【正文】 積等于△POA的面積．設(shè)直線PM的解析式為y=x+b，將P（2，4）代入，求出直線PM的解析式為y=x+3．再與拋物線的解析式聯(lián)立，得到方程組，解方程組即可求出點M的坐標．試題解析：（1）由題意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函數(shù)圖象的最高點P的坐標為（2，4）；（2）聯(lián)立兩解析式可得：，解得：，或．故可得點A的坐標為（，）；（3）如圖，作PQ⊥x軸于點Q，AB⊥x軸于點B．S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=24+（+4）（﹣2）﹣=4+﹣=；（4）過P作OA的平行線，交拋物線于點M，連結(jié)OM、AM，則△MOA的面積等于△POA的面積．設(shè)直線PM的解析式為y=x+b，∵P的坐標為（2，4），∴4=2+b，解得b=3，∴直線PM的解析式為y=x+3．由，解得，∴點M的坐標為（，）．考點：二次函數(shù)的綜合題2．（2017南寧，第26題，10分）如圖，已知拋物線與坐標軸交于A，B，C三點，其中C（0，3），∠BAC的平分線AE交y軸于點D，交BC于點E，過點D的直線l與射線AC，AB分別交于點M，N．（1）直接寫出a的值、點A的坐標及拋物線的對稱軸；（2）點P為拋物線的對稱軸上一動點，若△PAD為等腰三角形，求出點P的坐標；（3）證明：當直線l繞點D旋轉(zhuǎn)時，均為定值，并求出該定值．【答案】（1）a=，A（﹣，0），拋物線的對稱軸為x=；（2）點P的坐標為（，0）或（，﹣4）；（3）．【解析】試題分析：（1）由點C的坐標為（0，3），可知﹣9a=3，故此可求得a的值，然后令y=0得到關(guān)于x的方程，解關(guān)于x的方程可得到點A和點B的坐標，最后利用拋物線的對稱性可確定出拋物線的對稱軸；（2）利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得∠CAO=60176。依據(jù)AE為∠BAC的角平分線可求得∠DAO=30176。．∵AE為∠BAC的平分線，∴∠DAO=30176?！螦GM=90176。（Ⅰ）當時，求點A，點E的坐標； （Ⅱ）若頂點E在直線上，當點A位置最高時，求拋物線的解析式；（Ⅲ）若，當滿足值最小時，求b的值。解得（Ⅱ）由，得∵點E在直線上，當時，點A是最高點此時，（Ⅲ）：拋物線經(jīng)過點，有∴E關(guān)于x軸的對稱點為設(shè)過點A，得把點代入.得，即解得。（2）計算出C點的坐標，設(shè)出M點的坐標，再根據(jù)△ABM的面積為S＝S四邊形OAMB﹣S△AOB＝S△BOM+S△OAM﹣S△AOB，化簡成二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)求解最大值即可.（3）首先證明△OHA′∽△OA′B，再結(jié)合A′H+A′C≥HC即可計算出t的最小值.【詳解】（1）將x＝0代入y＝﹣3x+3，得y＝3，∴點B的坐標為（0，3），∵拋物線y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）經(jīng)過點B，∴3＝a+4，得a＝﹣1，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3；（2）將y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得x1＝﹣1，x2＝3，∴點C的坐標為（3，0），∵點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內(nèi)，點M的橫坐標為m，∴0＜m＜3，點M的坐標為（m，﹣m2+2m+3），將y＝0代入y＝﹣3x+3，得x＝1，∴點A的坐標（1，0），∵△ABM的面積為S，∴S＝S四邊形OAMB﹣S△AOB＝S△BOM+S△OAM﹣S△AOB＝，化簡，得S＝＝，∴當m＝時，S取得最大值，此時S＝，此時點M的坐標為（，），即S與m的函數(shù)表達式是S＝，S的最大值是，此時動點M的坐標是（，）；（3）如右圖所示，取點H的坐標為（0，），連接HA′、OA′，∵∠HOA′＝∠A′OB，∴△OHA′∽△OA′B，∴，即，∵A′H+A′C≥HC＝，∴t≥，即點M在整個運動過程中用時最少是秒．【點睛】本題主要考查拋物線的性質(zhì)，關(guān)鍵在于設(shè)元，還有就是（3）中利用代替法計算t的取值范圍，難度系數(shù)較大，是中考的壓軸題.5．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0有兩個實數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）設(shè)x1，x2是方程兩根，且，求k的值．【答案】（1）k≥﹣；（2）k＝．【解析】【分析】（1）根據(jù)方程有兩個實數(shù)根可以得到△≥0，從而求得k的取值范圍；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系將兩根之和和兩根之積代入代數(shù)式求k的值即可.【詳解】解：（1）△＝（2k+1）2﹣4k2＝4k2+4k+1﹣4k2＝4k+1∵△≥0∴4k+1≥0∴k≥﹣；（2）∵x1，x2是方程兩根，∴x1+x2＝2k+1 x1x2＝k2，又∵，∴，即 ，解得：，又∵k≥﹣ ，即：k＝．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，根的判別式等知識，牢記“兩根之和等于 ，兩根之積等于”是解題的關(guān)鍵.6．已知拋物線.（1）求證：該拋物線與x軸總有交點；（2）若該拋物線與x軸有一個交點的橫坐標大于3且小于5，求m的取值范圍；（3）設(shè)拋物線與軸交于點M，若拋物線與x軸的一個交點關(guān)于直線的對稱點恰好是點M，求的值.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）本題需先根據(jù)判別式解出無論m為任何實數(shù)都不小于零，再判斷出物線與x軸總有交點．（2）根據(jù)公式法解方程，利用已有的條件，就能確定出m的取值范圍，即可得到結(jié)果．（3）根據(jù)拋物線y=x2+（5m）x+6m，求出與y軸的交點M的坐標，再確定拋物線與x軸的兩個交點關(guān)于直線y=x的對稱點的坐標，列方程可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵ ∴拋物線與x軸總有交點. （2）解：由（1），根據(jù)求根公式可知，方程的兩根為：即由題意，有 (3)解：令 x = 0， y =∴ M（0，）由（2）可知拋物線與x軸的交點為（1，0）和（，0），它們關(guān)于直線的對稱點分別為（0 ， 1）和（0， ），由題意，可得： 【點睛】本題考查對拋物線與x軸的交點，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判別式，對稱等，解題關(guān)鍵是熟練理解和掌握以上性質(zhì)，并能綜合運用這些性質(zhì)進行計算．7．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2﹣2x+a﹣3，當a＝0時，拋物線與y軸交于點A，將點A向右平移4個單位長度，得到點B．（1）求點B的坐標；（2）將拋物線在直線y＝a上方的部分沿直線y＝a翻折，圖象的其他部分保持不變，得到一個新的圖象，