邊形EBFD是菱形，∠B＝60176。∴∠ABE＝∠EBO＝∠OBF＝30176?！唷螦DB＝30176。延長即可解決問題．（2）IH＝FH．只要證明△IJF是等邊三角形即可．（3）結(jié)論：EG2＝AG2+CE2．如圖3中，將△ADG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176?！螪EA＝∠CEP，∴△ADE≌△PCE（ASA）∴AE＝PE，又CE∥AB，∴BC＝PC，在Rt△BGP中，∵BC＝PC，∴CG＝BP＝BC，∴CG＝CD．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．6．(1)如圖①，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作直線EF⊥BD，交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接BE、DF，且BE平分∠ABD． ①求證：四邊形BFDE是菱形；②直接寫出∠EBF的度數(shù)；(2)把(1)中菱形BFDE進(jìn)行分離研究，如圖②，點(diǎn)G、I分別在BF、BE邊上，且BG=BI，連接GD，H為GD的中點(diǎn)，連接FH并延長，交ED于點(diǎn)J，連接IJ、IH、IF、并說明理由；(3)把(1)中矩形ABCD進(jìn)行特殊化探究，如圖③，當(dāng)矩形ABCD滿足AB=AD時(shí)，點(diǎn)E是對角線AC上一點(diǎn)，連接DE、EF、DF，使△DEF是等腰直角三角形，、GE、EC三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系.【答案】（1）①詳見解析；②60176?！唷?＝∠3在△BAF與△ADE中，∠1=∠3 BA=AD ∠BAF=∠D，∴△BAF≌△ADE（ASA）∴AF＝DE．（2）證明：過點(diǎn)D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分別為點(diǎn)M，N．由（1）得∠1＝∠3，∠BGA＝∠AND＝90176。又∵BF⊥AE，∴∠AGB＝90176。②由折疊的性質(zhì)及矩形的特點(diǎn)，易得，得到，再加上平行，可以得到四邊形DEPF是平行四邊形，在由對角線垂直，得出 是菱形，設(shè)菱形的邊長為x，在中，由勾股定理建立方程即可求解。（I）若點(diǎn)P落在矩形OBCD的邊OB上，①如圖①，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；②如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在OB上，點(diǎn)F在DC上時(shí)，EF與DP交于點(diǎn)G，若，求點(diǎn)F的坐標(biāo)：（Ⅱ）若點(diǎn)P落在矩形OBCD的內(nèi)部，且點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊OD，邊DC上，當(dāng)OP取最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）?！進(jìn)N∥AE，∴∠DMN=∠DGE=90176?！郈E=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的數(shù)量關(guān)系是相等，DM、MN的位置關(guān)系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜邊AF的中線，∴AF=2DM，∵M(jìn)N是△AEF的中位線，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90176。．從而得到DM、MN的位置關(guān)系是垂直.試題解析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90176。角的直角三角板ECF和一個正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)C重合，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊CB、CD上，連接AF．取AF中點(diǎn)M，EF的中點(diǎn)N，連接MD、MN．（1）連接AE，求證：△AEF是等腰三角形；猜想與發(fā)現(xiàn)：（2）在（1）的條件下，請判斷MD、MN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，得出結(jié)論．結(jié)論1：DM、MN的數(shù)量關(guān)系是 ；結(jié)論2：DM、MN的位置關(guān)系是 ；拓展與探究：（3）如圖2，將圖1中的直角三角板ECF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180176。 ∵點(diǎn)P是CD中點(diǎn)，在△CPF和△DPG中， ∴△CPF≌△DPG， ∴PF=PG=FG=2，延長BP交AC于E， ∵m∥n， ∴∠ECP=∠BDP， ∴CP=DP，在△CPE和△DPB中， ∴△CPE≌△DPB， ∴PE=PB，∵∠APB=90176。中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)平行四邊形的綜合題含答案一、平行四邊形1．（問題情景）利用三角形的面積相等來求解的方法是一種常見的等積法，此方法是我們解決幾何問題的途徑之一．例如：張老師給小聰提出這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，AB=3，AD=6，問△ABC的高AD與CE的比是多少？小聰?shù)挠?jì)算思路是：根據(jù)題意得：S△ABC=BC?AD=AB?CE．從而得2AD=CE，∴ 請運(yùn)用上述材料中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法解決下列問題：（1）（類比探究）如圖2，在?ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AD，CD上，且AF=CE，并相交于點(diǎn)O，連接BE、BF，求證：BO平分角AOC．（2）（探究延伸）如圖3，已知直線m∥n，點(diǎn)A、C是直線m上兩點(diǎn)，點(diǎn)B、D是直線n上兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段CD中點(diǎn)，且∠APB=90176。兩平行線m、n間的距離為4．求證：PA?PB=2AB．（3）（遷移應(yīng)用）如圖4，E為AB邊上一點(diǎn)，ED⊥AD，CE⊥CB，垂足分別為D，C，∠DAB=∠B，AB=，BC=2，AC=，又已知M、N分別為AE、BE的中點(diǎn)，連接DM、CN．求△DEM與△CEN的周長之和．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）5+【解析】分析：(1)、根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出△ABF和△BCE的面積相等，過點(diǎn)B作OG⊥AF于G，OH⊥CE于H，從而得出AF=CE，然后證明△BOG和△BOH全等，從而得出∠BOG=∠BOH，即角平分線；(2)、過點(diǎn)P作PG⊥n于G，交m于F，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出△CPF和△DPG全等，延長BP交AC于E，證明△CPE和△DPB全等，根據(jù)等積法得出AB=APPB，從而得出答案；(3)、延長AD，BC交于點(diǎn)G，過點(diǎn)A作